1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1.11.1. Формула полной вероятности

Пусть событие Аможет осуществиться с одним и только одним изnнесовместных событий, образующих полную группу. Как найти вероятность событияАи какие данные для этого нужны?

Появление события Авозможно в следующих случаях: произошло событиеи при этом появилось событие Аили произошло событие и при этом появилось событиеАилии т.д., что символически означает:

.

Так как события несовместны и, то

или по теореме умножения вероятностей

.

Полученное равенство называется формулой полной вероятности. Кратко ее можно записать так:

. (1.8)

Пример 1.14.

Прибор может работать в трех режимах: 1) нормальном, 2) форсированном, 3) недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60 % случаев, форсированный – в 30 % и недогруженный в 10 %. Надежность прибора для нормального режима 0,8, для форсированного – 0,5, для недогруженного – 0,9. Найти полную надежность прибора.

Решение

Гипотезы: Н₁  – нормальный режим,Н₂ – форсированный,Н₃ – недогруженный,А– безотказная работа прибора (надежность).

По формуле (1.8) находим

Р(А)= 0,6 0,8 + 0,3 0,5 + 0,1 0,9 = 0,72.

Это означает, что в течение рабочего дня (месяца, года) прибор работает 0,72 части всего времени.

Пример 1.15.

П

Рис. 1.8.

редставим себе странника, который выходит из пунктаОи на разветвлении дорог выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог изображена на рис. 1.8. Какова вероятность того, что путник, двигаясь описанным образом, попадет в пунктА?

Решение

Обозначим прибытие путника в пункт той же буквой, что и сам пункт. Легко видеть, что P(B₁)= P(B₂)= P(B₃)= P(B₄)=1/4, так как равновозможен выбор любого из путей, выходящих из пунктаО. Путник попадет в пунктА, если он выберет дорогу в пунктB₁и оттуда дорогу в пунктА,или он выберет дорогу вB₂и оттуда вАили дорогу вB₃и оттуда вА. Символически это можно записать так:

А=B₁ А + B₂ А + B₃ А.

Откуда

.

Здесь вероятности определены с учетом числа равновозможных путей из соответствующего города.

1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие Амогло наступить только при осуществлении одного из несовместных событий, образующих полную группу. В этих условиях вероятность событияАможно вычислить по формуле полной вероятности (1.8). Событияестественно назвать «гипотезами», поскольку можно лишь предполагать, какое именно из них произойдет и при этом появится событиеА. Вероятности гипотез до опыта (так называемые “априорные вероятности”) заданы и равны:

;.

Проведен опыт, в результате которого событие Апроизошло. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учетом этого факта? Другими словами, найти “апостериорные” вероятности гипотез.Определим, например,. По теореме умножения

.

Отбросив левую часть и разделив обе части равенства на Р(А), получим

.

Пользуясь формулой полной вероятности (1.7) для А, получим

. (1.9)

Аналогично выводятся формулы для остальных .

Формула (1.9) называется формулой Байеса (Бейеса). Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что произошло событиеА. Причем, эксперимент можно повторить еще раз, используя вероятностив качестве априорных, и на основе его результатов снова переоценить вероятности. Эту процедуру можно повторять пока вероятность какой-либо из гипотез не станет близкой к единице, тогда эту гипотезу можно считать практически достоверной.

Пример 1.16.

Исследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы Согласно статистике

;.

Осмотр места катастрофы выявляет, что в ее ходе произошло событие А(например, воспламенение горючего). Условные вероятности событияАпри выдвинутых гипотезах, согласно той же статистике, равны:

Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение

По формуле (1.9) имеем:

;

При анализе полученных результатов видим, что первая гипотеза наиболее вероятна. Такими гипотезами могут быть, например, теракт, ошибка пилота, отказ двигателя, столкновение с птицей (попадание ее в турбину).

Некогда формулы Байеса представлялись едва ли не общей схемой научного исследования. В настоящее время они заслуживают упоминания, так как сам принцип переоценки априорных вероятностей на основе опытных данных используется в таких областях науки, как управление случайными процессами, теория статистического оценивания и т.д.