6. Системы случайных величин

Со случайным опытом может быть связано две или более случайных величин.

Пример 6.1.

Точка падения метеорита характеризуется системой двух случайных величин: Х – географическая широта места падения и Y – долгота этого места.

Пример 6.2.

Успеваемость студента, получающего диплом, характеризуется системой nслучайных величин – оценками, проставленными в дипломе.

Пример 6.3.

Состояние любого технического устройства в данный момент характеризуется системой (набором) нескольких случайных величин (X,Y, …,Z).

В случаях, подобных перечисленным, мы имеем дело с системой(совокупностью) случайных величин или случайным вектором.

Рассмотрим систему из двух случайных величин XиY, которую удобно интерпретировать как случайную точку (X, Y) на плоскости с координатамиXиY.

6.1. Функция распределения

Интегральной функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называетсявероятностьсовместного выполнения неравенствX<x,Y<y, т.е.

F(x,y)=P(X<x,Y<y).

Геометрически это означает вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрат на плоскости с вершиной в точке (x,y).

Интегральная функция распределения существует для систем и непрерывных, и дискретных величин. Если же случайные величины, образующие систему, непрерывны, то закон распределения можно создать с помощью дифференциальной функции распределения (функция плотности):

.

6.2. Плотность распределения

Функция называетсяплотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин (Х, Y). Плотность обладает следующими свойствами:

1)

2)..

Геометрически – это некоторая поверхность, такая, что объем между этой поверхностью и координатной плоскостьюОхуравен единице. Если система двух случайных величин (X, Y)задана функцией плотности , то вероятность попадания случайной точки в некоторую область плоскости равна объему, который опирается на эту область и ограничен сверху поверхностью .

6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин

Рассмотрим случай двух дискретных случайных величин (X, Y). Считаем, что множество значений каждой из них конечно: Обозначим– вероятность того, чтоХ примет значение, аY– значение .Законом распределения системы (X, Y) называется совокупность всех возможных значений, т.е. пар чисели соответствующих им вероятностей.Обычно закон распределения задается в виде прямоугольнойтаблицыс двойным входом:

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Сумма всех вероятностей , стоящих в матрице, равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий:

.

Зная закон распределения системы (Х, Y), можнонайти законы(ряды) распределенияотдельных величинХиY, входящих в систему. ОбозначимСобытиянесовместны, поэтому вероятность того, чтоХпримет значениепо теореме сложения вероятностей:, т.е. равна сумме вероятностей «столбца».

В общем случае и, аналогично,

.

То есть, для того чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности «столбца». Аналогично, сложив вероятности «строки», получим вероятность. После этого можно составлять законы распределения дляХиY.