2. Повторные независимые испытания

2.1. Формула Бернулли

В теории вероятностей и ее приложениях большое значение имеет простая схема случайного эксперимента, которую называют схемой Бернулли, или схемой независимых испытаний. Испытанияили опыты называютнезависимыми, если вероятность каждого исхода не зависит от того, какие исходы имели другие опыты, т.е. вероятность каждого исхода остается постоянной от опыта к опыту.

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событиеA. Причем вероятность появления события в каждом опыте равна p, а вероятность непоявления равна: q=1–p. Требуется найти вероятностьтого, что вnнезависимых опытах событиеAпроизойдет ровноkраз. В качестве примеров описанной схемы можно назвать бросание монеты (A– выпадение герба), стрельбу по цели в неизменных условиях (A– попадание в цель), изготовление деталей при заданном технологическом режиме (A– изготовление бракованной детали) и т.д.

Найдем вероятность . Все возможные случаи появления событияAkраз вnопытах можно перебрать следующим образом. ВозьмемkбуквAиn- kбукви будем их между собой переставлять. Каждая перестановка соответствует определенной очередности появления или непоявления события A. Например,соответствует ситуации, в которой событие появилось в первом опыте, во втором и третьем не появилось, появилось в четвертом и т.д. Всего вариантов будет столько, сколькими способами можно изnмест выбратьkразличных (порядок не важен) и поставить на них букву A, т.е.способов. Вероятность любого из этих способов (в силу независимости опытов, а значит, и событий) равна по теореме умножения вероятностей. Появление хотя бы одного из этихнесовместных исходов приводит к появлению интересующего нас события, поэтому

или

Это и есть формула Бернулли.

Замечание.При вычислении факториалов используют формулы:n!=1,1!=1, 0!=1.

Пример 2.1.

Хлебозавод выпускает изделий высшего сорта. Взяли наугад четыре изделия. 1) Какова вероятность того, что среди них только одно высшего сорта? 2) Хотя бы одно изделие высшего сорта?

Решение

В данном случае вероятность того, что взятая наугад буханка имеет высший сорт, равна p = , не имеет:q=и не изменяется от изделия к изделию. Поэтому можно считать, что мы имеем дело со схемой независимых испытаний и можем воспользоваться формулой Бернулли.

1. .

2. Вторую вероятность легче вычислить с помощью противоположного события:

.

Вычислим все вероятности: ,,,,и сравним их между собой. Для наглядности построиммногоугольник распределения вероятностей.На горизонтальной оси отметим значенияk, а на вертикальной – соответствующие им вероятности (рис 2.1).

Рис. 2.1.

Нетрудно видеть, что есть такое значение числа появления событий (k=3), которому соответствует наибольшая вероятность. Назовем такое значениенаивероятнейшими обозначим черезk₀. Для небольшихnможно отыскать наивероятнейшее значение простым перебором, но для большихnследует найти наиболее экономный способ.

Рассмотрим общий случай.

Зафиксируем nи убедимся в том, чтос ростомkсначала возрастает, а потом, достигнув наибольшего значения приk=k₀(которое может повториться дважды), убывает. Для этого рассмотрим отношение

Так как kq>0, то из полученного выражения следует

1) , если;

2) , если;

3) , если.

Итак, , ноотстоит влево отне дальше чем на единицу (иначе между ними поместилось бы, которое, согласно неравенству, было бы наивероятнейшим). Поэтому. Так какk₀ – целое число, а длина интерваларавна единице, то приходим к выводу:наивероятнейшим числомпоявлений события вnнезависимых опытах является целое число k₀, заключенное в пределахили. Наивероятнейших чисел будет два, еслицелое (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Пример 2.2.

а)Игральный кубик подбрасывается 50 раз. Каково наиболее вероятное число выпадения двух очков?

Здесь n=50,p=1/6, q=5/6.

Следовательно, k₀=8.

б)Если кубик подбрасывается всего 17 раз, то наивероятнейших чисел будет два, так как(целое число). В этом случаеk₀=2 илиk₀=3.