- •Теория вероятностей
- •Введение
- •1. Случайные события. Вероятность событий
- •1.1. Элементы комбинаторики
- •1.1.1 Повторные выборки
- •Число способов выбора двух элементов
- •Число выборок из трех элементов
- •1.1.2. Бесповторные выборки
- •1.2. Основные понятия теории вероятностей
- •1.3. Алгебра событий
- •1.4. Частота события
- •1.5. Статистическое определение вероятности
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Свойства вероятностей
- •0Р(а)1.
- •1.8. Геометрические вероятности
- •1.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
- •1.10. Теорема сложения вероятностей
- •1.10.1. Вероятность суммы событий
- •1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события
- •1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.11.1. Формула полной вероятности
- •1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Формулы Лапласа
- •2.2.1 Локальная теорема Лапласа
- •2.2.2. Интегральная теорема Лапласа
- •2.3. Формула Пуассона
- •2.4. Простейший поток событий
- •3. Случайные величины
- •3.1. Понятие случайной величины
- •3.2. Законы распределения дискретных случайных величин
- •3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •3.3.1. Интегральная функция распределения
- •3.3.2. Показательный закон распределения
- •3.3.3. Дифференциальная функция распределения
- •3.3.4. Равномерное распределение
- •3.3.5. Распределение Коши
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и его свойства
- •4.1.1. Математическое ожидание
- •4.1.2. Свойства математического ожидания
- •4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •4.2.1. Дисперсия случайной величины
- •4.2.2. Свойства дисперсии
- •4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
- •4.3. Моменты случайных величин
- •4.4. Примеры нахождения законов распределения
- •5. Нормальный закон распределения
- •5.1. Геометрический смысл параметров m и σ
- •5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения
- •5.3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •5.4. Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания
- •6. Системы случайных величин
- •6.1. Функция распределения
- •6.2. Плотность распределения
- •6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин
- •6.4. Зависимые и независимые случайные величины
- •6.5. Операции над случайными величинами
- •6.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •6.6.1. Ковариация двух случайных величин
- •6.6.2 Коэффициент корреляции
- •6.9. Двумерный нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Центральная предельная теорема
- •7.2. Интегральная теорема Лапласа
- •7.3. Распределение частоты события
- •7.4. Закон больших чисел
- •7.5. Неравенство Чебышева
- •7.6. Теорема Чебышева
- •7.7. Теорема Бернулли
- •7.8. Принцип практической уверенности
- •7.9. Правило трёх сигм
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Рекомендуемый Библиографический список
- •Теория вероятностей
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
1. Случайные события. Вероятность событий
1.1. Элементы комбинаторики
1.1.1 Повторные выборки
Пусть имеется nэлементовa1, a2, …, an, отличающихся друг от друга какими–то признаками, например номерами, названиями, индексами и т.д. Назовем эту совокупностьгенеральной совокупностью(термин, принятый в математической статистике).
Произвольное упорядоченное множество rэлементовaj1, aj2, …, ajr, составленное из элементов генеральной совокупности, называется выборкой объемаr.
Можно выделить два способа получения такой выборки – повторный и бесповторный. Выборка называется повторной, если выбор каждый раз осуществляется из всей генеральной совокупности и каждый элемент может быть выбран более одного раза. Например, выбранный элемент отмечается и вновь возвращается в совокупность.
Выборка называется бесповторной, если выбранный элемент из генеральной совокупности удаляется и выборка не содержит повторяющихся элементов.
Возникает вопрос: сколько существует способов для составления выборки объема rизnимеющихся элементов? Решим его отдельно для повторных и бесповторных выборок. Пусть имеетсяnэлементов. Выбираем первый элемент. Его можно выбратьnспособами. Для каждого первого способа второй элемент тоже можно будет выбратьnспособами. Тогда два элемента выбираемnспособами.
Для иллюстрации подсчета рассмотрим табл. 1.1, в которой в первой строке и левом столбце выписаны все способы получения первого и второго элементов соответственно.
Таблица 1.1
Число способов выбора двух элементов
|
a1 |
a2 |
|
an |
a1 |
a1a1 |
a1a2 |
|
a1an |
a2 |
a2a1 |
a2a2 |
|
a2an |
|
|
|
|
|
an |
ana1 |
ana2 |
|
anan |
При этом каждая клетка заполненной квадратной таблицы дает выборку, состоящую из двух элементов. Число различных выборок равно числу элементов этой таблицы, т.е. n. Рассуждая подобным же образом получим, что выборки, состоящие из трех элементов, можно составитьnразличными способами. Для удобства такого подсчета можно составить таблицу. В первой строке выписаны всеnспособов получения двух элементов, а по вертикали слева перечисленыnразличных способов добавления третьего элемента в выборку. Заполнив эту таблицу, получим, что общее число различных выборок по три элемента равноn.
Используя данный подход, можно сделать вывод о числе выборок объема r, т.е. состоящих из r элементов. Если один элемент можно выбратьnспособами, два –nспособами, три –nспособами и т. д., тоrэлементов можно выбратьnспособами. Схематически этот подсчет можно представить в виде табл. 1.2.
Таблица 1.2
Число выборок из трех элементов
|
a1a1 |
a1a2 |
|
anan |
a1 |
a1a1a1 |
a1a2a1 |
|
anana1 |
a2 |
a1a1a2 |
a1a2a2 |
|
anana2 |
|
|
|
|
|
an |
a1a1an |
a1a2an |
|
ananan |
При этом способы один от другого отличаются либо самими элементами, либо, если все элементы одинаковы, порядком их расположения. Такая выборка может содержать повторяющиеся элементы.
Можно доказать общий комбинаторный принцип.
Пусть некоторый выбор можно сделать tспособами, для каждого первого некоторый второй выборsспособами, для каждой пары первых двух третий выборkспособами и т.д., тогда общее число способов для осуществления последовательности этих выборов равно произведению tsk.
Пример 1.1.
В спортивную команду института от группы, в которой 10 девушек и 15 юношей, необходимо выделить двух представителей одну девушку и одного юношу. Сколькими различными способами можно это сделать?
Решение
Мы находимся в условиях, в которых можно использовать общий комбинаторный принцип. Выбрать в команду девушку можно 10 различными способами, юношу 15 способами. Тогда общее число возможных исходов равно их произведению, то есть 150.