Заключение

Теория вероятностей является одной из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают новые возможности практического использования методов теории вероятностей, а более детальное изучение явлений природы, технических, экономических и иных процессов стимулирует ученых-вероятностников на разыскание новых методов, новых закономерностей, порождаемых случайными явлениями. Теория вероятностей является одной из тех математических наук, которые не отгораживаются от жизни и от запросов других наук, а идут в ногу с развитием естествознания, техники, экономики.

Данное пособие содержит лишь основы курса теории вероятностей. За его рамками остается довольно большой и интересный материал.

В пособии обзорно рассмотрена теория для функции от случайной величины и зависимые случайные величины. Более подробно изучается случай двух дискретных случайных величин, зависимых и независимых. Не включено в пособие изучение и таких широко распространенных в природе зависимостей между случайными величинами, как статистическая и корреляционная. Не вошли в пособие теория случайных процессов, моделирование случайных процессов методом Монте-Карло, теория массового обслуживания, цепи Маркова.

Для изучения этих разделов, а также для более глубокого освоения изложенного материала имеется обширная литература. В конце пособия приложен список рекомендуемой литературы.

Авторы надеются, что полученная информация при изучении теории вероятностей по данному пособию поможет формированию инженерного мышления будущего специалиста, расширит его кругозор, окажет помощь в дальнейшей деятельности по распознаванию в реальных задачах их вероятностные черты и выработке рекомендаций для получения желаемого результата с минимальными затратами сил и средств.

Рекомендуемый Библиографический список

1. Вентцель, В. С. Теория вероятностей [текст] / В. С. Вентцель – М.: Высшая школа, 2003.

2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения [текст] / Е. С. Вентцель, Овчаров Л.А. – М.: Наука, 1988.

3. Гамоля, Л. Н. Теория вероятностей: методические указания [текст] / Л. Н. Гамоля, В. И. Жукова. – Хабаровск: ДВГУПС, 1997.

4. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001.

5. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1975.

6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [текст] / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1980.

7. Коваленко, И. Н. Теория вероятностей и математическая статистика [текст] / И. Н.Коваленко, Филиппова А. А. – М.: Высшая школа, 1982.

8. Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для экономических специальностей вузов [текст] / В. А. Колемаев, О. В. Староверов, В. Б. Турундаевский. – М.: Высшая школа, 1991.

Оглавление

Введение 3

1. Случайные события. Вероятность событий 4

1.1. Элементы комбинаторики 4

1.1.1 Повторные выборки 4

1.1.2. Бесповторные выборки 6

1.2. Основные понятия теории вероятностей 8

1.3. Алгебра событий 9

1.4. Частота события 10

1.5. Статистическое определение вероятности 11

1.6. Классическое определение вероятности 12

1.7. Свойства вероятностей 13

1.8. Геометрические вероятности 15

1.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность 16

1.10. Теорема сложения вероятностей 19

1.10.1. Вероятность суммы событий 19

1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события 20

1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса 21

1.11.1. Формула полной вероятности 21

1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса 22

2. Повторные независимые испытания 24

2.1. Формула Бернулли 24

2.2. Формулы Лапласа 27

2.2.1 Локальная теорема Лапласа 27

2.2.2. Интегральная теорема Лапласа 29

2.3. Формула Пуассона 30

2.4. Простейший поток событий 32

3. Случайные величины 33

3.1. Понятие случайной величины 33

3.2. Законы распределения дискретных случайных величин 35

3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин 37

3.3.1. Интегральная функция распределения 37

3.3.2. Показательный закон распределения 38

3.3.3. Дифференциальная функция распределения 40

3.3.4. Равномерное распределение 41

3.3.5. Распределение Коши 41

4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 42

4.1. Математическое ожидание и его свойства 42

4.1.1. Математическое ожидание 42

4.1.2. Свойства математического ожидания 44

4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 46

4.2.1. Дисперсия случайной величины 46

4.2.2. Свойства дисперсии 46

4.2.3. Среднее квадратическое отклонение 47

4.3. Моменты случайных величин 48

4.4. Примеры нахождения законов распределения 49

5. Нормальный закон распределения 54

5.1. Геометрический смысл параметров m и σ 55

5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения 56

5.3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал 56

5.4. Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания 58

6. Системы случайных величин 60

6.1. Функция распределения 60

6.2. Плотность распределения 61

6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин 61

6.4. Зависимые и независимые случайные величины 62

6.5. Операции над случайными величинами 63

6.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин 67

6.6.1. Ковариация двух случайных величин 67

6.6.2 Коэффициент корреляции 68

6.9. Двумерный нормальный закон распределения 70

7. Предельные теоремы теории вероятностей 71

7.1. Центральная предельная теорема 71

7.2. Интегральная теорема Лапласа 73

7.3. Распределение частоты события 73

7.4. Закон больших чисел 75

7.5. Неравенство Чебышева 75

7.6. Теорема Чебышева 76

7.7. Теорема Бернулли 78

7.8. Принцип практической уверенности 79

7.9. Правило трёх сигм 80

Контрольные вопросы 81

Заключение 82

Рекомендуемый Библиографический список 83

Учебное издание

Виноградова Полина Витальевна

Гамалей Вероника Геннадьевна

Кузнецова Галина Павловна