1.10. Теорема сложения вероятностей

1.10.1. Вероятность суммы событий

Если события АиВнесовместны, то вероятность суммы вычисляется по формуле, полученной в свойствах вероятности:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).(1.5)

Теорема 1.3.Вероятность появления хотя бы одного из двухсовместныхсобытий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) =Р(А) + Р(В) – Р(АВ).(1.6)

Доказательство. СобытиеА+Впроизойдет, если произойдет событиеАили произойдут событияВ и , т.е.А + В = А + В.

Событие Впроизойдет, если произойдут событияАиВили произойдут событияВи, т.е.В = АВ + В.

В справедливости сказанного можно убедиться, глядя на рисунок 1.6.

Рис. 1.6.

Так как события, стоящие в правых частях полученных равенств, несовместны, то по формуле (1.5) имеем:

Р (А + В ) = Р ( А) + Р ( В )

Р ( В ) = Р ( АВ ) + Р( В).

Если из последнего равенства выразить второе слагаемое справа и подставить в первое равенство, то получим утверждение теоремы.

Итак, прежде чем вычислять вероятность суммы двух событий, следует выяснить совместныэти события илинесовместныи в зависимости от этого использовать формулу (1.5) или (1.6).

Пример 1.12.

Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым 0,7. Стрелки одновременно выстрелили в цель. Какова вероятность, что а) цель поражена; б) в цель попадут оба; в) попадет только один из них.

Решение

Введем события А– в цель попадет первый стрелок,В– попадет второй. Тогда событиеС, состоящее в поражении цели, есть сумма совместных и независимых событийАиВ, т.е.С = А + В. Применяя соответствующие формулы, получим:

а) Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В) = 0,6 + 0,7 – 0,6·0,7 = 0,88;

б) Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,6·0,7 = 0,42;

в) Р(А+В) = 0,6·0,3 +0,4·0,7 =0,46, так как события в сумме несовместны.

1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события

Можно вывести формулу для вычисления вероятности суммы любого конечного числа событий, однако эта формула громоздка. Например, для трех слагаемых вероятность появления хотя бы одного из них имеет вид:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

Для вычисления вероятности суммы большого числа событий применяют переход к противоположному событию. Прием особенно эффективен в случае независимых событий.

Теорема 1.4. Вероятность появленияхотя бы одногоиз совокупности событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий:

Р (хотя бы одного события) = 1 – Р(ни одного события).

Например, для тех же трех событий получим более удобную формулу:

Р ( А + В + С ) = 1 – Р (). (1.7)

Пример 1.13.

Имеется система параллельно соединенных между собой четырех элементов (скажем, электрическая цепь) (рис.1.7).

В

Рис. 1.7.

ероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени (надежность) равна 0,8. Какова надежность системы?

Решение

Пусть событие состоит в безотказной работе в течение заданного времениi–го элемента, событиеА– безотказная работа всей системы в течение этого времени. Тогда, т.е. безотказная работахотя бы одногоэлемента эквивалентна безотказной работе системы. Непосредственное вычисление вероятности суммы этих совместных событий затруднительно. Перейдем кпротивоположнымсобытиям. Выход из строя системы эквивалентен выходу из строя всех элементов, т.е..Считаем, что элементы выходят из строя независимо друг от друга, поэтому

= (0,2)⁴= 0,0016.

В итоге имеем = 1- 0,0016 = 0,9984.

При параллельном соединении надежность системы возрастает по сравнению с надежностью каждого элемента, этим пользуются при дублировании элементов.