- •Теория вероятностей
- •Введение
- •1. Случайные события. Вероятность событий
- •1.1. Элементы комбинаторики
- •1.1.1 Повторные выборки
- •Число способов выбора двух элементов
- •Число выборок из трех элементов
- •1.1.2. Бесповторные выборки
- •1.2. Основные понятия теории вероятностей
- •1.3. Алгебра событий
- •1.4. Частота события
- •1.5. Статистическое определение вероятности
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Свойства вероятностей
- •0Р(а)1.
- •1.8. Геометрические вероятности
- •1.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
- •1.10. Теорема сложения вероятностей
- •1.10.1. Вероятность суммы событий
- •1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события
- •1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.11.1. Формула полной вероятности
- •1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Формулы Лапласа
- •2.2.1 Локальная теорема Лапласа
- •2.2.2. Интегральная теорема Лапласа
- •2.3. Формула Пуассона
- •2.4. Простейший поток событий
- •3. Случайные величины
- •3.1. Понятие случайной величины
- •3.2. Законы распределения дискретных случайных величин
- •3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •3.3.1. Интегральная функция распределения
- •3.3.2. Показательный закон распределения
- •3.3.3. Дифференциальная функция распределения
- •3.3.4. Равномерное распределение
- •3.3.5. Распределение Коши
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и его свойства
- •4.1.1. Математическое ожидание
- •4.1.2. Свойства математического ожидания
- •4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •4.2.1. Дисперсия случайной величины
- •4.2.2. Свойства дисперсии
- •4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
- •4.3. Моменты случайных величин
- •4.4. Примеры нахождения законов распределения
- •5. Нормальный закон распределения
- •5.1. Геометрический смысл параметров m и σ
- •5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения
- •5.3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •5.4. Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания
- •6. Системы случайных величин
- •6.1. Функция распределения
- •6.2. Плотность распределения
- •6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин
- •6.4. Зависимые и независимые случайные величины
- •6.5. Операции над случайными величинами
- •6.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •6.6.1. Ковариация двух случайных величин
- •6.6.2 Коэффициент корреляции
- •6.9. Двумерный нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Центральная предельная теорема
- •7.2. Интегральная теорема Лапласа
- •7.3. Распределение частоты события
- •7.4. Закон больших чисел
- •7.5. Неравенство Чебышева
- •7.6. Теорема Чебышева
- •7.7. Теорема Бернулли
- •7.8. Принцип практической уверенности
- •7.9. Правило трёх сигм
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Рекомендуемый Библиографический список
- •Теория вероятностей
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
5. Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения определяется плотностью вероятности
(5.1)
где mи>0 – некоторые числовые параметры. В разделе 7 будут обсуждены причины, в силу которых нормальный закон распределения играет важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.
5.1. Геометрический смысл параметров m и σ
Легко убедиться, что кривая, определяемая функцией распределения (5.1), имеет максимум в точке x=m, а точки перегиба отстоят от точкиx=mна расстояниии прифункция (5.1) асимптотически приближается к нулю. График функции (5.1) изображен на рис. 5.1.
Рис. 5.1
В зависимости от величины параметров кривая плотности вероятности имеет различный вид и поэтому правильнее было бы говорить о семействе нормальных законов распределения. На рис. 5.2 показана зависимость формы кривой распределения от величины при фиксированномm.
Рис. 5.2
5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения
Выясним теперь вероятностный смысл параметровфункции распределения. Для этого вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной нормально.
Введем новую переменную
.
Тогда
Первый интеграл равен нулю, так как под знаком интеграла стоит нечетная функция, а пределы интегрирования симметричны. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона: .
Поэтому M(Х)=m.
Если сделать ту же замену переменных и выполнить необходимые преобразования, то можно убедиться, что
.
Итак, параметры нормального закона распределения mиравны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению случайной величины распределенной по этому закону. Так как параметры однозначно определяют нормальный закон распределения, то для нормального закона часто используют обозначение.
5.3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Пусть случайная величина имеет закон распределения . Вычислим вероятность того, что она примет значение из интервала (a,b).
На основании свойств функции плотности вероятности можно записать:
=| сделаем замену переменных |=
Введем в рассмотрение функцию Лапласа:
С её помощью искомую вероятность можно записать в виде
(5.2)
Интеграл в явном виде не берется, и значения функцииФ(х)были вычислены с помощью численных методов, а результаты сведены в таблицу [4]. По таблице для каждогоxможно найти соответствующее значение функцииФ(х). ФункцияФ(х)нечетная, т.е , графически это выглядит так (рис. 5.3).
Вследствие нечетности функции таблицы обычно приводятся только для положительных значений хи только из интервала. При значенияхх>4 значения функцииФ(х)можно брать равным 0.5.
Рис. 5.3
5.4. Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания
Для случайной величины, имеющей закон распределения , найдем вероятность того, что отклонение этой случайной величины от своего математического ожидания не превысит величины, т.е. вычислим вероятность
Неравенство под знаком вероятности эквивалентно неравенствам -<x-m<или. Заменим в формуле (5.2)черезm-,b– черезm+, тогда
В результате получим формулу
=2. (5.3)
Вероятности, определяемые формулой (5.3) применяются в теории ошибок измерений, в теории стрельб, в теории допусков и т.д. Это объясняется тем, что в этих теориях многие расчеты используют нормальный закон распределения в качестве модели для случайных ошибок, для отклонений от цели и т.д. Например, если m– расчетный размер детали, а Х – её фактический размер, то данная формула дает вероятность того, что истинный размер детали отличается от расчетного менее чем на α.
Пример 5.1.
Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см, а дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
Решение
а) В соответствии с формулой (5.2) имеем:
Значения Ф(2,22) и Ф(1,11) найдены по таблице значений функции Ф(х).
б) Применяя формулу (5.3) при α=2 см, см иm=5 см, получим
Замечание. Для случайной величины Х с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(Х) случайная величина: называется соответствующей нормированной случайной величиной. Нормированная случайная величина удобна тем, что и. В этом можно убедиться непосредственно:
,
Г
Рис. 5.4
При выводе формулы (5.2) случайная величина Х нормировалась с помощью подстановки . Очевидно, что изменения масштаба не изменяет «вероятностный механизм явления», поэтому
т.е. для вычисления вероятностей мы от любого закона распределения переходим кN(0,1), а для законаN(0,1)соответствующие вероятности заданы в виде таблиц функцииФ(х).