2.2. Формулы Лапласа

2.2.1 Локальная теорема Лапласа

Решим следующую задачу (задача Банаха). Некто носит в кармане две коробки спичек (по 60 спичек каждая) и всякий раз, когда нужна спичка, наугад берет коробку и вынимает спичку. Какова вероятность того, что когда первая коробка будет пуста, во второй все еще останется 20 спичек? Выбор коробки можно рассматривать как независимое испытание, в котором с вероятностью выбирается первая коробка. Всего опытов производитсяn= 60+40=100, и в этих ста опытах первая коробка должна быть выбрана 60 раз. Вероятность этого равна:

.

Из записи видно, что при больших nпользоваться формулой Бернулли затруднительно из-за громоздких вычислений. Существуют специальные приближенные формулы, которые позволяют находить вероятности, еслиnвелико. Одну из таких формул дает следующая теорема.

Теорема 2.1. (Лапласа локальная). Если в схеме Бернулли, то вероятность того, что событиеAнаступит ровноkраз, удовлетворяет при большихnсоотношению

где.

Для удобства вводится в рассмотрение функция – локальная функция Лапласа, с помощью которой теорему Лапласа можно записать так:

Существуют специальные таблицы функции [4], по которым для любого значения:можно найти соответствующее значение функции. Получены эти таблицы путем разложения функциив ряд.

Геометрически этот результат означает, что для больших nмногоугольник распределения хорошо вписывается в график функции, стоящей в формуле справа (рис. 2.3) и вместо истинного значения вероятностиможно для каждогоkбрать значение функции в точкеk.

Рис. 2.3. Локальная функция Лапласа

Вернемся теперь к задаче. Используя формулу (2.1) находим:

,

где значение определено по таблице [4].

2.2.2. Интегральная теорема Лапласа

Теорема 2.2 (Лапласа интегральная). Вероятность того, что в схемеnнезависимых испытаний событие наступит отk₁доk₂раз, приближенно равна

P_n (k₁k₂),

где

– интегральная функция Лапласа, для которой составлены таблицы. ФункцияФ(х)нечетная:Ф(-х)=-Ф(х) иФ(х4)=0,5.

Рассмотрим пока без доказательства еще одно утверждение.

Отклонение относительной частоты от вероятностиpвnнезависимых испытаниях равно

(.

Замечание.Обоснование этих фактов будет рассмотрено далее в разделе 7 (подразд. 7.2, 7.3). Теоремы Лапласа иногда называют теоремами Муавра–Лапласа.

Пример 2.3.

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0.5. 1) найти вероятность того, что событие произойдет от 400 до 500 раз, 2) найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение

1) Р₉₀₀(400<k<500)==

2) =

2.3. Формула Пуассона

Если зафиксировать число опытов n, а вероятность появления события в одном опытеризменять, то многоугольник распределения будет иметь различный вид в зависимости от величиныр(рис.2.4). При значенияхp, близких к 1/2, многоугольник почти симметричен и хорошо вписывается в симметричный график функции Лапласа. Поэтому приближенная формула Лапласа дает хорошую точность.

Рис. 2.4.

Для малых р(на практике меньших) приближение плохое из-за несимметричности многоугольника распределения. Поэтому возникает задача найти приближенную формулу для вычисления вероятностейв случае большихnи малых р. Ответ на этот вопрос дает формула Пуассона.

Итак, рассмотрим схему независимых испытаний, в которой nвелико (чем больше, тем лучше), армало (чем меньше, тем лучше). Обозначимnр=λ. Тогда по формуле Бернулли имеем

.

Последнее равенство верно в силу того, что (второй замечательный предел). При получении формулы наивероятнейшего числа появления событияk₀было рассмотрено отношение вероятностей. Из него следует, что

Таким образом, при kмного меньшихnимеем рекуррентное соотношение

.

Для k=0 учтем полученный ранее результат:, тогда

………………

Итак, если в схеме независимых испытаний nвелико, ар мало, то имеет местоформула Пуассона

Р_n(к), где λ=nр.

Закон Пуассона еще называют законом редких явлений.

Пример 2.4.

Вероятность выпуска бракованной детали равна 0,02. Детали упаковываются в коробки по 100 штук. Какова вероятность того, что а) в коробке нет бракованных деталей, б) в коробке больше двух бракованных деталей?

Решение

a) Так какnвелико, армало, имеем ; Р₁₀₀(0);

б)Р₁₀₀(k>2)=1-Р1-

Таким образом, в схеме независимых испытаний для вычисления вероятности Р_n(k)следует пользоваться формулой Бернулли, еслиnневелико, а еслиnвелико, то в зависимости от величиныриспользуется одна из приближенных формул Лапласа или формула Пуассона.