- •Теория вероятностей
- •Введение
- •1. Случайные события. Вероятность событий
- •1.1. Элементы комбинаторики
- •1.1.1 Повторные выборки
- •Число способов выбора двух элементов
- •Число выборок из трех элементов
- •1.1.2. Бесповторные выборки
- •1.2. Основные понятия теории вероятностей
- •1.3. Алгебра событий
- •1.4. Частота события
- •1.5. Статистическое определение вероятности
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Свойства вероятностей
- •0Р(а)1.
- •1.8. Геометрические вероятности
- •1.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
- •1.10. Теорема сложения вероятностей
- •1.10.1. Вероятность суммы событий
- •1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события
- •1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.11.1. Формула полной вероятности
- •1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Формулы Лапласа
- •2.2.1 Локальная теорема Лапласа
- •2.2.2. Интегральная теорема Лапласа
- •2.3. Формула Пуассона
- •2.4. Простейший поток событий
- •3. Случайные величины
- •3.1. Понятие случайной величины
- •3.2. Законы распределения дискретных случайных величин
- •3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •3.3.1. Интегральная функция распределения
- •3.3.2. Показательный закон распределения
- •3.3.3. Дифференциальная функция распределения
- •3.3.4. Равномерное распределение
- •3.3.5. Распределение Коши
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и его свойства
- •4.1.1. Математическое ожидание
- •4.1.2. Свойства математического ожидания
- •4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •4.2.1. Дисперсия случайной величины
- •4.2.2. Свойства дисперсии
- •4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
- •4.3. Моменты случайных величин
- •4.4. Примеры нахождения законов распределения
- •5. Нормальный закон распределения
- •5.1. Геометрический смысл параметров m и σ
- •5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения
- •5.3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •5.4. Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания
- •6. Системы случайных величин
- •6.1. Функция распределения
- •6.2. Плотность распределения
- •6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин
- •6.4. Зависимые и независимые случайные величины
- •6.5. Операции над случайными величинами
- •6.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •6.6.1. Ковариация двух случайных величин
- •6.6.2 Коэффициент корреляции
- •6.9. Двумерный нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Центральная предельная теорема
- •7.2. Интегральная теорема Лапласа
- •7.3. Распределение частоты события
- •7.4. Закон больших чисел
- •7.5. Неравенство Чебышева
- •7.6. Теорема Чебышева
- •7.7. Теорема Бернулли
- •7.8. Принцип практической уверенности
- •7.9. Правило трёх сигм
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Рекомендуемый Библиографический список
- •Теория вероятностей
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
7.7. Теорема Бернулли
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Частота появления события в этих n опытах является случайной величиной с математическим ожиданиеми дисперсией(см. подразд. 7.3).
Теорема (Бернулли). При увеличении числа независимых опытов частота события сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. для любого >0
.
Доказательство. Запишем неравенство Чебышева
,
где случайная величина.
.
Так как p, q, –постоянные, то, при. Поэтому
.
Но вероятность не может превосходить единицу, значит, в этом соотношении неравенство следует заменить знаком равенства, что и приводит к утверждению теоремы.
Теорема Бернулли даёт обоснование статистическому определению вероятности (подразд. 1.5).
7.8. Принцип практической уверенности
В человеческом мировоззрении отсутствует один важный элемент – мы не умеем проводить чёткую грань между тем, что может быть, и тем, чего быть не может. Например, можно ли прожить 500 лет? Нет. Но если можно прожить 150 лет, то почему нельзя прожить на один день больше? А если, можно, то почему нельзя прожить ещё на один день больше? И т.д. Чёткой границы между возможным и невозможным провести нельзя. В подобных ситуациях отчасти помогает понятие практически невозможного события.
Можно привести примеры событий, которые имеют ничтожно малую вероятность.
1. Например, можно научить обезьяну наугад стучать по клавишам пишущей машинки. Существует отличная от нуля вероятность того, что обезьяна случайно отпечатает текст романа "Война и мир". Эта вероятность равна приблизительно , гдеN – число букв в романе, а 1/50 – вероятность нажать в нужный момент на нужную клавишу (всего клавиш около 50).
2. Другой пример. Существует отличная от нуля вероятность при полёте на самолёте попасть в авиационную катастрофу.
3. В примере с возрастом можно считать длительность жизни человека случайной величиной, значения которой больше 200 лет крайне маловероятны.
Во всех приведённых примерах события имеют ничтожно малую вероятность, и возможностью появления таких событий мы и пренебрегаем. Но пренебрегать возможностью появления маловероятных событий можно не вообще, а только в определённых условиях.
Пусть вероятность появления события в одном опыте ничтожно мала и равна р. Тогда вероятность непоявления события равна 1-р=q, причём q<1, так как р всё же отлично от нуля.
так как q<1 и . Значит, если опытов производить много, то рано или поздно происходят даже самые маловероятные события, и возможностью появления маловероятных событий в большой серии опытов пренебрегать нельзя.
В итоге получаем утверждение: Если вероятность события близка к нулю, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно не произойдёт. Событие, имеющее вероятность, близкую к нулю, в единичном опыте можно считать практически невозможным. Насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать это событие практически невозможным, зависит от того, насколько серьёзные последствия нам грозят, если событие, объявленное нами практически невозможным, все-таки произойдёт. То есть этот вопрос решается вне рамок теории вероятностей. Например, вероятность события равна 0,01. Если это вероятность попасть в авиационную катастрофу при полёте на самолёте, то вряд ли стоит пренебрегать такой вероятностью. Если же это вероятность вытащить на экзамене невыученный билет, то такой вероятностью можно пренебречь (на деле пренебрегают и гораздо большими вероятностями).
Обратно. Если вероятность события близка к единице, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно произойдёт. Событие, имеющее вероятность, близкую к единице, можно назвать в единичном опытепрактически достоверным.
Насколько близкой к единице должна быть вероятность – решается из тех же соображений, что и вопрос о малости вероятности практически невозможного события.
Понятия практически достоверного и практически невозможного событий широко используются в математической статистике при формулировке научно обоснованных выводов, сделанных по результатам наблюдений над случайными явлениями.