Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания.doc

Скачиваний:

104

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

4.2.1. Дисперсия случайной величины

Дисперсией(рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу

так как М(Х), 2 и– постоянные величины. Таким образом,

4.2.2. Свойства дисперсии

Свойство 1.Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению

Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.

Доказательство

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:

Свойство 3.Если случайные величины Х иYнезависимы, то

Доказательство. Обозначим. Тогдаи.

Поэтому

Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин

поэтому

Пример 4.5. Еслиaиb– постоянные, тоD(aХ+b)=D(aХ)+D(b)=.

4.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ, то дисперсия имеет размерность . Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса –средним квадратическим отклонением, которое равно корню квадратному из дисперсии

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний

Производится nнезависимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар. Выразим, как и прежде, число появления событияХчерез число появления события в отдельных опытах:

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимостиимеем

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)

	0	1
Р	1-р	р

и (пример 4.4). Поэтому, по определению дисперсии:

где q=1-p.

В итоге имеем ,

Среднее квадратическое отклонение числа появлений события в nнезависимых опытах равно.

4.3. Моменты случайных величин

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х () называется математическое ожиданиеk-й степени этой случайной величины.

Центральным моментомk-го порядка случайной величиныХназывается математическое ожиданиеk-ой степени соответствующей центрированной величины.

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

4.4. Примеры нахождения законов распределения

Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

Пример 4.7.

Составить закон распределения числа попаданий в цель при трех выстрелах по мишени, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную функцию F(х)для полученного распределения дискретной случайной величиныХи начертить ее график. Найти математическое ожиданиеM(X), дисперсиюD(X)и среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величиныX.

Решение

1) Дискретная случайная величина Х– число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3. Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n=3,p=0,4,q=1-p=0,6 иm=0, 1, 2, 3:

Получим вероятности возможных значений Х:;

;

Составим искомый закон распределения случайной величины Х:

Х	0	1	2	3
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х. Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

2) Если х0, то F(х)=0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х0 , пользуясь определениемF(х), получим F(х)=P(X<x)=0 (как вероятность невозможного события).

Если 0<x, тоF(X)=0,216. Действительно, в этом случаеF(х)=P(X<x)= =P(-<X0)+P( 0<X<x)=0,216+0=0,216.

Если взять, например, х=0,2, тоF(0,2)=P(X<0,2). Но вероятность событияХ<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХлишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0с вероятностью 0,216.

Если 1<x, то

Действительно, Хможет принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Хможет принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.

Если 2<x, то рассуждая аналогично, получимF(х)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х=3. ТогдаF(3)=P(X<3)выражает вероятность событияX<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(х).

Если x>3, тоF(х)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Действительно, событиеXявляется достоверным и вероятность его равна единице, аX>3 – невозможным. Учитывая, что

F(х)=P(X<x)=P(X3) + P(3<X<x), получим указанный результат.

Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:

F(x)=

график которой изображен на рис. 4.2.

Рис. 4.2

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Хна их вероятности:

М(Х)=0=1,2.

То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.

Дисперсию можно вычислить, исходя из определения дисперсии D(X)=M(X-M(X))или воспользоваться формулойD(X)=M(X, которая ведет к цели быстрее.

Напишем закон распределения случайной величины Х:

Х²	0	1	4	9	.
Р	0,216	0,432	0,288	0,064	.

Найдем математическое ожидание для Х:

М(Х)= 04= 2,16.

Вычислим искомую дисперсию:

D(X) = M(X) – (M(X))= 2,16 – (1,2)= 0,72.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

(X) = = 0,848.

Интервал (M-; M+) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал наиболее вероятных значений случайной величиныХ, в него попадают значения 1 и 2.

Пример 4.8.

Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х:

f(x)=

1) Определить постоянный параметр a.

2) Найти интегральную функцию F(x).

3) Построить графики функций f(x)иF(x).

4) Найти двумя способами вероятности Р(0,5<X1,5)иP(1,5<X<3,5).

5). Найти математическое ожидание М(Х), дисперсиюD(Х)и среднее квадратическое отклонение случайной величиныХ.

Решение

1) Дифференциальная функция по свойству f(x)должна удовлетворять условию.

Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f(x):

Подставляя этот результат в левую часть равенства, получим, что а=1. В условии дляf(x)заменим параметрана 1:

2) Для нахождения F(x)воспользуемся формулой

Если х, то, следовательно,

Если 1то

Если x>2, то

Итак, искомая интегральная функция F(x)имеет вид:

3) Построим графики функций f(x)иF(x) (рис. 4.3 и 4.4).

Рис. 4.3

Рис. 4.4.

4) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (а,b)вычисляется по формуле , если известнафункция f(x), и по формуле P(a < X <b) = F(b) – F(a), если известна функция F(x).

Найдем по двум формулам и сравним результаты. По условиюа=0,5; b=1,5; функцияf(X) задана в пункте 1). Следовательно, искомая вероятность по формуле равна: