Текст

3.8. Понятие о кинематическом способе построения линий влияния

Линии влияния можно строить и кинематическим способом, позволяю-

щим легко изобразить модель линии, т.е. линию влияния без ординат, а, при

необходимости, вычислить и ординаты.

Кинематический способ основан на принципе возможных перемещений.

Во всякой неизменяемой статически определимой системе существующие связи являются абсолютно необходимыми. Это означает, что если удалить какую-либо одну из связей, то расчетная схема превратится в механизм с од-

ной степенью свободы, перемещения всех точек которого линейно взаимо-

связаны.

Таким образом, для реализации кинематического способа необходимо удалить связь, в которой определяется усилие (реакция), заменив ее искомым усилием S. Далее необходимо построить схему возможных перемещений по-

лученного механизм, записать сумму работ на этих возможных перемещени-

ях и приравнять ее нулю.

Так как при построении линий влияния на ездовой пояс расчетной схемы действует только одна единичная сила, то выше указанная сумма будет со-

Работу реакции в удаленной связи (усилие) AS можно записать в виде произведения усилия S на возможное перемещение по его направлению δS:

AS = S δS,

а работу внешней единичной силы как произведение этой силы на возможное

В качестве примера рассмотрим балку с консолями (рис. 3.40. а) и по-

строим линии влияния опорной реакции RB и усилий в сечении k.

151

Для построения линии влияния RB удалим вертикальную опорную связь в

точке В и зададим по направлению реакции возможное перемещение δRB

(рис. 3.40, б). В результате полученный механизм повернется вокруг непод-

вижной точки A. Перемещение δF будет отрицательным, так как противопо-

ложно направлению единичной силы.

Для определения ординат линии влияния рассмотрим положение единич-

Для построения линии влияния изгибающего момента Mk необходимый механизм получим, введя шарнир в сечении k. Зададим поворот ветвей меха-

низма в направлении Mk . В результате врезанный шарнир сместится на ве-

личину (рис. 3.40, г). Возможное перемещение по направлению удаленной

Перемещение δF будет отрицательным, так как противоположно направ-

лению единичной силы, поэтому на основании (3.29) имеем

Для определения ординат линии влияния рассмотрим положение единич-

ного груза над сечением k. В этом случае δF = и, следовательно, Mk = ab/l.

Линия влияния изгибающего момента приведена на рис. 3.40, д.

Для построения линии влияния поперечной силы Qk . Для полученного двухветвевого задается возможное перемещение в направлении Qk. В ре-

зультате обе ветви повернутся на угол φ (рис. 3.40, е).

Суммарное возможное перемещение по направлению поперечной силы

Qk равно

δ Qk = aϕ + bϕ = (a + b)ϕ = lϕ .

152

Следовательно, на основании (3.29) Qk = – δF/lφ.

Для определения ординат линии влияния рассмотрим положение единич-

ного груза в двух положениях:

Линия влияния поперечной силы Qk приведена на рис. 3.40, ж.

Особенно эффективен кинематический способ при построении линий влияния реакций и усилий многопролетных шарнирно-консольных балок. На рис. 3.41, а – з приведены схемы механизмов и модели линий реакции RB и

усилий в сечениях k, m и n шарнирноконсольной балки, рассмотренной в подразд. 3.3 (см. рис. 3.9.

Контрольные вопросы

1.Что называется линией влияния?

2.Что означает произвольная ордината линии влияния?

3.Что называют ездовым поясом расчетной схемы?

4.Как определяется длина линии влияния?

5.Сформулируйте принципы построения линий влияния усилий и реак-

ций шарнирно-консольных балок.

6.Что понимают под узловой передачей нагрузки?

7.Что называется передаточной прямой и в каких случаях она использу-

ется?

8.Какова последовательность действий при построении линий влияния усилий в распорных расчетных схемах?

9.Сколько в общем случае содержит ветвей линия влияния распора трехшарнирных рам?

10.Когда линия влияния распора имеет одну ветвь?

11.Какие особенности построения линий влияния усилий в стержнях ба-

лочных ферм вы знаете?

153

12.В каких случаях линии усилий в стержнях балочных ферм отличаются

взависимости от расположения ездового пояса?

13.Объясните понятия «левая ветвь», «правая ветвь», «передаточная прямая», используемые при построении линий влияния усилий в стержнях ферм.

14.Как построить линии влияния усилий в стержнях шпренгельных

ферм?

15.Сформулируйте особенности построения линий влияния усилий в стержнях распорных ферм.

16.Как определяются расчетные усилия по линиям влияния при действии неподвижной нагрузки.

17.Какая нагрузка называется подвижной?

18.Какое загружение подвижной нагрузкой называется невыгоднейшим?

19.Как записывается условие невыгоднейшего загружения линии влия-

ния равномерно распределенной нагрузкой?

20. Как формулируются условия невыгоднейшего загружения треуголь-

ной линии влияния системой связанных сосредоточенных грузов?

21.Какая нагрузка называется эквивалентной?

22.Что собой представляет огибающая эпюра и для каких целей она строится?

154

Глава 4

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

4.1. Общие положения

При действии внешней нагрузки упругая расчётная схема деформируется,

и все её точки (сечения) будут перемещаться. Как указывалось в курсе со-

противления материалов, в стержневых системах перемещения, вызванные деформацией материала, малы по сравнению с размерами элементов. Тем не менее, может оказаться, что перемещения, не опасные для работы конструк-

ции с точки зрения прочности, недопустимы по условиям нормальной её эксплуатации, поэтому перемещения определяют для оценки жёсткости су-

ществующих и проектируемых конструкций. Кроме того, определение пере-

мещений является одной из составных частей расчёта статически неопреде-

лимых систем и динамического расчёта сооружений.

При определении перемещений используются те же допущения и гипоте-

зы, что и в расчётах на прочность. Основным допущением остаётся допуще-

ние об идеальной упругости материала и, как следствие, о существовании линейной зависимости между силами и перемещениями. Следовательно, де-

формации материала конструкции, являющиеся причиной перемещений, яв-

ляются линейными, а тело, подверженное таким деформациям – линейно де-

формируемым, и для него справедлив принцип независимости действия сил.

Перемещения точек (сечений) расчётных схем происходят под влиянием различных внешних воздействий: нагрузки, неравномерной осадки опор, не-

точности изготовления элементов конструкции, температурного воздействия.

Далее при изложении материала будем использовать следующие обозна-

чения:

– перемещения от внешних воздействий;

155

δ – перемещения от единичных безразмерных сил, используемых в расчё-

тах как вспомогательные силовые факторы.

В зависимости от целей расчёта указанные перемещения могут иметь два индекса, первый из которых указывает направление перемещения, а второй – его причину. Например, iF – перемещение по выбранному направлению i,

вызванное силой F; δik – перемещение по направлению i, вызванное единич-

ной безразмерной силой, приложенной по направлению k.

Между указанными перемещениями существует естественная математи-

ческая зависимость

где δiF – перемещение по направлению i, вызванное единичной безразмерной силой, приложенной по направлению действующей силы F.

Если необходимо определить перемещение по какому-то направлению от группы сил, то на основании принципа независимости действия сил можно

Кроме перемещений, вызванных действующими на сооружение нагрузка-

ми и другими воздействиями, называемых действительными, в теорию пе-

ремещений вводится понятие возможных перемещений.

Под возможным перемещением понимают весьма малое перемещение точки оси сооружения, допускаемое имеющимися связями и независящее от заданной системы сил.

Исходя из этого определения величины, приведённые в формулах (4.1) и (4.2) являются возможными перемещениями.

4.2.Работа сил. Потенциальная энергия деформации

Взависимости от вида перемещений будем различать действительную и

возможную работу сил на этих перемещениях.

156

Действительной называется работа силы на перемещении ею же и вы-

званным.

При определении действительной работы необходимо помнить о статиче-

ском характере действующей на сооружение нагрузки (см. подразд. 1.6), ко-

торая увеличивается постепенно до своей конечной величины.

Для определения действительной работы T обозначим переменное значе-

ние внешней силы – Fi, а переменное значение вызванного ею перемещения –

i (рис.4.1, а). Приращение статически приложенной силы dFi вызовет при-

ращение перемещения d i. Тогда работа, совершенная приращением силы будет выражаться площадью заштрихованной трапеции, которую в силу ма-

лости величин можно считать площадью элементарного прямоугольника. Та-

ким образом, элементарная работа может быть записана как

dT = dFi·d i.

Полная действительная работа по достижении силы и перемещения своих

т.е. выражается площадью треугольника OAB.

Если на систему действует несколько сил, то на основании принципа не-

зависимости действия сил выражение (4.3) примет вид

i =1

Таким образом, суммарная работа внешних сил равна полусумме произве-

дений каждой силы на соответствующее ей перемещение (теорема Клайпе-

рона).

Если же работа силы совершается на перемещении, вызванном какими либо другими факторами, полагают, что указанная сила уже достигла своей статической величины, а изменяется лишь перемещение (рис.4.1, б). В этом случае работу силы на перемещении называют возможной, и она выражается площадью прямоугольника ABOC, т.е.

157

Теперь получим выражения для действительной работы внутренних сил.

В целях упрощения расчётных формул рассмотрим только плоскую систему при совместном действии растяжения (сжатия) с изгибом.

В этом случае деформации бесконечно малого элемента стержня, как по-

казано в курсе сопротивления материалов, можно записать в следующем ви-

де:

· при растяжении или сжатии (рис.4.2, а)

Силы N, M и Q, действующие на бесконечно малый элемент ds, совершают работу не перемещениях (4.6), (4.7) и (4.8) соответственно, вызванных этими силами. Работа внутренних сил всегда отрицательна, так как внутренние си-

лы противодействуют деформациям.

На основании выше изложенного можно записать выражения для элемен-

158

На основании принципа независимости действия сил, суммируя выраже-

ния (4.9), (4.10) и (4.11) и интегрируя результат суммирования в пределах каждого стержня расчётной схемы, получим выражение для действительной работы внутренних сил.

При вычислении возможной работы внутренних сил значения деформаций бесконечно малого элемента стержня (4.6), (4.7) и (4.8) будут вызваны ины-

ми силовыми факторами. Обозначим внутренние силы, совершающие рабо-

ту, Mi, Qi и Ni, а внутренние силы, вызывающие деформации, – Mk, Qk и Nk.

Тогда деформации бесконечно малого элемента можно записать в виде

выражения для элементарной возможной работы будут иметь вид

а полное выражение возможной работы внутренних сил по аналогии с (4.12)

примет вид

Для пространственных расчётных схем можно получить выражения для работ внутренних сил по аналогии с (4.12) и (4.13), добавив ещё три компо-

нента усилий и соответствующих им деформаций: изгиб и сдвиг в плоскости x0z и кручение.

Так как по принятому допущению материал конструкции обладает иде-

альной упругостью, то после снятия нагрузки система должна вернуться в первоначальное положение, и все элементы должны восстановить свою на-

чальную форму. При этом внутренние силы совершат работу, которая будет положительной, поскольку направления действия внутренних сил совпадут с направлением перемещений.

159

Исходя из определения, что энергия есть способность тела совершать работу, можем сделать вывод, что работа внутренних сил при переходе уп-

ругой системы из деформированного состояния в исходное называется по-

тенциальной энергией внутренних сил деформируемого тела:

Итак, мы установили, что внешние силы, деформируя сооружение, совер-

шают положительную работу. В процессе деформации внутренние силы,

препятствуя развитию деформаций, совершают отрицательную работу. Ис-

ходя из принятых в подразд. 1.7 допущениях никаких других затрат энергии

(на преодоление трения, на образование и выделение тепла и т.д.) в идеально упругих системах не происходит. Поэтому в соответствии с законом сохра-

нения энергии работа внутренних сил равна работе внешних сил, но проти-

воположна по знаку:

4.3. Основные принципы строительной механики

4.3.1. Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений (принцип Ж. Лагранжа) является од-

ним из основных положений теоретической механики, рассматривающей аб-

солютно твердые недеформируемые тела.

Суть принципа возможных перемещений состоит в следующем: для того,

чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необхо-

димо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.

Принцип Лагранжа может быть использован в задачах статики при опре-

делении реакций в связях вместо уравнений равновесия.

Применение принципа Лагранжа напомним на следующем примере.

160