Текст

отношению к рассматриваемому диски, способные передавать на него давле-

ние от нагрузки.

Рассмотрим шарнирно-консольную балку, изображенную на рис. 3.9, а. Ее поэтажная схема (схема образования) представлена на рис. 3.9, б. В этой схе-

ме диски ABC и DEFK – главные, а диски CD и KS – второстепенные (см.

подразд. 2.4.1).

Линию влияния опорной реакции RB (рис. 3.9, в) построим как для одно-

пролетной балки, откладывая у опоры B ординату, равную единице, а опоры

А – нулевую ординату. Через эти две точки проводим прямую с продолже-

нием ее на консоли балки. Наибольшее значение опорной реакции RB будет,

когда груз расположится на конце консоли ВС. Когда груз перейдет на вто-

ростепенный диск CD, давление на конец консоли будет уменьшаться по ме-

ре перемещения груза к точке D, следовательно, будет уменьшаться и опор-

ная реакция RB. Она станет раной нулю, когда груз расположится в точке D и

будет полностью передаваться на следующий главный диск DEFK. Поэтому от наибольшей ординаты под шарниром C проведем прямую до нулевой ор-

динаты под шарниром D. Далее все ординаты линии влияния будут нулевы-

ми, так как при продвижении единичного груза по остальным дискам опор-

ная реакция RB не возникает.

Сечение k принадлежит второстепенному диску CD (подвеске), поэтому линии влияния Mk и Qk (рис. 3.9, г и д) ничем не отличаются от линий влия-

ния в соответствующей однопролетной балки.

Сечение m принадлежит главному диску DEFK. Линии влияния Mm и Qm

(рис. 3.9, е и ж) строим для этого диска как для простой балки с продолже-

нием обеих ветвей на консоли. От ординат в крайних точках консолей прово-

дим прямые к нулевым ординатам под шарнирами D и K, так как по мере приближения к ним груза изгибающий момент и поперечная сила в сечении m будут уменьшатся.

Рассуждая аналогично, построим линии влияния Mn и Qn (рис. 3.9, з и и).

121

3.4. Линии влияния реакций и усилий в трехшарнирных арках и рамах

Рассмотрим трехшарнирную арку с опорами на одном уровне (рис. 3.10,

а), по которой перемещается единичный вертикальный груз. Действие верти-

кальной нагрузки на трехшарнирную арку рассмотрено в подразд. 2.5, где были получены расчетные формулы для определения реакций и усилий в се-

чениях арки.

Л и н и и в л и я н и я о п о р н ы х р е а к ц и й

Для построения вертикальных опорных реакций (рис. 3.10, б) воспользу-

емся выражениями (2. 11): VA =VAб ; VB =VBб , из которых следует, что линии влияния вертикальных опорных реакций трехшарнирной арки точно такие же, как и линии влияния опорных реакций однопролетной балки (рис. 3.10, в

и г).

пора достаточно построить линии влияния изгибающего момента M Cб в сече-

нии С простой балки (рис. 3. 10, д) и, разделив все ее ординаты на величину стрелы подъема f, получить линию влияния распора H (рис. 3.10, е). Ее орди-

ната под шарниром С равна l1l2/lf. В случае расположения шарнира С в сере-

дине пролета арки (l1 = l2 = 0,5l) эта ордината равна l/4f.

Построенная линия влияния распора H является двухветвевой: левая ветвь

(1 – на рис. 3.10, е) соответствует перемещению единичного груза слева от шарнира C (0 ≤ x ≤ l1); правая (2 – на рис. 3.10, е)– справа от шарнира С (l1 ≤ x

≤ l).

122

Л и н и я в л и я н и я и з г и б а ю щ е г о м о м е н т а в

с е ч е н и и

Рассмотрим произвольное сечение k (рис. 3.11, а) на левой поларке, рас-

положенное на расстоянии a от левой опоры.

бающего момента в сечении k арки может быть получена как алгебраическая сумма двух линий влияния: линии влиянии изгибающего момента M kб в се-

чении k простой балки (рис. 3.11, б) и линии влияния распора с обратным знаком, умноженной на ординату yk (рис. 3.11, в). Складывая эти линии влияния по ординатам, получим линию влияния Mk (рис. 3.11, г).

Линия влияния Mk имеет три ветви: левую ветвь (1 – на рис. 3.11, г), со-

ответствующую перемещению груза от опоры до сечения k (0 ≤ x ≤ a); 1-ю

правую ветвь (2 – на рис. 3.11, г), соответствующую перемещению груза от сечения k до шарнира C (a ≤ x ≤ l1) и 2-ю правую ветвь (3 – на рис. 3.11, г),

соответствующую перемещению груза справа от шарнира C (l1 ≤ x ≤ l).

1-я правая ветвь отсекает на левой опоре ординату, равную а и имеет ну-

левую точку O1.

Положение нулевой точки можно определить на основании теоремы о равновесии трех сходящихся сил (см. раздел статика в курсе теоретической механики).

Действительно, если груз располагается на левой полуарке, линия дейст-

вия полной опорной реакции в пяте B должна совпасть с линией СВ (см. рис. 3.11, а); в тоже время изгибающий момент в сечении k будет равен нулю, ес-

ли линия действия полной реакции в пяте A совпадет с линией Аk; в этом случает груз должен располагаться под точкой О пересечения линий Ak и CB.

Следовательно, под точкой О ордината линии влияния должна иметь нуле-

вую ординату – точку O1 на рис. 3.11, г.

123

Если известна нулевая точка линии влияния, то построение полной линии влияния значительно упрощается, т.к. нет необходимости прибегать к со-

жжению линий влияния на основе формулы (2.17). Этот способ построения линии влияния называется способом нулевой точки.

Итак, для построения линии влияния изгибающего момента в сечении k,

сначала находим положение нулевой точки, для чего проводим линии и до взаимного пересечения в точке О и сносим ее на ось линии влияния (точка

О1).

Далее на оси линии влияния (см. рис. 3.11, г) откладываем ординату а под левой опорой и проводим прямую k1O1C1 через нулевую точку до шарнира С.

Отсюда проводим прямую до нулевой ординаты под правой опорой. Затем сносим на прямую k1O1C1 положение сечения k и соединяем полученную ор-

динату с нулевой на левой опоре.

В зависимости от положения сечения k на левой полуарке может случить-

ся, что прямые Ak и CB пересекутся справа от шарнира C. Построение в принципе остается таким же, но нулевая точка будет мнимой, а все ординаты линии влияния Mk будут одного знака.

Л и н и я в л и я н и я п о п е р е ч н о й с и л ы в с е ч е н и и

Рассмотрим то же сечение k в арке, касательная к которому образует угол

поперечной силы в сечении k арки может быть получена как алгебраическая сумма двух линий влияния: линии влиянии поперечной силы Qkб в сечении k

простой балки с умножением всех ее ординат на cos φk (рис. 3.12, б) и линии влияния распора с обратным знаком, умноженной на sin φk (рис. 3.12, в).

Складывая эти линии влияния по ординатам, получим линию влияния Qk

(рис. 3.12, г).

124

Линия влияния Qk также имеет три ветви: левую ветвь (1 – на рис. 3.12,

г), соответствующую перемещению груза от опоры до сечения k (0 ≤ x ≤ a); 1-

ю правую ветвь (2– на рис. 3.12, г), соответствующую перемещению груза от сечения k до шарнира C (a ≤ x ≤ l1) и 2-ю правую ветвь (3 – на рис. 3.12, г),

соответствующую перемещению груза справа от шарнира C (l1 ≤ x ≤ l).

1-я правая ветвь отсекает на левой опоре ординату, равную cos φk и имеет нулевую точку O1.

При построении линии влияния Qk также можно способ нулевой точки.

Поперечная сила в сечении k будет равна нулю, если линия действия полной реакции RA параллельна касательной к сечению (прямая АО на рис 3.12, а). В

данном случае положение единичного груза будет определяться точкой О пересечения прямой CB c прямой AO. Заметим, что нулевая точка получи-

лась фиктивной, т. к. ее положение находится вне участка kC арки. Вирту-

альная невесомая жесткая консоль обеспечивает положение груза на этом участке (см. рис. 3.12, а).

Снесем положение точки O на ось линии влияния (точка О1 на рис. 3.12,

г). Отложив под левой опорой ординату, равную cos φk, проведем прямую k1O1C1 через нулевую точку до положения шарнира С; на построенную пря-

мую снесем положение сечения и из нулевой ординаты на левой опоре про-

ведем левую ветвь параллельно прямой k1O1C1 (1-ой правой ветви). Далее ординату С1 соединим с нулевой на правой опоре.

Л и н и я в л и я н и я п р о д о л ь н о й с и л ы в с е ч е н и и

Рассмотрим то же сечение k в арке, касательная к которому образует угол φk с горизонталью (рис. 3.13, а).

Из формулы (2.19) Nk = – [ Qkб sin φk + H cos φk] следует, что линия влияния продольной силы в сечении k арки может быть получена как алгебраическая сумма двух линий влияния: линии влиянии поперечной силы Qkб в сечении k

125

простой балки с обратным знаком и умножением всех ее ординат на sin φk

(рис. 3.13, б) и линии влияния распора с обратным знаком, умноженной на cos φk (рис. 3.13, в). Складывая эти линии влияния по ординатам, получим линию влияния Nk (рис. 3.13, г).

Линия влияния Nk также имеет три ветви: левую ветвь (1 – на рис. 3.13,

г), 1-ю правую ветвь (2 – на рис. 3.13, г), и 2-ю правую ветвь (3– на рис. 3.13,

г).

Также как и в двух предыдущих случаях можно использовать способ ну-

левой точки. Чтобы в сечении k продольная сила была равна нулю, если ли-

ния действия реакции перпендикулярна касательной к сечению (линия АО на рис. 3.13, а). Пересечение линий действия RА и RВ (прямая ВС) определяет нулевую точку О при расположении единичного груза на виртуальной неве-

сомой жесткой консоли (см. рис. 3.13, а), т.е. нулевая точка получилась фик-

тивной. Первая правая ветвь О1k1C1 (см. рис. 3.13, г) будет направлена через нулевую точку и ординату (– sin φk )под опорой А. Две другие ветви строятся так же, как и в линии влияния Qk.

Расчетные формулы (2.11 – 2.19) могут быть использованы и для построе-

ния линий влияния реакций и усилий в сечениях трехшарнирных рам с од-

ним ограничением: формулы (2.17 – 2.19) могут быть использованы для по-

строения линий влияния усилий в сечениях при условии, что рассматривае-

мое сечение находится в пределах пролета расчетной схемы.

Рассмотрим методику построения линий влияния для трехшарнирных рам на нескольких примерах.

Пример 3.2. Требуется построить линии влияния опорных реакций и уси-

лий в сечениях k, m, n и s трехшарнирной рамы (рис. 3.14, а).

Решение. 1. Задаемся положительным направлением опорных реакций

(рис. З.14, б) и на основании (2. 11): VA =VAб ; VB =VBб строим линии влияния вертикальных опорных реакций (рис. 3. 14, в и г).

126

2. Строим линию влияния балочного изгибающего момента для сечения С

3. Рассмотрим сечение k (3.15, а). Сечение принадлежит ездовому поясу и находится в пределах пролета. Для этого сечения yk= 4,0 м, φk = 0 (cos φk = 1,

sin φk = 0).

Следовательно, по формулам (2.17 – 2.19):

Mk = M kб – 4 H ; Qk = Qkб ; Nk = – H.

Для построения линии влияния Mk строим линию влияния балочного мо-

мента M kб (рис. 3.15, б) и линию влияния H, умноженную на – 4 ( рис. 3.15, в).

Складывая эти два графика по ординатам, получим линию влияния Mk (рис. 3. 15, г).

Линия влияния Qk = Qkб показана на рис. 3.15, д, а линия влияния Nk = – H

–на рис. 3. 15, е.

4.Рассмотрим сечение m (3.16, а). Сечение так же принадлежит ездовому

поясу и находится в пределах пролета. Для этого сечения ym= 4,0 м, φm = 0

(cos φm = 1, sin φm = 0).

Следовательно, по формулам (2.17 – 2.19):

Mm= M mб – 4 H ; Qm = Qmб ; Nm= – H.

Для построения линии влияния Mm строим линию влияния M mб , как для сечения, расположенного на консоли простой балки (рис. 3.16, б), и линию влияния H, умноженную на – 4 ( рис. 3.16, в). Складывая эти два графика по ординатам, получим линию влияния Mk (рис. 3. 16, г).

Линия влияния Qm = Qmб показана на рис. 3.16, д, а линия влияния Nm= –

H – на рис. 3. 16, е.

5. Рассмотрим сечение n (рис. 3.17, а). Сечение расположено на левой стойке рамы, поэтому для определения усилий в этом сечении удобнее вос-

пользоваться обычными правилами их определения, а именно

127

M n = ∑ M nниз = −2H (растянуты наружные волокна стойки);

Qn = ∑ Fnниз, y = −H ; Nn = ∑ Fnниз,x = −VA , где x, y – собственные оси стержня.

Линии влияния Mn, Qn и Nn показаны на рис. 3. 17, б, в и г, соответствен-

но.

6. По аналогии рассмотрим сечение s (рис. 3.18, а). Сечение расположено

на правой стойке рамы, и усилия в нем равны

Следовательно, для построения линии влияния необходимо построить уд-

военные линии влияния (рис. 3. 18, б и в) с обратным знаком и их сложить

(рис. 3.18, г).

Линии влияния Qs и Ns показаны на рис. 3. 18, д и е, соответственно.

Замечание. При построении линий влияния изгибающих моментов в се-

чениях вертикальных или наклонных стержней расчетной схемы необходимо задаться их правилом знаков. В рассмотренном примере принято правило

знаков как при расчете арок: изгибающий момент считается положитель-

ным, если при его действии растянуты внутренние волокна стержня.

Пример 3.3. Требуется построить линии влияния опорных реакций в

трехшарнирной раме с опорами на разном уровне (рис. 3. 19, а)

Характеристики угла наклона линии AB, соединяющей опорные точки ра-

мы: cosα = 0,9071; sinα = 0,2415. Расстояние от ключа рамы до линии AB

f = 0,5(4 + 2)cosα = 2,91 м.

Решение. 1. Чтобы избежать решения системы уравнений (2.9) при опре-

делении опорных реакций, направлением реакций задаемся, как показано на

рис. З.19, б, т.е., распор направляем по линии АВ, соединяющей опорные

128

вертикальных опорных реакций (рис. 3. 19, в и г), а по выражению (2.12):

2. В практических инженерных расчетах, как правило, используют орто-

гональные направления опорных реакций (рис. 3.19, е). Зная величины реак-

ций VA′, VB′ и H', их можно разложить на два новых направления, ортогональ-

ных друг другу.

строения линий влияния VA и VB, сначала построим линию влияния H' sinα (рис. 3.19, з). Затем вычитая этот график из графика, показанного на рис. 3. 19, в, получим линию влияния VA (рис. 3.19, и), а складывая его с графиком на рис. 3.18, г, получим линию влияния VB (рис. 3.19, к).

Пример 3.4. Требуется построить линии влияния опорных реакций и уси-

лий к сечении k трехшарнирной рамы (рис. 3.20, а).

Особенность данной рамы является то, что грузовой пояс по своей длине короче пролета, а перемещение единичного груза происходит по одну сторо-

ну от ключевого шарнира (по диску AC). Это означает, что линия влияния

распора для данной схемы будет одноветвевой.

Решение. 1. Задаемся положительным направлением опорных реакций

(рис. З.20, б) и на основании (2. 11): VA =VAб ; VB =VBб строим линии влияния вертикальных опорных реакций (рис. 3. 20, в и г).

2. Распор определим из уравнения ∑ MCниз = H ×2 -VB ×4 = 0 , откуда H = 2VB.

На основании полученного выражения строим линию влияния распора H

(рис. 3.20, д).

3. Рассмотрим сечение k. Сечение принадлежит ездовому поясу и нахо-

дится в пределах пролета. Для этого сечения yk= 4,0 м, φk = 0 (cos φk = 1, sin

φk = 0).

129

Следовательно, по формулам (2.17 – 2.19):

Mk = M kб – 4 H ; Qk = Qkб ; Nk = – H.

Линия влияния Qk = Qkб показана на рис. 3.20, е, а линия влияния Nk = – H

– на рис. 3. 20, ж.

Для построения линии влияния Mk строим линию влияния балочного мо-

мента M kб (рис. 3.20, з) и линию влияния H, умноженную на – 2 ( рис. 3.20, и).

Складывая эти два графика по ординатам, получим линию влияния Mk (рис. 3. 20, к).

Замечание. Для построения ветвей линий влияния удобно использовать ординаты опорных точек, т.е. при х = 0 и при x = l = 8, что и показано на всех изображенных на рис. 3.20 линиях влияния. Затем на них выделяется зона,

соответствующая длине ездового пояса, и все характерные ординаты опре-

деляются из подобия треугольников.

3.5. Линии влияния при узловой передаче нагрузки

Узловая передача нагрузки имеет место, когда подвижная нагрузка пере-

дается на расчетную схему через систему настилов и поперечных прогонов.

Рассмотрим однопролетную балку (рис. 3.21, а), нагрузка на которую пе-

редается через прогоны 1 и 2, по которым уложены балки настила 0 – 1, 1 – 2

и 2 – 3. Для упрощения расчета примем допущения, что эти балки являются разрезными и имеют шарнирные опирания в узлах 1 и 2 на главную балку

AB. Следовательно, прогоны 1 и 2 можно трактовать как вертикальные ли-

нейные связи.

Отделим систему настилов от главной балки AB, заменив действие прого-

нов реакциями V1 и V1, и рассмотрим перемещение единичного груза в пре-

делах настила 1 – 2 (рис. 3. 21, б) пролета d.

По принятому допущению вертикальные реакции V1 и V2 будут реакциями в простой балке (3.1): V1 = (d – x)/d, V1 = x/d.

130