Текст

Формулы (1.7) и (1.8) и соответствующие им условиям (1.9) и (1.10) описыва-

ют общий случай определения степени свободы пространственной расчётной

схемы.

При анализе пространственных ферм удобнее пользоваться иными, более

простыми зависимостями.

Обозначим число узлов пространственной фермы – У, число собственных

стержней фермы – СФ, число опорных стержней – Соп. Каждый узел фермы можно рассматривать как точку, которая в свободном состоянии имеет три сте-

пени свободы. Таким образом, степень необъединённых между собой узлов бу-

дет 3У. При соединении двух узлов стержнем суммарная степень свободы уменьшается на единицу. Следовательно, стержень фермы можно рассматри-

вать как простую линейную связь. Полное число связей фермы, ограничиваю-

Соблюдение условий (1.9), (1.10) и (1.12) совершенно необходимо, но недос-

таточно, так как указанные соотношения устанавливают необходимые соотно-

шения между числом связей и числом тел, но не показывают, как же соединены эти тела между собой. Достаточность указанных условий должна быть допол-

нена анализом геометрической структуры расчётной схемы.

Анализ геометрической структуры расчётной схемы базируется на правилах соединения тел в единое жёсткое целое и присоединения их к основанию.

Для образования неизменяемого соединения двух тел или присоединения одного тела (неизменяемой группы тел) необходимо не менее шести простых

31

линейных связей. Задача состоит в том, как расположить эти стержни, так как их неправильное размещение повлечет за собой изменяемость соединения.

На рис.1.23 показаны примеры неправильного присоединения к основанию неизменяемой системы тел или соединений двух тел. Показанные исключи-

тельные соединения двух тел при помощи шести линейных связей, приводящие к мгновенной изменяемости, следующие.

1. Оси шести линейных связей пересекают одну прямую АА (рис.1.23, а). Эта прямая будет осью бесконечно малого поворота одного тела относительно дру-

гого. Здесь могут следующие частные случаи:

• линейные связи по три пересекаются в двух точках (рис. 1.23, б). Через эти точки проходит прямая AA, являющаяся осью бесконечно малого поворота двух соединяемых тел;

• четыре линейные связи расположены в одной плоскости (рис. 1.23, в). В

этом случае две другие линейные связи пересекут эту плоскость в двух точках,

через которые проходит прямая, пересекаемая осями всех четырёх стержней,

лежащих в указанной плоскости. Прямая AA будет осью бесконечно малого по-

ворота двух соединяемых тел.

• линейные связи расположены в параллельных плоскостях (рис.1.23, г). Точ-

ки пересечения осей связей в силу параллельности плоскостей будут иметь од-

новременное бесконечно малое смещение в направлении, перпендикулярном плоскостям (по линиям смещения I, II, III, показанным на рисунке).

• линейные связи расположены в двух плоскостях (рис.1.23, д). Линия пересе-

чения плоскостей AA пересекается осями всех стержней и является осью беско-

нечно малого поворота соединяемых тел.

2. Более трёх осей линейных связей пересекаются в одной точке.

• оси линейных связей параллельны (рис.1.23, е). Если в соединении есть бо-

лее трёх линейных связей, оси которых параллельны, соединяемые тела могут иметь поступательные перемещения относительно друг друга по любому на-

правлению в плоскости, перпендикулярной осям связей (или бесконечно малый поворот вокруг оси AA).

32

• оси линейных связей непараллельны, но более трёх из них сходятся в од-

ной точке. Сходящиеся связи закрепляют только три степени свободы. Осталь-

ных связей (менее трёх) недостаточно, чтобы для закрепления ещё трёх степе-

ней свободы.

3. Оси трёх линейных связей лежат в одной плоскости и сходятся в одной

точке (рис.1.23, ж). Сходящиеся связи в этом случае закрепляют всего две сте-

пени свободы. Остальных связей недостаточно, чтобы закрепить остальные че-

тыре степени свободы соединяемых тел.

Примеры правильного расположения связей при прикреплении пространст-

венных тел к основанию показаны на рис. 1.24, а – е.

Рассмотрим несколько примеров анализа геометрической структуры про-

странственных расчётных схем.

Пример 1.4. Требуется произвести проверку геометрической неизменяемо-

сти прикрепления твёрдого тела к основанию (рис.1.24, д).

Решение. Число тел Т=1, количество опорных связей Соп=6. Необходимое условие геометрической неизменяемости (1.8) выполняется, так как W =6·1 − 6 = 0.

Анализ прикрепления тела к основанию начинаем с определения заведомо неподвижной точки тела. Такой точкой является точка F, прикреплённая к ос-

нованию тремя связями – AF, BF и CF, не параллельными и не лежащими в од-

ной плоскости. Следующая неподвижная точка – Е, также закреплённая по трём направлениям: двумя связями AE и DE – с основанием и самим телом Т по линии EF с неподвижной точкой F. Таким образом, две точки данного тела F и E прикреплены неподвижно.

Свободу перемещений остальных точек тела ограничивает связь CG, по-

ставленная вертикально, так как ось этой связи не должна проходить через прямую EF (пересекаемую всеми остальными стержнями) или быть параллель-

ной. В противном случае возможен бесконечно малый поворот тела Т вокруг прямой EF.

33

Следовательно, рассматриваемое прикрепление твёрдого тела к основанию геометрически неизменяемо.

Аналогично анализируются и другие способы прикрепления тела к основа-

нию, представленные на рис. 1.24.

Пример 1.5. Требуется проверить геометрическую неизменяемость про-

странственной фермы, изображённой на рис.1.25.

Решение. В рассматриваемой расчётной схеме пространственной фермы об-

щее число узлов У=8; число стержне фермы СФ=16; число опорных связей Соп

=8. Необходимое условие геометрической неизменяемости (1.12) W= 3·8 − 16 − 8 = 0 выполняется.

Анализ соединения стержней фермы начинаем с определения её неподвиж-

ных частей. Неподвижной точкой опорного кольца является узел А, закреплён-

ный опорными стержнями в трёх направлениях. Тогда стержни опорного коль-

ца AB, BC, CD и DA тоже будут неподвижными, так как каждый узел кольца будет закреплён в трёх направлениях: непосредственно опорными стержнями в двух направлениях и через стержень опорного кольца на соседней опоре в дру-

гом направлении.

Все остальные узлы фермы прикреплёны к неподвижным узлам опорного кольца тремя связями – стержнями фермы, не параллельными не сходящимися в одной точке, и поэтому также является неподвижным.

Таким образом, вся ферма является геометрически неизменяемой.

1.6.Нагрузки и воздействия

1.6.1. Классификация нагрузок

Внешние активные силы, действующие на сооружение, называются нагруз-

ками. Классифицируют нагрузки по различным признакам: способу приложе-

34

ния, характеру воздействия, характеру изменения во времени, продолжительно-

сти действия.

1. По способу приложения нагрузки могут быть, поверхностными или объ-

ёмными.

Поверхностная нагрузка распределяется по площади и измеряется интенсив-

ность в кН/м2.

Объёмные нагрузки непрерывно распределены по всему объёму твёрдого тела, например, сила тяжести твёрдого тела и измеряются интенсивность в кН/м3 или её производными.

Поверхностная нагрузка распределяется по площади и измеряется интенсив-

ность в кН/м2.

Объемные и поверхностные нагрузки, действующие на линейный элемент расчётной схемы (брус), обычно заменяют сплошной нагрузкой по длине эле-

мента, измеряемой интенсивностью в кН/м.

Однако, если объём тела или площадка поверхности пренебрежительно малы,

объёмные и поверхностные силы заменяются сосредоточенными, которые из-

меряются в кН.

2. По характеру действия нагрузки делятся на неподвижные и подвижные.

К неподвижным нагрузкам относятся любые виды нагрузок, не меняющие места своего приложения.

К подвижным относятся нагрузки от любого вида подвижного транспорта или оборудования, используемого в сооружении.

3. По характеру изменения во времени нагрузки делятся на статические и

динамические.

Статические – это нагрузки, не меняющие ни при каких условиях своих зна-

чений, направлений и положения. Статическое действие передаётся постепен-

но, не вызывая ускорения тела, не нарушая его равновесия.

Динамические нагрузки, в отличие от статических, могут изменять во вре-

мени как свои значения и направление, так и положение на сооружении. К ди-

35

намическим относятся нагрузки, создаваемые движущимися частями стацио-

нарных установок, ударные и сейсмические нагрузки.

4. По продолжительности действия нагрузки делятся на постоянные и вре-

менные.

К постоянным относят нагрузки, неотделимые от сооружения (собственный вес), и вес стационарного оборудования.

К временным относят все нагрузки, имеющие временный характер приложе-

ния: нагрузка от снега, ветровая нагрузка, нагрузка от складируемых материа-

лов, от заполнения помещений людьми, подвижная нагрузка. К временным также относят воздействия на сооружения, не имеющие силового выражения:

температуру, неравномерную осадку опор, неточность изготовления элементов конструкции.

1.6.2.Представление нагрузок в расчетных схемах

1.Сосредоточенная сила F (рис.1.26, а) – основной вид представления на-

грузки в расчётных схемах.

Сила F характеризуется точкой приложения А, линией действия ВС и на-

правлением.

2. Пара сил представляет собой систему двух равных антипараллельных сил

(рис.1.26, б). Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил называется

плечом пары.

Пара сил (или просто пара) характеризуется моментом пары (или просто моментом), численно равным произведению величины одной из сил пары на плечо: M = F h.

В расчётных схемах данный вид нагрузки может быть изображён как в виде пары, так и в виде момента (рис.1.26, е) и, как и сосредоточенная сила, характе-

ризуется точкой приложения и направлением.

3. Распределённые нагрузки представляют собой систему сосредоточенных сил, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга.

36

Как было указано выше, распределённые нагрузки (объёмные и поверхност-

ные), часто заменяют сплошными распределенными по длине элемента рас-

четной схемы, направленными вдоль оси (рис. 1.26, г), перпендикулярно ей

(рис. 1.26, д – ж) или под углом (рис. 1.26, з). По интенсивности могут равно-

мерно распределенными (рис. 1.26, г, д и з), треугольными (рис. 1.26, е) или из-

меняющимися по любому закону (рис. 1.26, ж). Распределенная по площади нагрузка показана на рис. 1.26. и.

1.7. Основные допущения строительной механики

Встроительной механике используется ряд допущений и гипотез относи-

тельно свойств материалов, нагрузок и характера деформаций, значительно уп-

рощающих инженерные расчёты.

1. Гипотеза о сплошном строении тела. Предполагается, что материал пол-

ностью заполняет объём тела (пустоты отсутствуют).

2. Гипотеза об идеальной упругости материала. Под идеальной упругостью понимается способность тела восстанавливать свою первоначальную форму по-

сле устранения причин, вызвавших деформацию тела.

3. Гипотеза об однородности материала. Предполагается, что все частицы материала обладают одинаковыми свойствами, т.е. свойства материала не зави-

сит от размеров тела.

4. Гипотеза об изотропности материала. Предполагается, что в любом на-

правлении свойства материала одинаковы. В некоторых случаях эта гипотеза неприменима (древесина имеет разные свойства вдоль и поперёк волокон).

5. Допущение о малости деформаций. Деформации тела настолько малы по сравнению с его размерами, что не оказывают существенного влияния на вза-

имное расположение нагрузок.

6. Допущение о линейной зависимости между деформациями и нагрузками.

Предполагается, что для большинства материалов перемещения, являющиеся

37

результатом деформации тела, прямо пропорциональны вызвавшим их нагруз-

кам, т.е. считается, что материал подчиняется закону Гука.

7. Принцип независимости действия сил. Многообразие воздействий и на-

грузок, которые могут действовать на любое сооружение, не позволяет их од-

новременный учёт при расчёте сооружения. Обычно любое сооружение рассчи-

тывают на сочетания нагрузок, а в пределах этих сочетаний – на каждый вид нагрузки в отдельности. Это возможно при использовании одного из основных принципов строительной механики – принципа независимости действия сил:

Состояние любой расчётной схемы при действии на неё группы внешних сил

(нагрузок или воздействий) можно представить сумму отдельных состояний,

полученных от каждой силы (нагрузки или воздействия) в отдельности.

Принцип независимости действия сил играет в строительной механике ис-

ключительно большую роль. Он значительно упрощает расчёты, и поэтому многие из них построены на основе этого принципа.

8. Допущение о малости деформаций. Деформации тела настолько малы по сравнению с его размерами, что не оказывают существенного влияния на вза-

имное расположение нагрузок.

Деформации и перемещения считаются малыми, если относительные осе-

вые деформации ε << 1, деформации сдвига γ <<1 и квадраты углов поворота сечений α2<<1.

Действие принятых допущений рассмотрим на двух простейших примерах.

Рассмотрим простейшую шарнирно-стержневую систему (рис. 1.27, а). При загружении узла вертикальной силой F стержни системы деформируются, в ре-

зультате чего она займет положение, показанное на рис. 1.27, б, при котором длина горизонтального стержня будет

l1 = l + l

Усилие в горизонтальном стержне (рис. 1.27, в) определим из уравнения равновесия ∑ M A = 0 :

N1·hcosα – Fl1 cosα = 0, откуда N1 =Fl1 /h,

или с учетом удлинения стержня

38

Если учесть допущение ε << 1, то получим N1 =Fl /h.

Это означает, что при принятом допущении усилия могут быть определены

по недеформированной схеме.

В качестве второго примера рассмотрим стержень AB, жестко защемленный левым концом (рис. 1.28, a). При действии в точке В внешнего сосредоточенно-

го момента M, стержень находится в состоянии чистого изгиба. Как известно из курса сопротивления материалов, деформированная ось стержня (рис. 1.28, б)

представляет собой окружность радиуса r с центром в точке 0. Перемещения u

и v конца стержня равны

u = – ( l – l1) = – ( l – r cosα); υ = (r – r cosα).

Так как при изгибе волокна на уровне оси стержня не имеют продольных

деформаций, то длина дуги оси деформированного стержня l=rα.

Разложив тригонометрические функции в ряд Тейлора – Маклорена, ограни-

чиваясь небольшим числом членов ряда

Полученный результат показывает, что при построении деформированных схем можно пренебрегать перемещениями относительно неподвижных точек по радиусу, заменяя их перемещениями по касательной.

Контрольные вопросы

1.Что следует понимать под расчетной схемой сооружения?

2.Как подразделяются расчетные схемы сооружений по геометрическому признаку?

39

3.Какая существует классификация опор плоских расчетных схем?

4.Какие типы узлов могут иметь плоские расчетные схемы?

5.Какая существует классификация опор пространственных расчетных схем?

6.Какие типы узлов могут иметь пространственные расчетные схемы?

7.Как определяются степени свободы плоских и пространственных расчет-

ных схем?

8.Сформулируйте необходимые условия геометрической неизменяемости плоских и пространственных расчетных схем.

9.Какие расчетные схемы называются геометрически изменяемыми, а какие

–мгновенно изменяемыми?

10.Сколько требуется связей для неподвижного прикрепления диска плоской расчетной схемы к основанию, и как они должны быть расположены?

11.Сколько требуется связей для неподвижного прикрепления жесткого тела пространственной расчетной схемы к основанию, и как они должны быть расположены?

12.На каких принципах соединения дисков осуществляется кинематиче-

ский анализ плоских расчетных схем?

13. На каких принципах соединения жестких тел осуществляется кинема-

тический анализ пространственных расчетных тел?

14.Какая существует классификация нагрузок, действующих на расчетную

схему?

15.Сформулируйте основные допущения строительной механики

16.Как представляются нагрузки в расчетных схемах?

17.Сформулируйте признак независимости действия сил.

40