Текст

(рис. 4.19, б) с приложенной единичной силой по направлению искомого пе-

ремещения kt .

Для состояния k применим принцип возможных перемещений (4.16), при-

Возможная работа внутренних сил для плоской стержневой системы оп-

Подставив в (4.41) выражения деформаций от теплового воздействия

(4.38) и (4.39) и вынеся за знаки интегралов постоянные множители, не зави-

сящие от интегрирования, получим

W = -{∑α ×t° ∫ N dx + ∑α Dt° ∫ M dx}

tk t 0 k t h k

В данном выражении величины, стоящие под знаками интегралов, пред-

ставляют собой площади эпюр Nk и Mk.

Обозначив Ω N k = ∫ N k dx и Ω M k = ∫ M k dx , получим окончательное выра-

жение для возможной работы внутренних сил

Подставив (4.40) и (4.42) в (4.16), получим формулу для определения пе-

ремещений от теплового воздействия:

Для которой применимо следующее правило знаков: каждый член фор-

мулы (4.43) при вычислении по участкам будет положительным при совпа-

дении характера деформации (растяжения с удлинением или изгиба с ис-

кривлением) от единичной силы вспомогательного состояния и теплового воздействия.

181

Для первого члена формулы (4.43) знак может быть получен автоматиче-

ски, если при вычислении значения t0 и Nk подставлять со своими знаками.

Пример 4.5. Требуется определить вертикальное перемещение шарнира

С и горизонтальное перемещение ригеля, а также построить характер дефор-

мированной схемы трёхшарнирной рамы, показанной на рис. 4.20, а, если те-

пловому воздействию подвергаются её стойки. Рама изготовлена из двутавра № 45 (h = 0,45 м, коэффициент линейного расширения стали αt = 120·10-7

1/град.).

Решение. 1. Определим параметры температурного воздействия:

2. Определим вертикальное перемещение шарнира С, для этого произве-

дем расчёт первого вспомогательного состояния (рис.4.20, б) от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения, т.е. найдем опорные реакции и построим эпюры N1 и M1.

Перемещение определим по формуле (4.43), выполнив вычисления по

участкам:

=– 517,5 αt = – 517,5 ·120·10-7 = – 0,62 ·10-2 м.

3.Определим горизонтальное перемещение ригеля рамы. При этом, так как ригель рамы не испытывает теплового воздействия, продольными де-

формациями в его сечениях пренебрегаем.

Для определения искомого перемещения рассмотрим второе вспомога-

тельное состояние (рис.4.20, в), для которого найдем опорные реакции и по-

строим эпюры N2 и M2.

Перемещения определяем по формуле (4.43), производя запись вычисле-

ний по участкам:

182

=1057,5αt = 1057,5·120·10-7 = 1,269·10-2 м.

4.Построим условную деформированную схему рамы, для чего опреде-

лим продольные деформации стоек, подвергающихся тепловому воздейст-

вию:

Таким образом, левая стойка при заданном тепловом воздействии укора-

чивается, а правая – удлиняется.

Имея значения узловых перемещений рамы и зная характер искривления от теплового воздействия левой и правой стоек, можем построить характер деформированной схемы (рис.4.20, г).

4.5.3. Перемещения от неравномерной осадки опор и неточности изготовления стержней

Чтобы получить формулу определения перемещений, возникающих при неравномерной осадке опор, рассмотрим линейно деформируемую расчёт-

ную схему (состояние ) при заданных смещениях опорных связей (рис.4.21,

а) и вспомогательное состояние k (рис. 4.21, б) с приложенной единичной силой по направлению искомого перемещения k .

Для состояния k применим принцип возможных перемещений (4.16), при-

няв для него в качестве возможных перемещения состояния .

Возможная работа внешних сил равна

T k = 1·Δk + R1·Δ1 + R2·Δ2 +…+ Ri·Δi +…+ Rn·Δn =1·Δ t +∑ Ri·Δi.

Так как при неравномерной осадке опор в стержнях заданной расчётной схемы усилий и соответствующих им деформаций не возникает, то работа внутренних сил W k = 0. Следовательно, на основании (4.16) имеем, что

183

В формуле (4.42) произведение под знаком суммы представляет собой возможную работу, поэтому направление Ri· совпадает с направлением i,

произведение положительно, а если не совпадает – отрицательно.

Вывод формулы для определения перемещений, вызванных неточностью изготовления стержней аналогичен предыдущему, и сама формула имеет вид:

где Ni– усилие в неточно изготовленном стержне по вспомогательному со-

стоянию ; i – величина неточности изготовления стержня.

В формуле (4.45) перед знаком суммы в отличие от (4.44) отсутствует знак минус, так как работа внутренних сил отрицательна.

Правило знаков для произведения определяется, как и в (4.44), по знаку возможной работы: при совпадении направлений – знак «плюс», при несов-

падении – знак «минус».

Пример 4.6. Требуется определить угол поворота сечения K консоли шарнирноконсольной балки при указанном смещении опор (рис.4.22, а) и

построить характер деформированной схемы.

Решение. 1. Во вспомогательном состоянии (рис.4.22, б) прикладываем единичный момент в сечении K и определяем реакции во всех смещаемых связях.

2. Используем формулу (4.44) и найдем угол поворота:

φK = 1 = – (0,05 ·0,06 – 0,125 ·0,08 – 0,375 ·0,04 + 0,25·0,02) = – 0,01 рад.

3. Характер деформированной схемы балки, построенный по заданным смещениям опор, показан на рис.4.22, в.

Пример 4.7. Требуется определить изменение расстояния между опорами

А и B рамы, показанной на рис.4.23, а, если её затяжка изготовлена короче проектной на величину 0,06 м.

184

Решение. Вспомогательное состояние для определения перемещения по-

казано на рис. 4.23, б. Так как опорная точка А неподвижна, то для определе-

ния изменения расстояния между А и В достаточно определить горизонталь-

ное перемещение опоры В.

Усилие в затяжке во вспомогательном состоянии N1 = 2.

Согласно (4.45) перемещение опоры B

В = 1 = 2·(– 0,06) = – 0,12 м.

Условная деформированная схема рамы при данном перемещении показа-

на на рис.4.23, в.

4.6.Матричная форма определения перемещений

4.6.1.Представление формулы Максвелла – Мора в матричном виде.

Матрицы податливости

В подразд. 4.5 были получены формулы «перемножения» эпюр, исполь-

зуемые при вычислении интеграла Максвелла – Мора. Представим их в мат-

ричной форме согласно правилу знаков, сформулированному для матричной записи усилий и перемещений (см. подразд. 2.8, рис. 2.63).

В общем случае для расчетных схем, состоящих из стержней (участков) с

постоянным по длине сечение можно отметить следующие характерные слу-

чаи интегрирования:

1. Незагруженный участок стержня с двумя расчетными сечениями (рис. 4.24).

Для этого участка рассмотрим две эпюры изгибающих моментов MF – от действия внешней нагрузки (рис. 4.24, а) и Mk – от вспомогательного состоя-

ния (рис. 4.24, б).

Используя формулу (4.34), получим выражение

185

которому отвечает следующая матричная запись

где: b1тg – транспонированная матрица усилий в расчетных сечениях участка во вспомогательном состоянии; Sg – матриц усилий в расчетных сечениях участка в грузовом состоянии; δg - матрица податливости участка, g - поряд-

ковый номер участка в расчетной схеме.

Таким образом, для незагруженного стержня с двумя расчетными сече-

ниями матрица податливости имеет вид:

2. Незагруженный участок стержня с одним расчетным сечением (рис. 4.25). Эпюры изгибающих моментов MF и Mk показаны на рис. 4.25, а, б.

Используя формулу (4.34), получим выражение

которому отвечает следующая матричная запись

Таким образом, для незагруженного стержня с одним расчетным сечением матрица податливости имеет вид:

3. Загруженный равномерно распределенной нагрузкой участок стержня с тремя расчетными сечениями (рис. 4.26). Эпюры изгибающих моментов MF и

Mk показаны на рис. 4.26, а, б.

Используя формулу (4.35), получим выражение

186

которому отвечает следующая матричная запись

Таким образом, для загруженного равномерно распределенной нагрузкой-

стержня с тремя расчетными сечениями матрица податливости имеет вид:

4. Загруженный равномерно распределенной нагрузкой участок стержня с двумя расчетными сечениями (рис. 4.27). Эпюры изгибающих моментов MF и

Mk показаны на рис. 4.27, а, б.

Используя формулу (4.33), получим выражение

которому отвечает следующая матричная запись

Таким образом, для загруженного равномерно распределенной нагрузкой стержня с двумя расчетными сечениями матрица податливости имеет вид:

5. Стержень, способный воспринимать только продольные усилия (затяж-

ки, стержни фермы) (рис. 4.28). Грузовое и вспомогательное состояния стержня показаны на рис. 4.28, а, б.

Используя формулу (4.28), получим выражение

Таким образом, для стержня, находящегося в условиях одноосного на-

пряженного состояния, матрица податливости имеет вид:

187

Предположим, что расчетная схема состоит из m расчетных участков и содержит s расчетных сечений. Тогда искомое перемещение

где – матрица искомых перемещений, имеющая порядок (p x u); b1 - мат-

рица усилий вспомогательных состояний, имеющая порядок (s x u); f – ква-

зидиагональная матрица податливости расчетной схемы, имеющая порядок (s x s); S – матрица усилий от заданных загружений, имеющая порядок (p x s); p – число вариантов загружений; u – число вспомогательных состояний (ис-

комых перемещений).

4.6.2. Смысловое значение матриц податливости. Связь между усилиями и деформациями

Как указывалось ранее, при расчете конструкций в матричной форме все исходные данные представляются в виде матриц. Так, упругие свойства от-

дельных элементов расчетной схемы (участков), на которые разбивается кон-

струкция, при определении перемещений представляются матрицами подат-

ливости. При отсутствии нагрузки на рассматриваемом участке эти матрицы дают соотношения между усилиями и перемещениями по направлению этих усилий в рассматриваемом элементе расчетной схемы.

Рассмотрим стержень с двумя расчетными сечениями (рис. 4.28, а), в ко-

торых действуют изгибающие моменты от внешней нагрузки MiF и MjF. От действия этих моментов стержень изогнется, и его концевые сечения повер-

нутся, соответственно, на углы vig и vjg (рис. 4.28, б). Направления моментов

188

и углов поворота приняты положительными в соответствии с правилом зна-

ков, сформулированным в подразд. 2.8.

На основании принципа независимости действия сил значения углов по-

ворота можно представить в виде:

где коэффициенты податливости δii, δij =δji и δjj представляют собой углы по-

ворота, вызванные действием пар сил, равных единице.

Углы поворота от действия единичных пар, приложенных последователь-

но в концевых сечениях, легко определяются по формуле Мора:

Подставив эти выражения в (4.55), представим его в матричной форме:

Здесь δg– матрица податливости прямолинейного стержня с двумя расчет-

ными сечениями и постоянной по длине жесткости при изгибе его в одной из

главных плоскостей инерции (4.47).

Аналогично рассмотрев стержень с одним расчетным сечением (рис. 4.29,

а) и его деформированную схему при действии пары MiF (рис. 4.29, б), полу-

чим:

3EIg

Здесь δg– матрица податливости прямолинейного стержня с одним рас-

четным сечением и постоянной по длине жесткости при изгибе его в одной из главных плоскостей инерции (4.49).

Теперь рассмотрим стержень (рис. 4.30, а), который испытывает лишь продольные деформации (рис. 4.30, б) под действием продольной силы Ng.

189

На основании закона Гука удлинение (укорочение) этого стержня может быть выражено

Здесь δg– матрица податливости прямолинейного стержня, находящегося в одноосном напряженном состоянии, постоянной по длине жесткости при изгибе его в одной из главных плоскостей инерции (4.55).

На основании выше изложенного (4.58 – 4.60) можно сделать следующие выводы:

∙ для изгибаемых стержней с двумя (4.47) или с одним (4.49) расчетными сечениями элементами матриц податливости являются возможные углы по-

ворота концевых сечений от действия единичных пар, прикладываемых по-

следовательно в этих сечениях;

∙ для стержня, находящегося в условиях одноосного напряженного со-

стояния (4.55) матрица податливости выражается возможным удлинением

(укорочением) стержня от действия единичной силы, приложенной по оси стержня;

∙ матрицы податливости для изгибаемых стержней, загруженных равно-

мерно распределенной нагрузкой, не имеют четко выраженного физического смысла, а элементами этих матриц являются множители формулы Симпсона.

Если рассматривать всю расчетную схему, состоящую из m элементов, то при условии действия узловой нагрузки на основании (4.58 – 4.60) можно за-

писать соотношения для каждого элемента:

v1 = δ1S1 v2 = δ2S2

...............

vm = δmSm ,

что в матричной форме примет вид:

190