Текст

Необходимое условие геометрической неизменяемости (1.4) для схемы выполняется, так как 3·4 – 2·4 – 4 = 0.

Анализ геометрической структуры схемы показывает, что она является геометрически неизменяемой, так как неизменяемая триада Д2, объединяю-

щая стержни DC, CD и BD, имеет две связи в точке В с неизменяемым дис-

ком Д1 и одной связью в точке С прикреплена к основанию. Все три связи по отношению к диску Д2 не параллельны и оси их не сходятся в одной точ-

ке. Следовательно, присоединение Д2 неизменяемо.

В этом легко убедиться на основании показанного на рис. 2.56, в укруп-

нённого аналога поэтажной схемы.

Так как доказана геометрическая неизменяемость составных частей, то и вся расчётная схема будет геометрически неизменяема.

Порядок расчёта (рис. 2.56, д), обратный порядку образования схемы (рис. 2.56, г), приводит к нижеследующей последовательности уравнений равнове-

сия для определения реакций в связях анализируемой рамы при действии ка-

кой - либо нагрузки, например силы F (рис. 2.56, е).

Равновесие диска Д2:

∑MBправ = 0, определяется VC (зона определения на рис. 2.56, е очерчена

пунктиром).

∑X = 0, определяется Bx .

∑MСправ = 0, определяется N1 (зона определения на рис. 2.56, е очерчена

пунктиром).

∑Y = 0, определяется By.

Равновесие диска Д1:

∑Y = 0, определяется VA.

∑X = 0, определяется HA.

∑MB = 0, определяется MA.

Проверка равновесия всей схемы (рис. 2.56, ж):

∑X = 0, ∑Y = 0, ∑MА = 0.

101

Рассмотрим примеры определения реакций в связях и построения эпюр усилий для ряда многодисковых и комбинированных систем.

Пример 2.11. Требуется определить реакции в связях многодисковой ра-

мы (рис. 2.57, а).

Решение. Рама образована тремя дисками, соединёнными способом триа-

ды, т.е. представляет собой геометрически неизменяемое образование – еди-

ный диск. Этот диск прикреплён к основанию тремя линейными связями, не параллельными и не сходящимися в одной точке. Следовательно, геометри-

ческая неизменяемость расчётной схемы обеспечена.

Так как расчётная схема имеет балочное закрепление (три опорных связи),

опорные реакции определяются как в простой балке (рис. 2.57, б).

Для дальнейшего расчёта проведем сечение по шарнирам D и E (рис. 2.57,

в) и рассмотрим равновесие правой отсечённой части рамы, в которой реак-

ции в шарнирах D и E определим как в трёхшарнирной системе (см. подразд. 2.5.2).

∑MD = 0; 6·2 – Ey·2 – Ex·2 = 0.

∑MCниз = 0 ; Ey·2 – Ex ·2 = 0.

Совместно решив данные уравнения, найдем Ey = Ex = 2 кН.

∑ ME = 0; – 6·2 – Dy·2 + Dx·4 = 0.

= 0 ; Dx·2 – Dy·4 = 0.

Совместно решив последние два уравнения, найдем Dx = 4 кН , Dy = 2 кН.

Проверка равновесия правой отсечённой части (рис. 2.57, г):

∑Y = 2 – 2= 0.

∑X = 4 + 2 – 6= 0.

Проверка равновесия левой отсечённой чаcти:

102

∑Y = 15 – 15 +2 – 2 = 0.

∑X = 6 – 4 – 2 = 0.

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции в связях оп-

ределены правильно.

Пример 2.12. Требуется определить реакции в связях комбинированной

системы и построить эпюры усилий (рис. 2.58. а)

Решение. В комбинированной расчётной схеме, загруженной горизон-

тальной силой, стержни 1 и 2 представляют собой линейные связи между

вертикальными стержнями.

Расчётная схема образована по принципу триады. Два вертикальных стержня (диски) прикреплены к основанию двумя шарнирами в точках A и B,

третий шарнир (фиктивный) располагается на пересечении линий действия связей 1 и 2 в бесконечности. Таким образом, три шарнира соединения не лежат на одной прямой, и расчётная схема является геометрически неизме-

няемой.

Опоры А и В имеют по две реакции (рис. 2.58, б), которые непосредствен-

но из уравнений равновесия для всей расчётной схемы определить не пред-

ставляется возможным. Поэтому удалим связи 1 и 2, заменив их реакциями

N1 и N2 (рис. 2.58, в).

Из условий равновесия правой отсечённой части схемы:

∑ Y = 0; VB = 0.

∑ MB = 0; – N1·6 – N2·2 = 0.

Из условий равновесия всей расчётной схемы:

∑ Y = 0; VB – VА = 0, VА = 0.

∑MB = 0; HА·2 + 4·8 = 0, HА = –16 кН.

∑MА = 0; 4·10 – HВ·4 = 0, HВ = 10 кН.

Из условий равновесия левой отсечённой части схемы:

∑ MА = 0; 4·10 + N1·8 + N2·4 = 0.

Совместно решив ∑ MB = 0 и ∑ MА = 0, найдем N1 = 10 кН , N2 = – 30 кН.

103

Проверка.

Из условий равновесия правой отсечённой части схемы (рис. 2.58, г):

∑ X = 16 – 30 + 10 + 4 = 0.

Из условий равновесия левой отсечённой части схемы (рис. 2.58, г):

∑ X = 30 – 10 – 20 = 0.

Из условий равновесия всей расчётной схемы (рис. 2.58, д):

∑ X = 4 + 16 – 20 = 0.

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции в связях оп-

ределены правильно.

Для построения эпюр усилий воспользуемся схемой представленной на рис. 2.58, г, из которой видно, что продольные силы возникают только в стержнях 1 и 2, а поперечные силы и изгибающие моменты – только в верти-

кальных стержнях. Для построения эпюр Q и M используем правила, сфор-

мулированные в подразд. 2.3. (рис. 2.58, е и ж).

Пример 2.13. Требуется определить реакции в связях многодисковой ра-

мы и построить эпюры усилий (рис. 2.59, а).

Решение. Статически определимая рама прикреплена к основанию двумя полными защемлениями (опоры А и Т) и одной шарнирно подвижной опорой

L, т.е. Соп = 7. Расчётная схема рамы составлена из семи дисков (Д = 7), со-

единённых семью шарнирами (Ш =7).

Таким образом, необходимое условие геометрической неизменяемости

(1.4) выполняется, так как 3·7 – 2·7 – 7 = 0.

Диски LDE, EK и LPK образуют неизменяемое соединение (триаду), кото-

рое можно считать одни неизменяемым диском Д3 (рис. 2.59, б).

Таким образом, в расчётной схеме рамы имеем три неизменяемых диска:

Д1 и Д4, являющимися основными, так как они прикреплены полными за-

щемлениями к основанию, и диск Д3, который имеет три внешних по отно-

шению к себе связи: две связи соединяют его с неизменяемым диском Д4, и

одной связью в опоре L он соединён с основанием. Расположение и направ-

104

ление осей этих связей удовлетворяют требованиям геометрической неизме-

няемости, т.е. оси этих связей не параллельны и не сходятся в одной точке.

Следовательно, соединение дисков Д3 и Д4 является геометрически неизме-

няемым.

Аналогично доказывается геометрическая неизменяемость диска Д2, так-

же присоединённого тремя связями (двумя в точке B и связью 1)к неизме-

няемым частям расчётной схемы.

Так как доказана геометрическая неизменяемость составных элементов

расчётной схемы, вся схема является геометрически неизменяемой.

Порядок её образования показан на рис. 2.59, в, а порядок расчёта на рис.

2.59, г.

Для определения реакций в связях удалим связь 1 и заменим её действие

реакцией N1 (рис. 2.60, а).

Из условий равновесия левой отсечённой части схемы:

Далее необходимо найти реакции в связях диска Д3, для чего выделим его из общей схемы, удалим связь 2, заменив её действие реакцией N2 (рис. 2.60,

б). В узле Р приложим реакции, определённые из равновесия диска Д4.

∑ M Lверх = 0 ; –12 – N1·3 + N2·3 = –12 + 6·3 + N2·3= 0, N2= – 2 кН.

П р и м е ч а н и е. Реакции связей в шарнирах B и L, а также проверки расчёта выполнить самостоятельно.

105

На рис. 2.60, в показана схема рамы для проверки условий равновесия всей системы, а на рис. 2.60, г приведены значения реакций во всех удалён-

ных связях.

Для построения эпюр усилий удобно использовать расчлененную схему рамы (см. рис. 2.60, г). В этом случае значения усилий определяются из усло-

вий равновесия каждого отдельного элемента расчетной схемы, а эпюры уси-

лий строятся сразу для всей схемы. Для рассматриваемой рамы эпюры Q, M и N представлены на рис. 2.61, а – в.

Пример 2.14. Требуется определить усилия во всех элементах шпренгель-

ной балки (рис..2.62, а).

Расчётная схема образована из двух стержней, AC и СB, работающих на изгиб и системы из семи стержней, испытывающих только продольные де-

формации (шпренгеля).

Решение. 1. Производим проверку геометрической неизменяемости ком-

бинированной расчетной схемы.

Число опорных связей Cоп = 3, число простых шарниров Ш =12, число дисков Д =9.

Необходимое условие геометрической неизменяемости схемы (1.4) вы-

полняется: 3Д – 2 Ш – C оп = 3·9 – 2 ·12– 3 = 0 выполняется.

Балка CB и стержни 3, 4 в правой части схемы образуют геометрически неизменяемый диск, образованный по принципу триады. Точно такой же диск в силу симметрии расчётной схемы образуется и в левой ее части. Эти два неизменяемых диска соединены между собой тремя правильно располо-

женными связями: двумя в шарнире С и линейной связью – затяжкой 1, т.е.

также образуют единое геометрически неизменяемое целое. Полученное единое целое присоединено к основанию тремя опорными связями, располо-

женными с выполнением условия геометрически неизменяемости.

Следовательно, расчётная схема является геометрически неизменяемой. 2. Определим опорные реакции.

106

Так как горизонтальная нагрузка на расчётную схему отсутствует, гори-

зонтальная реакция в опоре А равна нулю. Вертикальные опорные реакции

3. Определим усилия в элементах шпренгеля.

Для этого проводим сечение по стержню 1, заменяя его действие продоль-

ной силой N1 (рис. 2.62, б). Величину N1 определяем из уравнения:

∑ MCправ = 0; – RB·8 + N1 ·8 = 60·8 + N1 ·8 = 0, N1 = 160 кН.

Усилие в подвеске 4 равно нулю согласно частному случаю равновесия узлов ферм (см. рис. 2.34, в). Усилия N2 и N3 определяем из равновесия узла

Усилия в стержнях левой части шпренгеля в силу симметрии будут равны аналогичным усилиям правой части.

4. Для определения усилий в стержнях AC и CB отделим от последних элементы шпренгеля (рис. 2.62, г), заменив их действие на указанные стерж-

ни найденными в п.3 усилиями . Для облегчения построения эпюр усилий параллельно определяем реакции в шарнире C.

5. По значениям определённых усилий строим эпюры M, Q и N (рис.2.62,

д).

2.8.Матричная форма записи и определения усилий

Как известно, матричная форма расчета обеспечивает компактность запи-

си, расчет представленный в такой форме является общим и легко обозри-

мым. Особенно компактно излагаются в матричной форме методы расчета статически неопределимых систем. Данный подраздел является введением в

матричную форму расчета и описывает общие принципы записи соотноше-

107

ний между действующими нагрузками и усилиями в сечениях расчетной схемы.

Поскольку матричная форма является формализованной формой записи для ее реализации необходимо задаться правилом знаков усилий и деформа-

ций. Здесь и далее при изложении матричной формы расчета плоских стерж-

невых систем приняты следующие правила знаков:

1. Знаки продольных и поперечных сил и соответствующих им деформа-

ций используются общепринятые (см. курс сопротивления материалов).

2. Для стержней, работающих в условиях изгиба правило знаков принято

по рис. 2.63.

Рассмотрим произвольную расчетную схему, имеющую m расчетных се-

чений, на которую действует система нагрузок (F, q,… M). Последовательно

загрузим расчетную схему единичными значениями внешних нагрузок, т.е.

F = 1, q = 1,... M = 1 и определим усилия в стержнях расчетной схемы от каждо-

го из этих загружений. Полагая общее число загружений равным p, обозна-

чим усилия в каком либо сечении i (при i =1… s) от единичных загружений

соответственно через bi1, bi2,… bip. Тогда на основании принципа независимо-

сти сил усилия во всех сечениях расчетной схемы будут равны:

S1 = b11F + b12q + … +b1pM,

S2 = b21F + b22q + … +b2pM,

……………………………

Sm = bs1F + bs2q + …+ bspM.

Полученные выражения запишем в матричной форме:

Здесь S – матрица-столбец усилий в сечениях; b – прямоугольная матрица

усилий от единичных нагрузок; P – матрица-столбец нагрузок.

108

В том случае, когда необходимо определить усилия от каждой нагрузки

(или загружения из нескольких видов нагрузок), матрица P имеет вид диаго-

нальной.

Следовательно, порядки матриц S, b и P будут соответственно иметь раз-

мерности:

при одном общем варианте загружении – ( s x 1), (s x p), (p x 1);

при многовариантном загружении – ( s x p), (s x p), (p x p).

Контрольные вопросы

1.Какая расчетная схема называется многопролетной шарнирнокон-

сольной балкой?

2.Как определяется требуемое количество промежуточных шарниров в таких балках?

3.Какие типы образования шарнирно-консольных балок вы знаете?

4.Каков порядок расчета шарнирно-консольных балок, и как он связан с порядком их образования?

5.Какие расчетные схемы называют распорными?

6.Какие расчетные схемы называются трехшарнирной аркой и трехшар-

нирной рамой?

7.По каким характеристикам различают арки?

8.Как влияет характер и направление действующей нагрузки на порядок составления уравнений равновесия для определения реакций в опор-

ных связях?

9.Каково направление распора трехшарнирной расчетной схемы при действии на неё вертикальной нагрузки?

10.По каким формулам можно определить распор и усилия в произволь-

ном сечении статически определимой арки при действии вертикальной нагрузки?

11.В чем состоят особенности определения реакций в связях арок с за-

тяжками и подвесками?

109

12.В чем состоят преимущества арки по сравнению с простой балкой?

13.Какое очертание арки считается наиболее рациональным?

14.Какие расчетные схемы называют комбинированными и многодиско-

выми?

15.Какая расчетная схема называется фермой?

16.Какого рода деформации испытывают стержни фермы при узловом характере приложения нагрузки?

17.Какая ферма называется плоской?

18.По каким признакам классифицируются плоские фермы?

19.Покажите соотношение между числом узлов и числом стержней ста-

тически определимой плоской фермы и сформулируйте статический смысл этого соотношения.

20.Какие существуют аналитические способы определения усилий в стержнях плоских ферм? Сформулируйте сущность этих способов.

21.Перечислите частные случаи равновесия узлов плоской статически оп-

ределимой фермы.

22.Какие фермы называются шпренгельными?

23.В чем состоит особенность расчета шпренгельных ферм?

24.Сформулируйте особенности расчета висячих и вантовых ферм.

25.Какая ферма называется пространственной?

26.Покажите соотношение между числом узлов и числом стержней ста-

тически определимой пространственной фермы и сформулируйте ста-

тический смысл этого соотношения.

27.Какие существуют аналитические способы определения усилий в стержнях пространственных ферм? Сформулируйте сущность этих способов.

28.Перечислите частные случаи равновесия узлов пространственной ста-

тически определимой фермы.

29. Сформулируйте особенности расчета многодисковых рам и комбини-

рованных систем.

110