Текст

Рассмотрим двухпролётную шарнирно консольную балку (рис.4.3, а), за-

груженную распределённой нагрузкой q и силами F1, F2. Поставим задачу определить реакцию RB. Для этого удалим связь B и по её направлению зада-

дим любое возможное перемещение B (рис. 4.3, б). Поскольку после удале-

ния связи балка превратилась в механизм с одной степенью свободы, постро-

ить схему изменения этого механизма не представляет трудности, полагая заданное перемещение малым. В результате все точки балки, кроме опорных,

получили перемещения.

Для полученной схемы механизма применим принцип возможных пере-

мещений, т.е. составим сумму возможных работ для всех сил, точки прило-

Уравнение работ после подстановки значений перемещений и заданной

1,02 ql. Знак плюс означает, что принятое направление опорной реакции RB

правильное.

Принцип возможных перемещений применим при расчёте не только абсо-

лютно твёрдых тел. Он может быть распространён и на упругие тела, если в сумме возможных работ учесть и работу внутренних сил (4.13).

Тогда в применении к упругим деформируемым системам принцип воз-

можных перемещений можно сформулировать следующим образом: если уп-

ругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних

сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом

161

перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних

сил равна нулю.

Приведённая формулировка принципа возможных перемещений приводит к тому же результату, что и закон сохранения энергии, т.е. к формуле (4.15).

Получим общее аналитическое выражение принципа возможных переме-

щений применительно к упругим системам.

Рассмотрим любую упругую систему, на которую действует система сил

F1, F2... Fi...Fn. Под действием этих сил в упругой системе возникнут усилия и все точки приложения сил получат перемещения Zi (при i = 1...n) по на-

правлению этих сил. Данное состояние упругой системы является действи-

тельным (грузовым).

В соответствии с приведенной ранее формулировкой принципа возмож-

ных перемещений зададим рассматриваемой упругой системе некоторые бесконечно малые возможные перемещения от действия дополнительных си. F1 , F2 ...Fi ...Fn . Данное состояние упругой системы назовем вспомогатель-

ным. Перемещения точек упругой системы по направлению сил грузового состояния от действия сил вспомогательного состояния обозначим как

Z1 , Z2 ...Zi ...Zn .

Тогда возможная работа сил грузового состояния на перемещениях вспо-

n

могательного представится в следующем виде: T = ∑ Fi Zi .

i=1

Для выражения возможной работы внутренних сил предположим, что рас-

сматриваемая упругая система имеет m расчетных сечений, усилия и дефор-

мации которых Sj и vj (при j = 1...m) полностью описывают ее напряженно-

деформированное состояние в грузовом состоянии и S j , vj – во вспомогатель-

ном.

Тогда возможная работа внутренних сил грузового состояния на деформа-

m

циях вспомогательного представится в следующем виде: W = −∑ S j vj .

j=1

162

Подставляя значения T и W в (4.15), получим аналитическое выражение

принципа возможных перемещений:

4.3.2.Принцип возможных изменений напряженного состояния

Вприменении к упруго деформируемым системам этот принцип форму-

лируется следующим образом: если деформация системы согласована с на-

ложенными на нее связями, то при всяком бесконечно малом возможном из-

менением напряженного состояния сумма возможных работ приращений всех внешних и всех внутренних сил, производимых на соответствующих им перемещениях, вызванных самими силами, равна нулю.

Для получения аналитического выражения этого принципа рассмотрим ту же упругую систему и ее грузовое равновесное состояние (см. подразд. 4.3.1).

Для получения вспомогательного состояния приложим к упругой системе дополнительные силы F1 , F2 ...Fi ...Fn , создающие новое равновесное состояние этой системы и бесконечно мало отличающиеся от сил F1, F2... Fi...Fn грузо-

вого состояния. Такое изменение напряженного состояния называют воз-

можным изменением напряженного состояния.

Так как для упругой системы в грузовом состоянии соблюдается условие совместности деформаций, то на основании принципа возможных изменений напряженного состояния мы можем записать, что сумма возможных работ внешних и внутренних статически возможных сил вспомогательного состоя-

ния на перемещениях и деформациях, вызванных силами грузового состоя-

ния равна нулю. Употребляя ранее принятые обозначения и рассуждая анало-

гично предыдущему, получим аналитическое выражение принципа возмож-

ных изменений напряженного состояния:

163

Хотя равенства (4.16) и (4.17) имеют некоторое внешнее сходство, в смы-

словом отношении они существенно отличаются друг от друга. В выражении

(4.16) варьируются перемещения, а напряженное состояние упругой системы,

вызванное заданными силами, остается неизменным. В выражении (4.17)

варьируется напряженное состояние, а перемещения и деформации, вызван-

ные заданными силами остаются неизменными.

4.4.Основные теоремы строительной механики

4.4.1.Теоремы о взаимности возможных работ и взаимности

возможных перемещений

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 4.4), в каждом из кото-

рых загрузим ее в два этапа двумя внешними силами Fi и Fk: в состоянии 1

(рис. 4.4, а) в последовательности Fi, Fk; в состоянии 2 (рис. 4.4, б) – Fk, Fi.

В состояние 1 на первом этапе загрузим упругую систему силой Fi, стати-

чески возрастающей от нуля до своего конечного значения. Сила Fi совершит действительную работу на вызванном ею перемещении ii. На втором этапе к уже деформированной упругой системе приложим силу Fk. Тогда сила Fi, ос-

таваясь неизменной, совершит возможную работу на перемещении ik, а сила

Fk – действительную работу на перемещении kk.

Полную работа, совершённая приложенными силами в состоянии 1, за-

пишем в виде

T1 = 0,5 Fi ii + Fi ik + 0,5 Fk kk.

По аналогии, рассматривая загружение упругой системы в состоянии 2,

получим:

T2 = 0,5 Fk kk + Fk ki + 0,5 Fi ii.

В двух рассмотренны состояниях одной и той же упругой системы конеч-

ный результат деформирования одинаков, следовательно, одинакова потен-

циальная энергия деформации. Так как потенциальная энергия есть работа

164

внутренних сил (4.14), а последняя на основании принципа возможных пере-

мещений (4.16) по абсолютной величине равна работе внешних сил, то T1 =

T2.

Приравнивая полученные выше выражения полных работ для двух рас-

смотренных состояний, после сокращения одинаковых величин в правой и

Таким образом, возможная работа сил состояния i на перемещениях, вы-

званных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на

перемещениях, вызванных силами состояния i.

Этот вывод называют теоремой о взаимности возможных работ (теоремой

Бетти).

Любое действительное перемещение, как указывалось выше, можно пред-

ставить в форме (4.1).

Тогда перемещения ik и ki, входящие в выражение теоремы о взаимно-

сти возможных работ (4.18), можно записать в виде

ik =δik Fk; ki = δki Fi.

Подставив данные выражения в (4.18) и произведя сокращения в правой и

Равенство (4.20) является аналитическим выражением теоремы о взаимно-

сти возможных перемещений (теоремы Максвелла): возможное перемеще-

ние по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по на-

правлению k, численно рано возможному перемещению по направлению k от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.

165

4.4.2. Теорема о взаимности возможных реакций

Рассмотрим упругую линейно деформируемую статически неопредели-

мую систему (рис.4.5). Для этой системы рассмотрим два состояния, вызван-

ные смещением связей i и k на величины i и k соответственно. Как извест-

но, статически неопределимые расчётные схемы имеют избыточное число связей, т.е. большее, нежели необходимо, чтобы обеспечить расчётной схеме геометрическую неизменяемость. Наличие избыточных связей препятствует свободному развитию деформаций, поэтому при смещении связей в элемен-

тах расчётной схемы возникают внутренние силы и реакции в связях.

Таким образом, при смещении связи i на величину i (состояние 1, рис. 4.5, а) во всех связях упругой системы реакции, в частности в связях i и k

ими будут Rii и Rki. Аналогично, при смещении связи k на величину k (со-

стояние 2, рис. 4.5, б) – Rik и Rkk. Для показанных состояний воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ (4.17):

( реакции в опорах А и B на рис. 4.5 условно не показаны, так как при указан-

ных смещениях они не совершают никакой работы по причине неподвижно-

сти опорных точек).

По аналогии с (4.1) реакции в любых связях можно представить в виде:

Подставив (4.22) в (4.21) и произведя сокращения левой и правой частей

Выражение (4.23) представляет собой аналитическое выражение теоремы о взаимности возможных реакций : возможная реакция в связи i от единич-

ного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от сме-

щения связи i.

166

4.4.3. Теорема о взаимности возможных реакций и возможных перемещений

Рассмотрим упругую линейно деформируемую статически неопредели-

мую систему. Для этой системы рассмотрим два состояния, одно из которых

вызвано действием силы Fi , а другое – смещением связи k на величину k .

Рассмотрим упругую линейно деформируемую статически неопредели-

мую систему. Для этой системы рассмотрим два состояния, одно из которых

вызвано действием силы Fi , а другое – смещением связи k на величину k .

При действии силы Fi (состояние 1, рис. 4.6, а) во всех связях упругой системы возникнут реакции, в частности в связи k – Rki. При смещении свя-

зи k на величину k (состояние 2, рис. 4.6, б) по направлению силы появится перемещение ik. Для показанных состояний воспользуемся теоремой о вза-

( прочие реакции на рис. 4.6 условно не показаны, так как при указанных воздействиях они не совершают никакой работы по причине неподвижности опорных точек).

По аналогии с (4.1) реакции в любых связях можно представить в виде:

Подставив (4.25) в (4.24) и произведя сокращения левой и правой частей

Выражение (4.26) представляет собой аналитическое выражение теоремы о взаимности возможных реакций (формула Рэлея): возможное перемещение по направлению i-ой силы от единичного смещения связи k численно равна и противоположна по знаку возможной реакции в связи k от действия еди-

ничной силы по направлению i.

167

Все приведенные выше теоремы взаимности широко используются в ко-

личественном и качественном анализе работы конструкций, особенно стати-

чески неопределимых.

4.5. Определение перемещений в статически определимых системах

4.5.1. Перемещения от внешней нагрузки

Рассмотрим упругую плоскую расчётную схему (рис.4.7, а), находящуюся под действием произвольной внешней нагрузки. Под действием этой нагруз-

ки рассматриваемая расчётная схема будет деформироваться, и её сечения получат перемещения. Предположим, что необходимо определить линейное перемещение kF сечения k по направлению K-K . Для этого рассмотрим вспомогательное состояние этой же расчётной схемы, приложив к ней в се-

чении k и по направлению K-K искомого перемещения единичную безраз-

мерную силу (рис. 4.7, б).

В обоих показанных состояниях расчётная схема находится в равновесии.

Примем состояние k за действительное, а грузовое состояние F будем счи-

тать возможным, и определим работу сил k– го состояния на перемещениях состояния F:

ТFk = 1·ΔkF .

Возможная работа сил состояния F на возможных перемещениях состоя-

ния k с учётом (4.15) и выражения (4.13) будет равна

Приравнивая полученные выражения возможных работ на основании тео-

ремы об их взаимности (4.19), получим формулу Максвелла− Мора для опре-

деления перемещений от внешней нагрузки:

168

Формула (4.27) записана в общем виде. Для практических расчётов её обычно упрощают.

Для определения перемещений узлов ферм из (4.27) остаётся только пер-

вый член формулы. Если ферма изготовлена из стержней постоянного по длине сечения, и действующая на ферму нагрузка приложена только в узлах,

формула (4.27) принимает вид:

где CФ – число стержней фермы.

В плоских балочных и рамных расчётных схемах пренебрегают продоль-

ными и поперечными деформациями из-за их малости по сравнению с де-

формациями изгиба. Если расчётная схема состоит из прямолинейных

стержней постоянного по длине сечения, формула (4.27) принимает вид:

где m– число участков интегрирования расчётной схемы.

В случае комбинированной расчётной схемы

Для пространственных рамных и балочных расчётных схем при пренеб-

режении продольными и поперечными силами формула (4.27), по аналогии,

записывается в виде:

где Mz, My– изгибающие моменты вокруг соответствующих осей сечений;

Mк= Mx – крутящий момент в поперечном сечении стержня.

169

На рис. 4.8 представлены типы вспомогательных состояний при опреде-

лении различных перемещений в плоской расчётной схеме:

Формула (4.27) получена на примере определения линейного перемеще-

ния. Но она имеет общий характер. Для определения любых перемещений необходимо правильно выбрать вспомогательное состояние.

∙на рис.4.8,а, б – линейных перемещений, вертикальных или горизонталь-

ных;

∙на рис.4.8, в – изменения расстояния между двумя сечениями;

∙на рис.4.8, в – угла поворота сечения;

∙на рис.4.8, д,е – угла между двумя сечениями.

Направления единичных сил вспомогательных состояний выбирают про-

извольно. Это сказывается только на знаке определяемого по формуле Мак-

свелла– Мора перемещения: если в результате расчёта искомое перемеще-

ние получилось положительным, это означает, что направление перемеще-

ния совпадает с направлением единичной силы, использованной во вспомога-

тельном состоянии.

Вычисление интегралов, входящих в формулу Максвелла-Мора, в общем

случае производят следующим образом:

1.Разбивают эпюры усилий вспомогательного и грузового состояний на участке интегрирования.

2.В пределах каждого участка составляют выражения для усилий грузо-

вого и вспомогательного состояний.

3. Подставляя полученные усилия в интеграл Максвелла-Мора, произво-

дят интегрирование в пределах каждого участка и полученные результаты суммируют.

Втех случаях, когда расчётная схема состоит из прямолинейных стержней

спостоянной по длине жёсткостью EI, последнюю в формуле (4.27) можно вынести за знак интеграла, т.е.

kF = ∑ 1 ∫Mk MF dx , (4.31) m EI

170