Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Текст

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

3.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5225 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Решение. 1. Назначаем расчетные сечения для формирования исходных матриц (рис. 5. 45). Исходя из характера приложенной нагрузки и сущест-

вующих связей количество расчетных сечений s = 9, количество участков m

=5, число вариантов загружений p =1, степень статической неопределимости nc =2.

2. Определяем матрицы податливости отдельных участков расчетной схе-

мы: для участков 1 и 7– по (4.49); для участков 2 – 3 и 8 – 9 – по (4.47); для участка 4 ─ 6 – по (4.51).

δ =			3	[1] = 1 [1] ;								δ =				3		2			= 1				1 -0,5		;
																		2	-1						1 -0,5
1													23
1		3× 2EI						2EI					23
		3× 2EI						2EI							6 × 2EI -1					2			2EI -0,5 1
					1		0 0					1	0 0
	=		9						=		1						δ7 =		3			[1] =		1		[2] ;
δ46					0 4 0							0 4 0				;
			×3EI

	6				0 0 1						2EI	0 0 1								3EI				2EI

			9			2					1	2	-1
						2	-1					2	-1
δ89	=							=						.
δ89	=							=						.
	6		×3EI -1 2							2EI -1 2

3. Составляем квазидиагональную матрицу податливости не связанных между собой элементов. Размер матрицы (s x s)=(9 x 9) обусловлен числом расчетных сечений.

						1		0	0	0	0	0	0	0	0

δ							0	1 -0,5		0	0	0	0	0	0
δ	0	0	0 0				0	-0,5	1	0	0	0	0	0	0
1	δ23 0		0 0				0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	δ23 0		0 0		1		0	0	0	1	0	0	0	0	0
f = 0	0	δ46 0 0		=	1		0	0	0	0	4	0	0	0	0	.
f = 0	0	δ46 0 0		=			0	0	0	0	4	0	0	0	0	.
			δ7 0		2EI
0	0	0	δ7 0			0		0	0	0	0	1	0	0	0
							0	0	0	0	0	0	2	0	0
0	0	0	0 δ89				0	0	0	0	0	0	2	0	0
						0		0	0	0	0	0	0	2 -1
							0	0	0	0	0	0
							0	0	0	0	0	0	0 -1 2

4. Составляем матрицы усилий в основной системе.

Для данного примера степень статической неопределимости nc = 2, число ва-

риантов загружений p = 1. Следовательно, порядок матрицы b1 будет (s x n) = (9 х 2), а порядок матрицы S0 – ( s x p) = (9 x 1).

241

		0	1			-216			1
		0	-1				216			2
		0	-1				216			2
		0	2			-216				3
		0	-2				216			4
		0	-2				216			4
b =		0,5	-1,5	;	S =		189	.		5
1					0
1					0
	-1		1				0		6
		0	-1				0			7

		1	0				0			8
		0	0				-36			9
		0	0				-36			9

№ сечений

	В матрице b1 каждый столбец									заполняем согласно вспомогательному со-
стоянию: 1-й столбец –							по эпюре M10 (см. рис. 5.22, в), 2-й столбец –																по эпюре
M 20 (см. рис. 5.22, г). Единственный столбец матрицы S0 заполняется по эпю-
ре	M 0	(см. рис. 5.22, д). Каждая строчка матриц b и S соответствует номе-
	F															1		0
ру расчетного сечения.
	5. Производим транспонирование матрицы b1.
							0	0	0	0		0,5 -1		0	1	0
						b1т =		-1	2	-2	-1,5		1	-1	0		.
							1	-1	2	-2	-1,5		1	-1	0	0
	6. Вычисляем промежуточную матрицу
													1		0		0	0	0	0	0	0	0

														0	1	-0,5		0	0	0	0	0	0
														0	-0,5		1	0	0	0	0	0	0
														0	0		0	1	0	0	0	0	0
												1		0	0		0	1	0	0	0	0	0
			0	0	0	0	0,5 -1	0	1	0		1		0	0		0	0	4	0	0	0	0	=
		т
		т
	c = b1 f =										2EI
			1	-1	2	-2	-1,5 1	-1	0	0			0		0		0	0	0	1	0	0	0
														0	0		0	0	0	0	2	0	0

													0		0		0	0	0	0	0 2 -1
														0	0		0	0	0	0
														0	0		0	0	0	0	0 -1 2
	=	1 0 0 0				0 2 -1 0 2 -1
					1,5	-2	-6 1 -2		0	.
										.
		2EI 1 -2								0

7. Вычисляем матрицу коэффициентов при неизвестных по (5.26).

242

										0	1
										0	-1
										0	-1
										0	2
										0	-2
										0	-2
	т				1		0 0 0 0 2 -1 0 2 -1			0,5	-1,5	=
	т				1					0,5	-1,5	=
D11 = b1 fb1		= cb1 =
D11 = b1 fb1		= cb1 =
				2EI 1 -2					1,5 -2 -6 1 -2 0 0 -1		1
										0	-1

										1	0
										0	0
										0	0
	1	4 -4			2
=		4 -4	=					1 -1
									.
									.
	2EI -4 24					EI -1 6

8. Производим обращение матрицы D11 и проверку обращения.

Определитель матрицы |D|= 1·6 – (–1)(–1) = 5.

Алгебраические дополнения матрицы

d = (-1)1+1 [6] = 6 ;											d = (-1)1+2 [-1] = 1 ;
11											12
d21 = (-1)2+1 [-1] = 1 ;											d22 = (-1)2+2 [1] = 1 .
Обратная матрица
D11−1 =		EI			d		d			EI				6	1			EI	1, 2	0,2
		EI			11		12	=		EI						=		EI			.
		×	D

2					d21		d22			2 ×5 1					1		2		0,2	0,2
Проверка обращения
					2	1			EI						0,2
D11 × D11−1 =						1	-1				1, 2				0,2		1 0
																	=			= E.
									2								=			= E.
				EI -1 6					2			0,2			0,2			0 1
9. Вычисляем матрицу													F по (5.28).
																						-216
																							216
																						-216
																							216		1	414
								1			0		0		0		0		2 -1	0	2	-1		=	1	414
	т							1															189	=		.
F = b1 fS0					= cS0		=																		2EI -2754
F = b1 fS0					= cS0		=																		2EI -2754
								2EI 1					-2		1,5		-2 -6 1			-2	0	0	0
																							0

																							0
																							-36

243

10. Определяем значения неизвестных по (5.27).

X = -D11−1			EI 1, 2		0,2	1	414		13,5	кН×м
	F	= -						=		.
			2
				0,2	0,2	2EI -2754		117		кН×м

11. Определяем усилия в расчетных сечениях заданной схемы по (5.29).

	M1			0	1				-216			117	-216		-99
				0	-1					216				216		99
	M 2			0	-1					216	-117			216		99
	M			0	2				-216			234	-216			18
		3		0	-2					216				216		-18
	M 4			0	-2					216	-234			216		-18
S = b1X + S0 =	M		=	0,5	-1,5		13,5			189	= -168,75		+	189	=	20,25	.
S = b1X + S0 =		5						+
	M6		-1		1	117				0		103,5		0		103,75
				0	-1					0				0
	M7			0	-1					0	-117			0	-117
	M			1	0					0		13,5		0		13,5
		8		0	0					-36		=0		-36		-36
	M 9			0	0					-36		=0		-36		-36

По полученным значениям матрицы S согласно принятому правилу зна-

ков концевых и промежуточных усилий строится эпюра MF (см. рис. 5.23, а). 12. Производим деформационную проверку по (5.32). Для этого по эпю-

рам M10 и M 20 вспомогательной основной системы (см. рис. 5.23, б) формиру-

ем матрицу b1 и транспонируем ее.

				0	3
				0	-3
				0	-3
				0	6
				0	-6
				0	-6				0	0	0	0	-2,25	4,5	0	-2,25	0 .
		=		-2,25	-5,25	;		т =
	b	=		-2,25	-5,25	;	b	т =
1							1			-3	6	-6	-5,25	4,5	-3	-1,5
				4,5	4,5				3	-3	6	-6	-5,25	4,5	-3	-1,5	0
				4,5	4,5
				0	-3

			-2,25		-1,5
				0	0
				0	0

Тогда

244

				1		0 0 0 0 0 0 0 0 -99
					0	1 -0,5 0			0	0	0	0	0		99
					0	1 -0,5 0			0	0	0	0	0		99
					0	-0,5 1		0	0	0	0	0	0		18
					0	0	0	1	0	0	0	0	0		-18
			1		0	0	0	1	0	0	0	0	0		-18
т	0 0 0 0 -2,25 4,5 0 -2,25	0	1		0	0	0	0	4	0	0	0	0		20,25	=
т	0 0 0 0 -2,25 4,5 0 -2,25	0			0	0	0	0	4	0	0	0	0		20,25	=
b1 fS =		2EI
	3 -3 6 -6 -5,25 4,5 -3 -1,5	0		0		0	0	0	0	1	0	0	0		103,75
					0	0	0	0	0	0	2	0	0	-117

				0		0	0	0	0	0	0	2	-1		13,5
					0	0	0	0	0	0	0 -1 2				-36
					0	0	0	0	0	0	0 -1 2				-36

=1 0

— деформационная проверка выполняется.

2EI 0

Дальнейший ход расчета производится согласно п.п. 11 – 13 табл. 5.1 (см.

пример 5.2).

Пример 5.14. Требуется произвести расчет методом сил в матричной форме комбинированной расчетной схемы, приведенной в примере 5.3, с ис-

пользованием построенных эпюр усилий в основной системе (см. рис. 5.25).

Решение. 1. Назначаем расчетные сечения для формирования исходных матриц (рис. 5. 46). Исходя из характера приложенной нагрузки и сущест-

вующих связей количество расчетных сечений s = 5, количество участков m

=4, число вариантов загружений p =1.

2. Определяем матрицы податливости отдельных участков расчетной схе-

мы: для участка 1– по (4.47); для участка 2 –

3– по (4.53); для участков 4 и 5

– по (4.55).

2 [2] ;

δ =

4 [1] =

δ =

;

1 0

3EI

6EI 0 4

3EI 0 4

δ4 =

[1] =

[1]=

[0,15] ; δ5

[1] =

[1]=

[0,5] .

2EA

15EI

30EI

3EI

245

3. Составляем квазидиагональную матрицу податливости не связанных между собой элементов. Размер матрицы (s x s)=(5 x 5) обусловлен числом расчетных сечений.

δ1	0	0	0			2	0	0	0	0
						0	1	0	0	0
	δ23 0		0		2
f = 0				=		0	0	4	0	0	.

0	0	δ4	0		3EI	0	0	0	0,3	0

0	0	0	δ5			0	0	0	0
										0,5

4. Составляем матрицы усилий в основной системе.

Для данного примера степень статической неопределимости nc = 1, число ва-

риантов загружений p = 1. Следовательно, порядок матрицы b1 будет (s x nс) = (5 х 1), а порядок матрицы S0 – ( s x p) = (5 x 1).

	-4					0
		4				0
		4				0
b1	=	2	;	S0	=	80	.
		2				-80
		2				-80

	-5/3				-400/3

Матрицу – столбец b1 заполняем согласно вспомогательному состоянию по эпюре M10 (см. рис. 5.25, в). Матрицу – столбец S0 заполняем по эпюре

M F0 (см. рис. 5.25, г). Каждая строчка матриц b1 и S0 соответствует номеру

расчетного сечения. При этом, в первых трех строчках (сечения 1, 2 и 3) ука-

заны значения изгибающих моментов, а в последних двух строчках (стержни

4 и 5) – значения продольных сил.

5. Производим транспонирование матрицы b1.

b 1т = [- 4 4 2 2 -5 /3 ] .

6. Вычисляем промежуточную матрицу

		2	0	0	0	0
		0	1	0	0	0
	2						=
c = b 1т f = [- 4 4 2 2 -5 /3 ]		0	0	4	0	0

	3EI	0	0	0	0,3	0

		0	0	0	0
						0,5

246

=	2	[-8 4 8 3/5 -5/6 ] .

	3EI

7. Вычисляем матрицу коэффициентов при неизвестных по (5.26).

-4

D11 = b1тfb1

= cb1 =

[-8

3/10

-5/6]

[66,589] .

3EI

-5/3

8. Производим обращение матрицы D11.

D11−1 =

3EI

[66,589]−1 =

3EI

[0, 0150175] .

9. Вычисляем матрицу F

по (5.28).

F = b1тfS0

= cS0 =

[-8

3/5 -5/6]

[703,111].

3EI

-80

3EI

-400/3

10. Определяем значения неизвестных по (5.27).

−1

3EI

0, 0150175

703,111

X = −D11 F

= −

[

]

[

] =[– 10,559] .

3EI

11. Определяем усилия в расчетных сечениях заданной схемы по (5.29).

S = b1X + S0

M 2

=M 3 =

N4M

=
-4				0			42,236			0		42,236

	4	[−10,559] +		0		-42,236				0		-42,236
	2	[−10,559] +		80	=	-21,118		+		80	=	-58,882	.

	2			-80		-21,118				-80		-101,118
-5/3			-400/3				17,598		-400/3			115,735

По полученным значениям матрицы S согласно принятому правилу зна-

ков концевых и промежуточных усилий строится эпюра MF (см. рис. 5.26, а).

Так как расчетная схема один раз статически неопределима, деформации-

онную проверку не проводим.

247

Дальнейший ход расчета производится согласно п.п. 11 – 13 табл. 5.1 (см.

пример 5.3).

5.8. Применение метода сил к расчету на подвижную нагрузку

Как и при расчете статически определимых систем при действии подвиж-

ной нагрузки, в случае статически неопределимых расчетных схем, расчет сводится к построению линий влияния опорных реакций и усилий в расчет-

ных сечениях.

В этом случае особенно удобна матричная форма расчета. Алгоритм рас-

чета (5.31) при действии единичного подвижного груза принимает вид:

т	−1	т	(5.34)
b = b0 − b1 b1 fb1		b1 fb0 .	(5.34)

При построении линий влияния для статически неопределимых систем возможны два подхода к решению задачи:

1. Ездовой пояс расчетной схемы разбивается на участки, на границы ко-

торых поочередно устанавливается единичный груз. В этом случае матрицы b0 и b будут иметь столько столбцов, сколько назначено точек установи еди-

ничного груза. Этот подход удобен при узловой передачи нагрузки на рас-

четную схему, например, при построении линий влияния усилий в стержнях статически неопределимых ферм.

2. Приведение нагрузки к узловой по участкам ездового пояса через те-

кущие абсциссы u и v (см. п. 1 и 3 приложения 3) в пределах участка. В этом случае матрицы Х, b0 и b будут матрицами влияния, содержащие элементы,

зависящие от текущей абсциссы. Этот подход удобен при расчете на под-

вижную нагрузку неразрезных балок и много пролетных статически неопре-

делимых рам. В этом случае выражение (5.34) даст функции влияния только для расчетных сечений, для которых могут быть построены соответствующие линии влияния. Для других усилий в любом произвольном сечении k линии влияния могут быть построены на основании принципа независимости дей-

ствия сил по выражению:

248

nc
л. вл. Sk = л. вл. Sk0 + ∑ Ski0 (л. вл. Xi ) ,	(5.35)

i=1

где л. вл. Sk0 – линия влияния усилия в основной системе метода сил, а Ski0 –

усилие от единичной силы, приложенной по направлению i – го неизвестно-

го.

Рассмотрим несколько примеров построения линий влияния в статически неопределимых системах с использованием метода сил в матричной форме.

Пример 5.15. Требуется определить матрицу b для построения линий влияния в статически неопределимой ферме, показанной на рис. 5.47, а. Же-

сткости стержней фермы: верхнего пояса – 2 EA, нижнего пояса – 1,5 EA и ре-

шетки – EA.

Решение. 1. Определяем степень статической неопределимости фермы.

При Сф= 15, Соп = 3 и У = 8 по формуле (5.4) nc = (3 +15) – 2 ·8 = 2. Так число внешних связей Соп = 3, то ферма имеет внутреннюю статическую неопреде-

лимость. При выборе основной системы воспользуемся симметрией схемы

фермы, удалив стержни 2 – 7 и 4 – 7, и для неизвестных усилий в этих стержнях применим способ группировки неизвестных (рис. 5.47, б).

Исходя из узлового характера приложения подвижной нагрузки для по-

строения линий влияния достаточно рассмотреть три положения единичного груза при его перемещении по ездовому поясу, а именно в узлах 2, 3 и 4, ко-

гда усилия в стержнях фермы не будут нулевыми. Следовательно, число ва-

риантов загружений p =1, а число расчетных сечений s = Сф= 15.

2. Определяем матрицы податливости отдельных стержней расчетной

схемы по (4.55):

–

для стержней верхнего пояса

= δ

[1] =

[2];

2EA

–

для стержней нижнего пояса δ67

= δ78

[1] =

[8 / 3];

1, 5EA

249

–

для стоек δ26

= δ37 = δ48

[1] =

[3];

–

для раскосов

= δ

[1] =

[5].

3. Составляем матрицу податливости не связанных между собой элемен-

тов. Размер матрицы (s x s)=(15 x 15) обусловлен числом расчетных сечений.

Так как матрица получается диагональной, запишем ее в строку:

f = [ δ12			δ23	δ34 δ45 δ67 δ78 δ26 δ37 δ48 δ16 δ27 δ36 δ38 δ47 δ58 ] =
=	1	[ 2	2	2 2 8/3 8/3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 ].

	EA

4. Составляем матрицы усилий в основной системе.

Для данного примера при nc = 2, p = 3 порядок матрицы b1 будет (s x nс) = (15 х 2), а порядок матрицы b0 – ( s x p) = (15 x 3).

		0	0			−1		− 2/3	−1/3
	−0,8		− 0,8			−1		− 2/3	−1/3
			− 0,8					− 2/3	−1
		0,8
		0,8				−1/3
		0	0			−1/3		− 2/3	−1
	−0,8		− 0,8				2/3	4/3	2/3
		0,8	− 0,8				2/3	4/3	2/3
		0,8	− 0,8				2/3	4/3	2/3
	−0, 6		− 0, 6			−1		0	0

b1	=	0	1,2	;	b0	=	0	0	0	.
		0, 6	− 0, 6				0	0	−1

		0	0				5/4	5/6	5/12
		1	1				0	0	0
		1	1				0	0	0
		1	1				5/12	4/3	− 5/12

	−1		1			−5/12		4/3	5/12
		−1	1				0	0	0
		0	0				5/12	5/6	5/4
		0	0				5/12	5/6	5/4

Матрицу b1 заполняем согласно вспомогательным состояниям по эпю-

рам N10 и N20 (рис. 5.47, в, г). Матрицу b0 заполняем по эпюрам NF0 1 и N F0 2

(рис. 5.47, д, е), показывающим усилия в стержнях основной системы от по-

становок единичного груза, соответственно в узлы 2 и 3. Последний столбец

250

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5225 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.12.201879.87 Кб6СТРУКТУРА БИЗНЕС-ПЛАНА.doc
#
28.03.201595.74 Кб448СУДЕБНАЯ СИСТЕМА РОССИИ. РЕФЕРАТ. ПРАВО.doc
#
29.03.20151.24 Mб32ТГВ.docx
#
11.11.2019269.31 Кб14ТГУ Определение КИВ.doc
#
12.03.2016824.41 Кб7Текст 1 для магистров.docx
#
29.03.20153.3 Mб28Текст.pdf
#
12.11.2019833.02 Кб8Тексты по англ.doc
#
14.09.201930.92 Кб2Тексты строители.docx
#
19.09.2019131.88 Кб3Тема 11.docx
#
19.09.201988.8 Кб1Тема 12.docx
#
19.09.2019420.8 Кб2Тема 13.docx