Текст
.pdfПример 8.3. Требуется рассчитать раму, свободно стоящую на упругом основании (рис. 8.11, а) с коэффициентом постели k0 = 26000 кН/м3; ширина подошвы опирания b = 1,0 м; жесткость EI = 0,2·106 кН·м2. Расчет произве-
сти без учета односторонней связи с основанием
Решение. 1. В силу симметрии рассматриваем половину расчетной схемы
(рис. 8.11, б).
2. Определим рациональный размер конечных элементов, взаимодейст-
вующих с упругим основанием.
Линейная характеристика балки α = 4 |
|
k0b |
|
= 4 |
|
26000 ×1, 0 |
|
= 0, 42 м |
-1 |
. |
4EI |
|
4 ×0, 2 ×106 |
|
|
Принимаем размер конечных элементов l = 2,0 м. Тогда согласно (8.53)
величина αl = 0,42·2 = 0,84 находится в допустимых пределах. Разбив осно-
вание рамы по длине на 2 элемента, и поставив в узлы дополнительные связи,
получаем основную систему метода перемещений (рис. 8.11, в). 3. Составим исходные матрицы.
– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства балки, согласно нумерации конечных элементов в основной системе (см. рис. 8.11, в) и на ос-
новании (8.43) имеют вид:
|
|
|
1,875 |
- 3, 75 |
1,875 |
- 3,75 |
|
|
|
15 |
-15 |
15 |
-15 |
|
|
||
|
|
|
-3, 75 |
10 |
- 3, 75 |
5 |
|
|
|
|
-15 |
20 -15 |
10 |
|
|
||
r = rэ = 104 |
; |
rэ = rэ = 104 |
|
; |
|||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,875 |
- 3, 75 |
1,875 |
- 3,75 |
|
15 |
-15 |
15 |
-15 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
-3,75 |
5 |
- 3,75 |
10 |
|
|
|
|
-15 |
10 -15 |
20 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1,111 - 3,333 |
|
1,111 |
- 3,333 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
-3,333 |
13,333 |
- 3,333 |
6,667 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r |
= rэ = 104 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
1,111 |
- 3,333 |
1,111 |
- 3,333 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
-3,333 |
6,667 |
- 3,333 |
13,333 |
|
|
|
|
– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства основания по выра-
жению (8.44) имеют вид:
341
|
|
|
1,931 |
− 0,545 |
− 0, 667 |
0,322 |
|
r0 |
= r0 |
−0,545 |
0,198 |
0,322 |
− 0,149 |
|
|
= 104 |
|
|
|
|
. |
||
3 |
4 |
−0, 667 |
0,322 |
5,973 |
− 0,545 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0,322 |
− 0,149 |
− 0,545 |
0,198 |
|
|
|
|
|
– Полные матрицы жесткости для элементов 3 и 4 будут
|
|
|
|
|
16,931 |
−15,545 |
14,333 −14, 678 |
|
|
r = r = rэ + r0 |
−15,545 |
20,198 |
−14, 678 |
9,851 |
|
||||
= 104 |
|
−14, 678 |
|
−15,545 |
. |
||||
3 |
4 |
4 |
4 |
|
14,333 |
16,931 |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
9,851 |
−15,545 |
20,198 |
|
|
|
|
|
−14, 678 |
|
– Матрицы преобразования деформаций строим от последовательного смещения по направлению указанных в основной системе неизвестных. За положительные направления примем: для линейных смещений – в сторону упругого основания; для угловых – по часовой стрелке. На основании по-
рядка записи узловых перемещений (8.36) и (8.37) матрицы имеют вид имеют вид:
|
|
0 0 −1 0 0 0 0 |
|
|
0 |
0 0 0 0 0 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 0 1 0 0 0 0 0 ; |
a |
2 |
= 0 |
1 0 0 0 0 0 |
; |
|||||
1 |
1 0 0 0 0 0 0 |
|
0 |
0 0 0 0 0 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 0 0 0 |
|
|
0 |
0 0 1 0 0 0 |
||||
|
|
0 0 −1 0 0 0 0 |
|
|
0 0 0 0 −1 0 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
= 0 0 |
0 |
1 0 0 0 ; |
a |
4 |
= |
0 0 0 0 0 1 0 ; |
||
|
0 0 |
0 |
0 1 0 0 |
|
|
0 0 0 0 0 0 1 |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 0 1 0 |
|
|
|
0 0 0 0 0 0 0 |
– Матрицы усилий в основной системе согласно порядка записи (см. 8.36
и 8.37) составляем на основании эпюр |
M 0 |
и Q0 |
(рис. 8.11, г и д): |
||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
72 |
|
−72 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−48 |
; S0 |
|
72 |
; |
S0 |
= S0 |
0 |
|||
S0 = |
|
= |
|
|
= . |
||||||
1 |
−72 |
2 |
|
72 |
|
3 |
|
4 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
−72 |
|
|
|
|
|
0 |
– Элементы матрицы свободных членов определим из равновесия узлов ос-
новной системы:
342
|
72 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
−72 |
|
|
|
|
R = |
−72 |
. |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−80 |
|
|
|
4. Подставив составленные матрицы в алгоритм (8.55) и реализуя его на ЭВМ, получим матрицу неизвестных метода перемещений и матрицы усилий для каждого элемента:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
-85, 407 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93, 296 |
м |
|
S = |
-166,585 ; |
S |
2 |
= 166,585 |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
58,593 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
10,166 |
рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
34,564 м |
|
|
|
|
|
-121, 415 |
|
|
-86,136 |
|
|
|
||||||||
Z = 10 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6,144 |
рад ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
18, 792 |
м |
|
|
|
|
-144 |
|
|
|
|
|
|
- 6,198 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-5, 202 |
рад |
S3 = |
86,136 |
; |
S4 |
= |
-49, 617 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
- 6,198 |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
||||
|
|
16,123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49, 617 |
|
|
|
-26, 058 |
|
|
|
||||||
5. На основании полученных данных построим эпюры усилий MF и QF |
|
|||||||||||||||||||||
(рис. 8.11, е, ж). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Определим экстремальное значение изгибающего момента в пределах |
|
|||||||||||||||||||||
элемента 4. Для этого найдем приближенную функцию реакций упругого ос- |
|
|||||||||||||||||||||
нования по значениям концевых перемещений элемента Z5, Z7, и Z7: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
3 |
|
−1 Z6 |
= |
(48,859 -13,525x + 8,321x |
2 |
3 |
). |
|||||||
r(x) = k0bw = 26000 ×1× 1 x |
|
|
A1 Z |
|
|
|
-1, 646x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия равенства нулю поперечной силы найдем положение сечения в
пределах элемента, в котором действует экстремальный ихгибающий мо-
мент:
343
x
Qэкс = ∑ F лев = -6,198 + ∫ r(x)dx = -6,198 + 48,859x - 6, 763x2 + 2, 774x3 - 0, 412x4 = 0,
0
откуда значение действительного корня уравнения x = 0,129 м.
Тогда
0,129
M экс = ∑ M лев = -49, 617 - 6,198 ×0,129 + ∫ r(x)(0,129 - x)dx = -50, 015 кН×м.
0
Положение сечения на рис. 8.11, е и ж для удобства показано от левого
угла рамы.
8.4.Прямоугольные плиты на упругом основании
8.4.1.Общие положения и составление системы разрешающих
уравнений
Железобетонные плиты на упругом основании являются одним из наибо-
лее важных конструктивных элементов промышленного, гражданского, гид-
ротехнического и дорожного строительства, и поэтому необходимость наи-
более точно отразить их напряженно – деформированное состояние является важной задачей теории сооружений.
В данном разделе рассмотрим расчет тонких плит, для которых справед-
ливы гипотезы Кирхгофа-Лява. Материал плит считается идеально упругим и ортотропным.
При использовании МКЭ прямоугольная плита разбивается на ряд пря-
моугольных КЭ (рис. 8.12, а), соединенных между собой в узлах. При ис-
пользовании метода перемещений в каждый узел полученной дискретной расчетной схемы вводятся дополнительные связи, припятствующие смеще-
ниям в трех направлениях: углам поворота в направлении координатных осей и вертикальному перемещению перпендикулярно срединной поверхности плиты (рис. 8.12, б). Углом поворота в плоскости плиты пренебрегают. Сле-
344
довательно, состояние любого узла n КЭ (рис. 8.13) может быть характери-
зовано тремя узловыми силами и темя перемещениями:
Sn |
|
|
|
|
|
Sn = Snx |
|
; |
y |
|
|
Sn |
|
|
Zn |
|
|
w |
|
|
|
|
|
x |
|
= |
|
|
при n = i, j, k, l. |
(8.57) |
Zn = Zn |
|
∂w / ∂x |
|||||
|
y |
|
|
∂w / ∂y |
|
|
|
Zn |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, матрица жесткости такого элемента будет 12-го порядка,
и ее удобно представить в блочной форме:
S |
|
|
rii rij |
|
|
i |
|
|
rjj |
S j |
= rji |
|||
S |
|
|
r |
r |
|
k |
ki |
kj |
|
S |
l |
|
r |
r |
|
|
li |
lj |
или в краткой форме для КЭ
rik |
ril |
Ζ |
|
|
|
|
rjk |
|
|
i |
|
|
|
rjl Z j |
, |
|
||||
r |
r |
Z |
|
|
(8.58) |
|
kk |
kl |
k |
|
|
||
r |
r |
Z |
l |
|
|
|
lk |
ll |
|
|
|
|
Sg = rgZg. |
(8.59) |
Представление матрицы жесткости в блочной форме позволяет отказаться от использования единого матричного алгоритма при составлении системы разрешающих уравнений. Использование матричного алгоритма не всегда удобно, так как матрицы преобразования деформаций, входящие в выраже-
ние (8.31), содержат большое число нулей (см. примеры 8.2 и 8.3), что из-
лишне загромождает память ЭВМ при их использовании. Поэтому при со-
ставлении системы уравнений метода перемещений удобнее использовать блочный принцип.
Предположим, что все перемещения находятся в единой системе коорди-
нат, которая в общем случае может не совпадать с направлениями коорди-
натных осей, принятых для отдельных элементов. Обозначим перемещения узлов и узловых сил в общей системе координат как Zn* и Sn*. Для плит эти матрицы будут трехмерными [см. (8.57)]. Чтобы перейти к составлению матрицы K (8.27), для каждого элемента вводятся матрицы преобразования координат, с помощью которых матрицы Zn и Sn заменяются матрицами Zn*
и Sn*. Например, для узла i Si =ai Si*, Zi = ai Zi*. В случае совпадения еди-
345
ной системы координат с системами координат отдельных элементов матри-
цы преобразования координат будут единичными.
Значения Zn и Sn, выраженные через Zn* и Sn*, подставляются в в (8.58),
например, для первой строки:
aiS*i = riiai Z*i + rija j Z*j + rik ak Z*k + rilal Z*l ,
или после умножения слева на ai−1 ,
S* = (a−1r a |
)Z* + (a−1r a |
j |
)Z* |
+ (a−1r a |
k |
)Z* |
+ (a−1r a |
)Z* , |
(8.60) |
||
i |
i ii i |
i |
i ij |
j |
i ik |
k |
i il l |
l |
|
где выражения в скобках являются блоками матрицы K, составляемой для общей системы координат.
Рассмотрим часть области плиты, поделенной на прямоугольные конеч-
ные элементы (рис. 8.14), и составим уравнение равновесия для узла n:
(S*i )D + (S*j )C + (S*k )A + (S*l )B + Rn = 0, |
(8.61) |
где Rn – матрица свободных членов для узла n.
Подставив выражения для S* на основании (8.60) в (8.61), получим:
(ai−1riiai Z*i )D
+(a−j1rjiai Z*i )C +(a−k 1rkiai Z*i )A +(al−1rliai Z*i )B
+(ai−1rija j Z*j )D
+(a−j1rjja j Z*j )C
+(a−k 1rkja j Z*j )A
+(al−1rlja j Z*j )B
+(ai−1rik ak Z*k )D + (ai−1ril al Z*l )D +
+(a−j1rjk ak Z*k )C + (a−j1ril al Z*l )C +
+ (a−1r a |
Z* ) |
|
+ (a−1r a |
Z* ) |
|
+ |
|
(8.62) |
|||||
A |
A |
|
|
||||||||||
k kk |
k |
k |
|
|
k kl |
l |
l |
|
|
|
|
||
+ (a−1r a |
Z* ) |
B |
+ (a−1r a |
Z* ) |
B |
+ R |
n |
= 0. |
|||||
l lk k |
|
k |
|
l |
ll l |
|
l |
|
|
|
На основании совместности деформаций в узлах дискретной схемы плиты для узла n (см. рис. 8.14)
|
|
|
|
|
(Z*i )D = (Z*j )C = (Z*k )A = (Z*l )B = Zn . |
|
|
|
|
|
|
(8.63) |
||||||||||||||||||||
Подставив (8.63) в (8.62) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(r* ) |
A |
Z |
p−1 |
+ [(r* ) |
A |
+ (r* ) |
B |
]Z |
p |
+ (r* ) |
B |
Z |
p+1 |
+ [(r* ) |
B |
+ (r* ) |
D |
]Z |
n+1 |
+ |
|
|||||||||||
ki |
|
|
|
|
kl |
|
|
li |
|
|
|
|
lj |
|
lk |
ij |
|
|
|
|
||||||||||||
+(rik* )D Zs+1 + [(ril* )D |
+ (r*jk )C ]Zs + (r*jl )C Zs−1 + [(r*jl )C |
+ (rkl* )A ]Zn−1 |
|
(8.64) |
||||||||||||||||||||||||||||
+[(r* |
) |
A |
+ (r* ) |
B |
+ (r* ) |
D |
+ (r* ) |
C |
]Z |
n |
+ R |
n |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
kk |
|
|
|
ll |
|
ii |
|
|
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где выражения в круглых скобках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
r* = (a−1r a |
); |
r* = (a−1r a |
j |
); |
|
r* |
= (a−1r a |
k |
); r* |
= (a−1r a |
); |
и т.д. |
(8.65) |
|||||||||||||||||||
ii |
i |
|
ii i |
|
|
ij |
|
i ij |
|
|
|
|
ik |
|
|
i |
ik |
il |
|
i il l |
|
|
|
|
346
Уравнения типа (8.64) составляются для каждого узла: результатом объе-
динения этих уравнений является выражение (8.27).
При совпадении местных систем координат, принятых для каждого от-
дельного элемента, с общей системой матрицы преобразования координат
будут единичными и тогда rii* = rii ; rij* = rij ; rik* = rik ; ril* = ril ; и т.д. В этом слу-
чае блоки матриц жесткости можно сразу (без преобразования) из (8.58) под-
ставлять в (8.64).
Граничные условия для расчетной схемы учитываются при составлении блоков матриц усилий и перемещений (см. 8.57), определяемых для каждого граничного элемента.
8.4.2. Матрица жесткости прямоугольного элемента плиты
Для выражения поверхности прогиба примем бикубический полином,
удовлетворяющий однородному дифференциальному уравнению изгибаемой плиты при отсутствии упругого основания:
w(x, y) = f + f |
2 |
x + f |
3 |
y + f |
4 |
x2 |
+ f |
5 |
y2 |
+ f |
6 |
xy + f |
7 |
x2 y + f |
xy2 + f |
x3 + f y3 |
+ |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
(8.66) |
|||||||
+ f x3 y + f xy3 = [1 x y x2 |
y |
2 xy x2 y xy2 x3 |
y3 |
x3 y xy3 ]f |
||||||||||||||||||
. |
||||||||||||||||||||||
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
Полином (8.66) используется почти во всех работах, посвященных расчету тонких плит МКЭ. Это объясняется тем, что он дает достаточно точные ре-
зультаты, особенно при решении задач прочности, хотя и допускает разрыв деформаций в углах поворота между смежными элементами.
Выражения для прогибов и углов поворота согласно (8.57) примут вид:
w |
|
1 x |
y |
|
|
|
|
|
|
¶w / ¶x |
= 0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
¶w / ¶y |
0 |
x2 y2 xy x2 y xy2 |
x3 |
y3 x3 y xy3 |
|
|
|
|
||||||||
2x 0 y 2xy |
y2 |
3x |
2 |
0 |
|
3x2 y |
y3 |
|
×fs |
= Lfs . |
|
|||
|
|
(8.67) |
||||||||||||
0 2 y x x |
2 |
2xy 0 |
3y |
2 |
x |
3 |
3xy |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в матрицу L (8.67) координаты узлов конечного элемента (см.
рис. 8.13), получим матрицу А коэффициентов при fs (8.3). Обращение этой матрицы дает A-1 (табл. 8.1):
347
Таблица 8.1
Матрица параметров fs для прямоугольного КЭ
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–3/ a2 |
–2/ a |
0 |
3/a2 |
–1/ a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–3/ b2 |
0 |
–2/ b |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3/b2 |
0 |
–1/ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A-1 |
= |
–1/ ab |
–1/ b |
–1/ a |
1/ab |
0 |
1/a |
–1/ ab |
0 |
0 |
1/ab |
1/b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3/a2b |
2/ab |
0 |
–3/ a2b |
1/ab |
0 |
3/a2b |
–1/ ab |
0 |
–3/ a2b |
–2/ ab |
0 |
|||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ab2 |
0 |
2/ab |
–3/ ab2 |
0 |
–2/ ab |
3/ab2 |
0 |
–1/ ab |
–3/ ab2 |
0 |
1/ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/a3 |
1/a2 |
0 |
–2/ a3 |
1/a2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/b3 |
0 |
1/b2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–2/ b3 |
0 |
1/b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–2/ a3b |
–1/ a2b |
0 |
2/a3b |
–1/ a2b |
0 |
–2/ a3b |
1/a2b |
0 |
2/a3b |
1/a2b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–2/ ab3 |
0 |
–1/ ab2 |
2/ab3 |
0 |
1/ab2 |
–2/ ab3 |
0 |
1/ab2 |
2/ab3 |
0 |
–1/ ab2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения для вторых производных от w получим из (8.67):
¶w2 / ¶x2 |
|
0 0 0 2 0 0 2 y 0 6x 0 6xy |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶w |
|
/ ¶y |
|
|
= 0 0 0 0 2 0 0 2x 0 6y 0 |
2 |
6xy |
|
×fs |
= Bfs . |
(8.68) |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
¶ |
|
w / ¶x¶y |
0 0 0 0 0 1 2x 2 y 0 0 3x |
|
3y |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
0 0 0 0 0 1 2x 2 y 0 0 3x2 |
3y2 |
|
|
|
|
||
¶ |
|
w / ¶y¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица жесткости С (8.5) для бесконечного малого элемента в случае из-
гиба тонких ортотропных плит дает соотношения между изгибающими мо-
ментами и деформациями плиты:
M x |
|
|
|
- Dx |
|
|
y |
|
|
|
-µy Dy |
M |
|
|
= |
|
|
|
xy |
|
0 |
||
M |
|
|
|
|
|
M yx |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
- µx Dx 0
- Dx 0
0 - Dcr
0 0
0 |
¶w2 / ¶x2 |
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
2 |
/ ¶y |
2 |
|
|
|
¶w |
|
|
|
= CBfs , |
(8.69) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
0 |
¶ |
w / ¶x¶y |
|
|
|||||
- D |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cr ¶ |
w / ¶y¶x |
|
|
где Dx =Exh3/(12ν) – изгибная жесткость плиты в направлении оси x;
Dy =Eyh3/(12ν) – изгибная жесткость плиты в направлении оси y;
Dk =Gh3/6 – жесткость при кручении; µxDx = µyDy = Dµ; ν = 1– µx µy.
На основании принятой модели упругого основания [см. (8.32) и (8.33)]
реакции упругого основания в матричной форме имеют вид:
348
r(x,
R0 g = t(x)
t( y)
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
y) |
k0 0 0 - c0 |
- c0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¶w / ¶x |
|
|
|
|
||||||||
|
= 0 c 0 |
0 |
0 |
|
¶w / ¶y |
|
|
= kL f |
(8.70) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 s, |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
¶ |
|
w / ¶x |
|
|
|
|
|
0 0 c0 |
|
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2 w / ¶y |
2 |
|
|
|
где
w |
|
1 x y |
|
|
|
¶w / ¶x |
|
0 1 0 |
¶w / ¶y |
|
= 0 0 1 |
|
|
|
¶2 w / ¶x2 |
0 0 0 |
|
|
|
|
¶2 w / ¶y2 |
|
0 0 0 |
|
|
|
x2 |
y2 |
xy |
x2 y |
xy2 |
2x |
0 |
y |
2xy |
y2 |
0 |
2 y |
x |
x2 |
2xy |
2 |
0 |
0 |
2 y |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
2x |
x3 |
y3 |
x3 y |
3x2 |
0 |
3x2 y |
0 |
3y2 x3 |
|
6x |
0 |
6xy |
0 |
6 y |
0 |
xy3
y3
3xy2
0
6xy
×fs = L0fs . (8.71)
Подставляя матрицы L (8.67), A-1 (табл. 8.1), В (8.68), С (8.69), k (8.70) и
L0 (8.71) в выражения (8.19) и (8.20) и интегрируя в пределах от 0 до а в на-
правлении оси x и от 0 до b в направлении оси y, получим в общем виде: rgэ –
матрицу жесткости собственно конечного элемента, учитывающую его упру-
гие свойства; rg0 – матрицу, учитывающую свойства упругого основания.
Матрица rg0 представлена в виде суммы трех матриц: rg0 = rg01 + rg02 + rg03 ,
где rg01 зависит от коэффициента k0, а rg02 и rg03 – от коэффициента с0 по на-
правлениям координатных осей. При rg02 =0 получаем наиболее распростра-
ненную и простую модель упругого основании – модель Винклера. При от-
сутствии упругого основания rg0 = 0. Матрицы жесткости rgэ , rg01 , rg02 и
rg03 приведены, соответственно, в таблицах 8.2, 8.3, 8.4 и 8.5.
Распределенные (погонные) усилия при расчете плиты определяются по
выражению (8.30), |
которое в данном случае удобно записать в виде |
Mg = Ng Z . Матрица |
Ng приведена в таблице 8.6. В эту матрицу подставля- |
ются координаты узлов для изгибающих моментов и координаты середины элемента – для крутящего момента. Размер матрицы Ng – (9 х 12).
349
Таблица 8.2
Матрица жесткости rgэ прямоугольного КЭ плиты
Si |
|
r11 |
r12 |
r13 |
r14 |
r15 |
r16 |
r17 |
r18 |
r19 |
r1,10 |
r1,11 |
r1,12 |
|
Zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Six |
|
|
r22 |
r23 |
– r 15 |
r25 |
0 |
– r 18 |
r28 |
0 |
r1,11 |
r2,11 |
0 |
|
Zix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Siy |
|
|
|
r33 |
r16 |
0 |
r36 |
– r 19 |
0 |
r39 |
– r 1,12 |
0 |
r3,12 |
|
Ziy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sj |
|
|
|
|
r11 |
– r 12 |
r13 |
r1,10 |
– r 1,11 |
r1,12 |
r17 |
– r 18 |
r19 |
|
Zj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S jx |
|
|
|
|
|
r22 |
– r 23 |
– r 1,11 |
r2,11 |
0 |
r18 |
r28 |
0 |
|
Z jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S jy |
= |
|
|
|
|
|
r33 |
– r 1,12 |
0 |
r3,12 |
– r 19 |
0 |
r39 |
|
Z jy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sk |
|
|
|
|
|
|
r11 |
– r 12 |
– r 13 |
r14 |
– r 15 |
– r 16 |
|
Zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Skx |
|
|
|
|
|
|
|
|
r22 |
r23 |
r15 |
r25 |
0 |
|
Zkx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sky |
|
|
|
Симметрично |
|
|
|
r33 |
– r 16 |
0 |
r36 |
|
Zky |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r11 |
r12 |
–r 13 |
|
Zl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Slx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r22 |
– r 23 |
|
Zlx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sly |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r33 |
|
Zly |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблице 8.2: r11 = |
4mD |
+ |
4Dy |
|
+ |
|
2Dµ |
+ |
14D |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2mD |
x |
|
+ |
|
Dµ |
+ |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
r12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
2 |
|
mb |
2 |
|
ma |
2 |
5ma |
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
5b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2Dy |
|
|
|
Dµ |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4mD |
|
|
|
|
|
|
|
2Dy |
|
|
2Dµ |
|
|
|
|
14D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mD D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
k |
; |
|
r = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
k |
; |
|
|
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
k |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
mb |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
mb2 |
ma2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5a |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5ma2 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Dy |
|
|
|
|
|
|
Dµ |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mD |
|
|
|
|
|
|
|
2Dy |
|
|
2Dµ |
|
|
|
|
14D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mD D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
k |
; |
|
|
r = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
k |
; |
|
|
|
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− |
|
|
k |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
mb a 5a |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
mb2 |
|
|
ma2 |
|
|
|
|
5ma2 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
|
Dy |
|
|
− |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
|
2mD |
− |
|
|
4Dy |
|
− |
|
2Dµ |
− |
|
14D |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
mD |
|
− |
|
|
Dµ |
|
− |
|
D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
; |
|
r |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
mb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
mb2 |
|
|
ma2 |
|
5ma2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
|
|
|
|
|
|
5a |
|
|
|
|
|
|
1,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2Dy |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
4mD |
|
|
|
|
|
|
|
4D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mD |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
k |
; |
|
r = |
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
k |
; |
|
|
|
r |
|
|
= D ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
k |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,12 |
|
|
|
|
mb |
|
|
|
|
|
5a |
|
|
22 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
15m |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
mD |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
; r = |
|
2mD |
|
|
|
|
|
|
|
4D |
|
|
|
|
|
|
4Dy |
+ |
4mD |
|
|
|
|
|
|
|
2Dy |
|
− |
|
4mD |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
x |
|
− |
|
|
|
|
|
|
k |
; r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
; r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
15m |
2,11 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15m |
|
|
33 |
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dy |
|
|
|
|
|
mD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Dy |
|
|
|
|
|
mD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
r = |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
k |
; |
|
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
; m = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
39 |
3m |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
3,12 |
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
350