Текст
.pdfНа основании принципа независимости действия сил, перемещение
любой массы mk можно представить как сумму перемещений |
|
yk(t)=δk1J1(t) + δk2J2(t) + ... + δkkJk(t) + ... + δknJn(t)+ kFsinθt |
(10.48) |
Выражения (10.48) составляются для каждой массы расчётной схемы
при k = 1, 2, …… n.
Входящие в выражение (10.48) инерционные силы, как известно, оп-
ределяются выражениями (10.36), а перемещения при установившихся
колебаниях выражениями |
|
yk(t)=ak sinθt, |
(10.49) |
где ak ,aj– амплитуды колебаний k-той массы. |
|
Дважды продифференцируем по времени выражения (10.49) и под-
ставив их в (10.36), получим
Jk (t)= −m kÿ k(t) = akmk θ2 sinθt = Jk sinθt.
(10.50)
В (10.50) обозначение Jk=akmkθ2 называют амплитудным значением
инерционной силы, зная которую можно определить амплитуду колеба-
ний массы при вынужденных колебаниях
|
ak = Jk /mkθ2. |
|
(10.51) |
|||
С учетом (10.51), выразим перемещения масс k (k = 1… |
n)через инер- |
|||||
ционные силы: |
y |
(t) = |
Jk |
sin θt |
(10.52) |
|
m θ2 |
||||||
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
Подставим выражения перемещений масс y(t) из (10.52) в левую часть уравнения (10.48), а выражения инерционных сил (10.50) – в пра-
вую:
Jk |
sin θt |
= δ |
J |
sinθt+ δ |
k2 |
J sinθt+ ...+ δ |
kk |
J sinθt+ ...+ δ |
J |
sinθt + |
kF |
sinθt. |
|
m θ2 |
|||||||||||||
|
k1 |
1 |
|
2 |
k |
kn n |
|
|
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное выражение сократим на sinθt и приведём к каноническо-
му виду, перенеся все члены в одну сторону:
δk1J1+ δk2J2 + ...+ (δkk − |
1 |
)Jk + ...+ δknJn + kF = 0, |
m θ2 |
||
|
k |
|
421
или, введя обозначение
δ*k k |
= δk k |
− |
|
1 |
|
, |
(10.53) |
|
m |
|
θ |
2 |
|||||
|
|
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
k1 |
J |
+ δ |
J + ...+ |
δ* |
J |
k |
+ ...+ δ |
kn |
J |
n |
+ |
kF |
= 0. (10.54) |
|
|
1 |
|
k2 2 |
kk |
|
|
|
|
|
|
|||||
Выражение (10.54) при k = 1, 2, …… |
|
n |
является системой алгебраиче- |
ских уравнений относительно амплитудных значений инерционных сил
Jk .
Так как в отличие от задач статики, при динамическом воздействии все перемещения и усилия в расчётной схеме зависят не только от внеш-
ней нагрузки, но и от сил инерции, то, определив амплитуды этих сил,
на основании принципа независимости действия сил можем определить амплитудные значения искомых усилий:
Sk = Sk1J1+ Sk2J2 + ...+ Skk Jk + ...+ SknJn + kF, |
(10.55) |
где Skj (j = 1, 2, … n)– усилия в заданной расчётной схеме от единичных сил, приложенных по направлению действия сил инерции, SkF – усилия от амплитудного действия внешней динамической нагрузки.
Методика определения динамических усилий и перемещений через амплитудное значение инерционной силы применяется и для систем с одной степенью свободы, когда направления возмущающих нагрузок не совпадают с направлением сосредоточенной массы, и динамический ко-
эффициент определить нельзя.
Пример 10.10. Требуется построить динамическую эпюру изгибаю-
щих моментов для консольной балки с двумя сосредоточенными масса-
ми, показанной на рис. 10.23, а, при действии возмущающей силы F(t) = 120sinθt (кН). Круговая частота возмущающей силы θ = 0,7ωmin. (Расчет на свободные колебания см. в примере 10.8).
422
Решение. 1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать ам-
плитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J1 и J2
(рис. 10.23, б).
2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчётной схемы с двумя степенями свободы будет иметь вид
δ11* J1 +δ12J2 +Δ1F = 0, δ21J1 +δ*22J2 +Δ2F = 0.
3. Из примера 10.8 минимальная частота свободных колебаний
ωmin |
= ω1 |
= 0,1442 |
EI |
с-1, тогда θ = 0, 7ω1 = 0,1009 |
EI |
с-1. |
|
m |
m |
||||||
|
|
|
|
|
4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 10.8 по расчетным эпюрам M1 и M2
(рис. 10.18, в, г):
δ = |
36 |
(м/кН); |
δ |
|
= |
9 |
(м/кН); |
δ =δ |
|
= |
27 |
(м/кН). |
|
22 |
|
21 |
|
||||||||
11 |
EI |
|
|
EI |
12 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EI |
Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических
уравнений определяем по формуле (10.53).
δ* =δ |
- |
1 |
|
= |
36 |
- |
1 |
|
|
|
= - |
62,224 |
|
(м/кН), |
||
11 |
11 |
|
mθ2 |
|
EI |
2 EI |
|
|
|
EI |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
m×0,1009 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
δ* |
=δ |
- |
1 |
|
= |
9 |
- |
1 |
|
|
|
=- |
40,112 |
|
(м/кН). |
|
22 |
22 |
|
m θ2 |
|
EI |
2 EI |
|
|
EI |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2m×0,1009 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m
5. Так как направление возмущающей силы F(t) совпадает с направ-
лением J2 (рис. 10.18, б), то эпюра изгибающих моментов MF = M2F
(рис. 10.23, в) и, соответственно, свободные члены канонических урав-
нений будут:
D1F |
=∑ |
M1MF |
dx =δ12F = |
1620 |
|
(м); |
D2F |
=∑ |
M2MF |
dx =δ22F = |
1080 |
|
|
EI |
|
EI |
|||||||||
|
∫ EI |
|
|
|
∫ EI |
|
(м).
423
6. Подставив все найденные значения в систему канонических урав-
нений и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнения в чис-
ленном виде
−62,224 J1 + 13,5J2 + 1620 = 0, 13,5J1 − 40, 112 J2 +1080 = 0,
решив которые, найдем: J1 = 34,387 кН, J2 = 38,498 кН.
7. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Mдин = M1 J1 + M2 J2 + MF (рис. 10.24).
Пример 10.11. Требуется построить динамическую эпюру изгибаю-
щих моментов для статически неопределимой рамы с двумя сосредото-
ченными массами, показанной на рис. 10.25, а, при действии возму-
щающих нагрузок F(t) = 6sinθt (кН) и q(t) = 24sinθt (кН/м). Круговая час-
тота возмущающей силы θ = 0,75ωmin.
Решение. 1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать ам-
плитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J1 и J2
(рис. 10.25, б).
2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчётной схемы с двумя степенями свободы будет иметь вид
δ11* J1 +δ12J2 +Δ1F = 0, δ21J1 +δ*22J2 +Δ2F = 0.
3. Из примера 10.9 минимальная частота свободных колебаний
ωmin =ω1 |
= 0,3913 |
EI |
с-1, тогда θ=0,7ω1 =0, 2935 |
EI |
с-1. |
|
m |
m |
|||||
|
|
|
|
4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 10.9:
δ = |
3, 219 |
|
(м/кН); |
δ |
|
= |
1,836 |
(м/кН); |
δ |
=δ |
|
= − |
0, 466 |
(м/кН). |
|
|
22 |
|
21 |
|
|||||||||
11 |
EI |
|
|
EI |
12 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
424
Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических
уравнений определяем по формуле (10.53).
δ* =δ - 1 |
= 3, 219 - |
1 |
|
= -5, 499 |
|||||||
11 |
11 |
m θ2 |
|
EI |
|
2 EI |
|
|
EI |
(м/кН), |
|
|
|
1 |
|
|
|
2m×0, 2395 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ* |
=δ - |
1 |
= |
1,836 |
- |
1 |
|
|
= - |
15,598 |
(м/кН). |
22 |
22 |
m θ2 |
|
EI |
2 EI |
|
|
EI |
|||
|
|
2 |
|
|
|
m×0,2395 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Произведем расчёт грузового состояния от амплитудных значений
возмущающих нагрузок (рис. 10.25, в). Основная система метода пере-
мещений и эпюра M10 от принудительного единичного поворота допол-
нительной связи показаны на рис.10.20, д (см. пример 10.9). Эпюра гру-
зового состояния в основной системе M F0 приведена на рис. 10.25, г.
Каноническое уравнение метода перемещений
r11Z1 + R1F = 0, где r11 = 14,5i (кНм/рад), R1F = 42 кНм.
Тогда Z1= − R1F / r11 = − 42/14,5 i (рад).
|
Построив эпюру M10 Z1 (рис. 10.25, д), на основании принципа незави- |
||
симости |
действия сил получим эпюру грузового состояния |
||
M |
F |
= M 0 Z + M 0 (рис. 10.25, е). |
|
|
1 1 |
F |
6. Свободные члены канонических уравнений определим, используя
вспомогательные состояния в статически определимых основных систе-
мах (см. рис. 10.21, в и г):
|
|
|
|
|
0M |
49,38 |
|
|
|
|
|
|
|
19,551 |
|
||||
|
|
∑ |
M |
|
|
|
∑ |
M0M |
|
||||||||||
D |
= |
|
|
1 F |
dx = |
|
|
(м); |
D |
= |
|
|
2 F |
dx =- |
|
|
(м). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1F |
|
|
|
EI |
EI |
2F |
|
|
|
EI |
|
EI |
|||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
7. Подставив все найденные значения в систему канонических урав-
нений и сокращая на общий множитель 1/EI, получим уравнения в чис-
ленном виде
− 5,499 |
J1 |
− 0,466 |
J2 + 49,38 = 0, |
− 0,466 |
J1 |
− 15,998 |
J2 − 19,551 = 0, |
решив которые, найдем: J1 = 9,109 кН, |
J2 = −1,526 кН. |
425
8. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Mдин = M1 J1 + M2 J2 + MF (рис. 10.26).
Пример 10.12. Требуется построить динамическую эпюру изгибаю-
щих моментов для расчётной схемы с одной степенью свободы (рис. 10.27, а), если возмущающая сила F(t) = 6sinθt (кН) приложена вне на-
правления колебания массы, а частота вынужденных колебаний θ = 0,8ω.
Решение. 1. При sinθt = 1 на расчётную схему будут действовать ам-
плитудные значения возмущающей силы F и инерционной силы J1, (рис.
10.27, б).
2. Каноническое уравнение для определения амплитудного значения инерционной силы для расчётной схемы с одной степенью свободы бу-
дет иметь вид |
δ* |
J |
1 |
+ |
1F |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Заданная система статически определима. Построим эпюру M1 от |
|||||||||||||||||||||||||
единичной силы, |
приложенной по |
|
|
направлению |
колебания массы |
||||||||||||||||||||
(рис.10.27, в), и эпюру MF от действия амплитудного значения возму- |
|||||||||||||||||||||||||
щающей нагрузки (рис. 10.27, г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Податливость по направлению колебания массы |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
δ11 = ∑∫ |
M 2 |
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
dx = |
|
(м/кН). |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
EI |
EI |
|
|
|||||||||||||||||
5. Частота свободных колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
|
|
1 |
= |
|
EI |
= 0,14907 |
|
EI |
|
|
-1 |
|||||||||||
|
|
|
δ m |
|
45m |
|
m |
(с ). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Частота вынужденных колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ=0,8ω = 0,11926 |
EI |
|
-1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(с ). |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Коэффициент при неизвестном канонического уравнения опреде-
ляем по формуле (10.53).
426
δ* =δ - |
1 |
= |
45 |
- |
1 |
|
= - |
25,312 |
(м/кН). |
|
11 |
11 |
mθ2 |
|
EI |
2 EI |
|
EI |
|||
|
|
|
|
|
|
m×0,11926 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Свободный член канонического уравнения |
|
|
|
D |
= |
∑ |
M1MF |
dx = |
405 |
|
(м). |
|
|
||||||
1F |
|
EI |
|
EI |
|||
|
|
∫ |
|
|
9. Подставив найденные значения в каноническое уравнение и со-
кращая на общий множитель 1/EI, получим уравнение в численном виде: − 25,312 J1 + 405 = 0,
решив которое, получим J1 = 16 кН.
7. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Mдин = M1 J1 + MF (рис. 10.27, д).
10.3.3.Учёт симметрии в задачах динамики
Всимметричных расчётных схемах с симметрично расположенными одинаковыми массами на основании свойств симметрии возможны уп-
рощения при определении частот свободных колебаний и усилий от вибрационной нагрузки.
Для симметричных расчётных схем с симметрично расположенными массами возможно разложение форм колебаний на симметричные и ко-
сосимметричные, при которых силы инерции также будут либо симмет-
ричные, либо кососимметричные.
Упрощение достигается за счёт разделения уравнения частот (10.41)
при наличии осей симметрии на уравнения меньших порядков. Так, если расчётная схема имеет одну ось симметрии, уравнение частот разделяет-
ся на два уравнения; если расчётная схема имеет две оси симметрии – на четыре уравнения. При этом сумма порядков уравнений остаётся равной порядку исходного уравнения. Разделения уравнения частот (10.41)
можно достичь двумя путями – либо использованием групповых пере-
427
мещений, либо представлением расчётной схемы в виде её симметрич-
ной части.
Рассмотрим расчётную схему с тремя степенями свободы масс
(рис.10.28, а), имеющую одну ось симметрии. В этой расчётной схеме три формы колебаний можно представить как две симметричных (рис. 10.28, б и в) и одну кососимметричную (рис. 10.28, г). В этом случае для массы m2, расположенной на оси симметрии (рис. 10.29, а) вспомога-
тельное состояние определяется одной единичной силой (рис. 10.29, б);
для симметрично расположенных относительно оси симметрии масс m1
и m3 = m2 величины податливостей определяются от групповых единич-
ных сил (рис. 10.29, в и г). При этом побочные податливости, связываю-
щие симметричные и кососимметричные силы инерции, обращаются в ноль. Это и приводит к распаду уравнения частот на два независимых уравнения, из которых одно позволяет определить частоты симметрич-
ных свободных колебаний, а другое – кососимметричных.
Приведённые на рис. 10.28 формы колебаний на основании свойств симметрии (см. подразд. 5.5) позволяют назначить на оси симметрии граничные условия при рассмотрении половины расчётной схемы.
На рис 10.30, а изображена половина расчётной схемы для симмет-
ричных колебаний. В силу свойства 1 (см. подразд. 5.5) на оси симмет-
рии должен отсутствовать угол поворота, но сечение способно переме-
щаться по вертикали. Этим условиям соответствует подвижное в верти-
кальном направлении защемление. Следовательно, для данной расчёт-
ной схемы степень свободы масс будет равна Wm = 2, и уравнение частот будет второго порядка. Так как масса m2 расположена непосредственно на оси симметрии и принадлежит одновременно и правой и левой час-
тям схемы, здесь она учитывается в половину своей величины.
Аналогично, для кососимметричных колебаний (рис. 10.30, б) на оси симметрии должно отсутствовать, на основании свойства 2 (см. подразд
5.5), вертикальное перемещение сечения, но разрешён его свободный
428
поворот. Этим условиям соответствует постановка вертикальной шар-
нирно подвижной опоры. Следовательно, для полученной расчётной схемы степень свободы Wm = 1, и уравнение частот будет первого по-
рядка. Общее число степеней свободы равно трём, но вместо определи-
теля третьего порядка составляются два определителя – второго и пер-
вого. Вычисление этих двух определителей существенно легче и короче,
чем вычисление определителя третьего порядка.
При действии вибрационной нагрузки последняя, как и при статиче-
ских расчётах, раскладывается на симметричную и кососимметричную
(рис. 10.31).
10.4. Приближенные способы определения частот свободных колебаний
10.4.1.Энергетический способ
Воснове этого способа лежит закон сохранения энергии: в любой момент времени энергия колеблющейся системы остается постоянной:
U + V = const, |
(10.56) |
где U , V – соответственно потенциальная и кинетическая энергии.
Рассмотрим упругую консольную балку с распределенной массой m(x) и сосредоточенной массой m (рис. 10.32). При колебании указанных масс возможны два характерных состояния упругой системы:
1.При наибольшем отклонении скорость движения v =0, а упругая система деформирована (см. рис. 10.32, а). Следовательно, для данного состояния кинетическая энергия V = 0, а потенциальная энергия (энергия деформации) достигает максимума – Umax.
2.При обратном движении масс они проходят линию статического равновесия, когда скорость движения максимальна vmax , а деформация упругой системы отсутствует (см. рис. 10.32, б). Следовательно, для
429
данного состояния кинетическая энергия достигает максимума– Vmax , а
потенциальная U = 0.
Тогда на основании (10.56) можно записать, что |
|
||
Umax = Vmax . |
|
(10.57) |
|
Зададимся уравнением колебаний в виде |
|
|
|
y(x,t) = y(x) sin ωt, |
|
(10.58) |
|
где y(x) – уравнение формы изогнутой оси при колебаниях |
|
||
Тогда скорость движения |
|
|
|
& |
vmax |
= y(x)ω. |
(10.59) |
y(x, t) = y(x)ω cosωt; |
Предположим, что упругая система содержит n1 распределенных и n2
сосредоточенных масс. Тогда на основании (10.58) и(10.59) для любой i
– той массы
& |
(t) = yi ω cosωt; |
vi max = yi ω. |
у(t) = yi sin ωt; yi |
(10.60)
Кинетическая энергия движения масс
|
l |
|
|
Vmax |
= 0, 5(∑ ∫ m(x)vmax2 |
dx + ∑ mi vi2max ), |
|
|
n1 0 |
n2 |
|
или после подстановки (10.59) и (10.60) |
|
|
|
|
l |
|
|
Vmax |
= 0, 5ω2 (∑ ∫ m(x) y2 (x)dx + ∑ mi yi2 ). |
(10.61) |
|
|
n1 0 |
n2 |
|
Без учета работы поперечных и продольных сил потенциальная энер-
гия изгибаемой системы равна
Umax = ∑ |
M 2 |
′′ |
′′ |
2 |
|
|
|||
2EI |
dx или, т.к. M = EIy (x), |
Umax = 0,5∑ EI[ y (x)] dx, (10.62) |
||
n |
|
n |
|
где n – количество участков интегрирования в расчетной схеме.
Приравнивая на основании (10.57) выражения (10.61) и (10.62), полу-
чим
430