Текст

ней части стержня (рис. 11.7, г) легко определить выражение для изги-

бающего момента:

M(x) = Fcry.

Подставив полученное выражение изгибающего момента в диффе-

ренциальное уравнение (11.1), получим

нение в канонической форме

y ′′( x ) + α 2 y ( x ) = 0 .

Решение полученного однородного дифференциального уравнения,

известное из курса математики, имеет вид:

y(x) = C1cos αx + C2sin αx.

Произвольные постоянные C1 и C2 найдём из граничных условий сжа-

то-изогнутой стойки (рис. 11.7, в):

при x = 0 y = 0, следовательно C1= 0;

при x = l y = 0, следовательно C2 sin αl= 0.

Соблюдение условия C2 sin αl= 0 возможно в двух случаях:

∙ если C2 = 0, то y(x) всегда равно нулю, следовательно, стержень ос-

таётся прямым, что соответствует состоянию до потери устойчивости;

∙ если sin αl= 0, то αl= 0, π, 2π, 3π …. nπ.

Таким образом, выражение sin αl= 0 является уравнением устойчи-

вости для рассматриваемого стержня, из которого можно определить

* Здесь и далее под термином критический параметр будем понимать любую ве-

личину, содержащую значение Fcr.

461

Из полученных решений уравнения устойчивости нас не интересует решение ν = αl= 0, так как оно соответствует Fcr = 0; из остальных реше-

ний нас интересует только то, которое даёт минимальное значение кри-

тической силы, т.е. νmin = αl= π. При данном значении критического па-

раметра получаем

Наименьшее значение критической силы (11.4) для шарнирно-

опертого стержня принято называть эйлеровой критической силой.

На практике применяют стойки с различными условиями закрепле-

ния. Решения для них находятся аналогично. Значения критических сил и уравнения устойчивости для стержней с различными условиями закре-

пления концов приведены в табл. 11.1.

Как видно из табл. 11.1, чем жёстче закреплён стержень, тем боль-

шую нагрузку до потери устойчивости он может выдержать.

Проведём сопоставление формул (11.3) и (11.4) и приведём (11.3) к

эйлерову виду (11.4). Для этого произведем следующие преобразования:

462

Таблица 11.1

Значения критических параметров для центрально сжатых стержней

463

Согласно СНиП эта величина, а не критическая сила лежит в основе практических методов расчёта сжатых и сжато-изогнутых стержней элементов конструкций.

Коэффициент µ = π/ν, входящий в (11.6) называют коэффициентом приведения длины центрально сжатого стержня.

Приведенную длину l0 можно трактовать как некоторую условную длину шарнирного опёртого по концам стержня, для которого критиче-

ская сила равна критической силе для заданного загружения. Из сравне-

ния форм потери устойчивости стержней, приведённых в табл. 11.1 рас-

чётной длине можно дать следующую геометрическую интерпретацию расчетной длины: это длина полуволны синусоиды, содержащейся в по-

лученной форме потери устойчивости центрально сжатого стержня.

Пример 11.3. Требуется определить критическую силу и расчётную длину центрально сжатой стойки схемы, показанной на рис. 11.8, а, ме-

тодом непосредственного интегрирования.

Решение. 1. Зададим возможную форму потери устойчивости расчёт-

ной схемы (рис. 11.8, б). В результате изгиба жёсткий узел A повернётся на некоторый угол β. Свободному повороту нижнего сечения стойки препятствует горизонтальный стержень AB, выполняющий по отноше-

нию к стойке роль своеобразной упругой пружины, поэтому расчётная схема стойки может быть представлена в виде вертикального стержня с упругой заделкой в нижнем сечении (рис. 11.8, в).

Для определения податливости стержня AB в направлении возможно-

го поворота узла A рассмотрим этот стержень отдельно (рис.11.8, г) и

построим эпюру M1 от единичного безразмерного момента, приложен-

ного по направлению угла поворота. Тогда

464

Жёсткость круговой пружины определим как величину, обратную податливости: r11=1/δ11 = 6EI/l (кН/м).

2. По полученному для стержня равновесному состоянию (рис.11.8,

д) определим изгибающий момент в произвольном сечении с координа-

тами x и y:

M(x) = Fcry − Rx.

3. Подставив полученное выражение изгибающего момента в диффе-

ренциальное уравнение (11.1), получим

y′′(x) = − M (x) = − Fcr y(x) + Rx .

Введя обозначение α2= Fcr/EI, представим дифференциальное урав-

нение в канонической форме

4. Полученное уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение складыва-

ется из двух частей: y(x) = y0 + yч, где y0 – общее решение соответствую-

щего однородного дифференциального уравнения; yч – частное решение уравнения (а), зависящее от его правой части.

Решение однородного уравнения известно из курса математики: y0 = C1cos αx + C2sin αx.

Частное решение уравнения (а) представим в виде полинома первой степени и убедимся, что принятое решение удовлетворяет уравнению

(а).

465

5. Уравнение (б) кроме произвольных постоянных C1 и C2 содержит неизвестную величину реакции R. Для их определения используем гра-

ничные условия по концам сжато-изогнутого стержня:

Условия 2 и 3 содержат три неизвестных величины: C2, R и β. Для уменьшения числа неизвестных воспользуемся следующим. Как видно из рис. 11.8, д, изгибающий момент M в нижнем сечении стойки можно определить двояко:

∙как реакцию в упругой опоре M = β r11 = β 6EI/l;

∙как изгибающий момент в сечении M = ∑ M AВЕРХ = Rl.

Сравнив эти выражения, найдем β = Rl2/6EI.

Подставив полученное выражение для угла β в условие 3, введя обо-

значения критического параметра ν = αl и выполнив несложные преоб-

разования, запишем условия 2 и 3 в виде системы уравнений:

2

С2 sin ν+ R ν2lEI = 0,

6. Полученная система однородных уравнений, как известно, имеет два решения: первое, когда неизвестные C2 = 0 и R= 0, и нас не интере-

сующее, и второе, когда C2 ≠ 0 и R ≠ 0. Во втором случае должен рав-

няться нулю определитель, составленный из коэффициентов при неиз-

вестных C2 и R, т.е.:

466

Раскрыв определитель (г), получим уравнение устойчивости относи-

тельно критического параметра ν:

Решение уравнения (д) производится либо специальным программам,

либо методом подбора по таблицам специальных функций приложения

5. Для осуществления подбора полезно определить границы поиска. Для данной расчётной схемы определяющим при определении границ поиска является угол поворота β.

При потере устойчивости рассматриваемой расчётной схемы воз-

можны два предельных состояния:

β→ 0, что соответствует четвертой схеме в табл. 11.1, когда ν = 4,493;

β→ ∞, что соответствует второй схеме в табл. 11.1, когда ν = π.

Следовательно, значение критического параметра следует искать в пределах π < ν < 4,493. Искомая величина критического параметра ν=

3,973.

7. Величина критической силы согласно (11.3)

Fcr = 3,9732EI/l2 = 15,785EI/l2.

Расчётная длина стержня согласно (11.6) l0 = (π/3,973)l = 0,791l.

467

11.3. Применение метода перемещений к расчёту устойчивости плоских рам

11.3.1. Общие принципы использования метода

Метод перемещений получил широкое распространение при расчёте строительных конструкций. Это объясняется тем, что для большинства расчётных схем (особенно рам) получить кинематически определимую основную систему значительно проще, чем статически определимую.

Кроме того, метод перемещений удобен с точки зрения наглядности по-

лучения деформированных схем рассчитываемой конструкции. Особен-

но существенны эти преимущества при расчётах на устойчивость.

Основную систему метода перемещений при расчёте на устойчивость получают точно также как и при расчёте на прочность. Но реакции в до-

полнительных связях определяются уже с учётом продольного изгиба по

деформированной схеме.

Согласно принятым допущениям (см. подразд. 11.1) в стержнях ра-

мы, загруженной узловой нагрузкой, вплоть до момента потери устой-

чивости имеют место только продольные усилия. В этом случае, в силу особенности основной системы метода перемещений, свободные члены системы канонических уравнений равны нулю, и сама система уравне-

ний становится однородной:

rn1Z1 + rn2Z2 + …+ rniZi +…+ rnnZn = 0.

Однородная система уравнений (11.7) имеет, как известно, два реше-

ния:

468

1. Все неизвестные Zi = 0 (i = 1…. n). Это свидетельствует о том, что нагрузка ещё не достигла критического значения, и рама находится в со-

стоянии первоначального устойчивого равновесия.

2. Все неизвестные Zi ≠ 0 (i = 1…. n). В этом случае должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений:

Выражение (11.8) является уравнением устойчивости в общем виде при расчете на основе метода перемещений. Раскрывая определитель,

получим уравнение устойчивости в развёрнутом виде, служащее для оп-

ределения критических параметров, через которые выражена критиче-

ская нагрузка.

Для определения реакций в дополнительных связях от принудитель-

ных единичных смещений связей в основной системе метода перемеще-

ний необходимо учесть влияние продольных сил в центрально сжатых стержнях. Эта задача решается методом непосредственного интегриро-

вания дифференциального уравнения изогнутой оси стержня.

Рассмотрим прямолинейный стержень AB (рис.11.9, а), жёстко за-

щемлённый нижним концом и шарнирно опёртый верхним. Определим опорные реакции в этом стержне, вызванные единичным углом поворота его защемления (рис. 11.9, б). Равновесное состояние стержня при таком воздействии показано на рис. 11.9, в.

По полученному для данного стержня равновесному состоянию оп-

ределим изгибающий момент в произвольном сечении с координатами x

и y:

M(x) = Fy + Rx.

469

Подставив полученное выражение изгибающего момента в диффе-

ренциальное уравнение (11.1), получим

y′′(x) = − M (x) = − Fy(x) − Rx .

Введя обозначение α2= F/EI, представим дифференциальное уравне-

ние в канонической форме

y ′′( x ) + α 2 y ( x ) = − R x . E I

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго

порядка, получение решение которого было приведено в примере 11.3:

Выражение (16.8) удобно представить в виде, подобно используемо-

му при решении задач прочности (см. п. 2 приложения 1). Для этого вве-

дём обозначение

470