Текст
.pdfСравнивая выражения (9.10) и (9.11) можно сделать вывод, что расчет по предельному состоянию приводит к значительному повышению гру-
зоподъемности конструкции.
Теперь рассмотрим случай чистого изгиба (рис. 9.3, а) для стержня с симметричным сечением относительно вертикальной оси y (рис. 9.3, б).
Нейтральная ось стержня z0 при упругой стадии работы материала про-
ходит через центр тяжести сечения, а эпюра нормальных напряжений
(рис. 9.3, в) имеет нулевое значение на уровне нейтральной оси. При увеличении внешнего момента в какой-то момент времени напряжения в крайнем волокне, наиболее удаленного от нейтральной оси ( в рассмат-
риваемом случае – сжатого) достигают предела текучести σy=Rn (рис. 9.3, г). При дальнейшем увеличении пластические деформации развива-
ются вглубь сжатой зоны и появляются в крайних волокнах растянутой зоны (рис. 9.3, д). При этом нейтральная ось сечения смещается вниз,
так как ее положение определяется условием равновесия равнодейст-
вующих нормальных напряжений в сжатой и растянутой зонах сечения.
Часть сечения высотой h0, все еще находящаяся в упругой стадии рабо-
ты, носит название упругого ядра. Когда же при дальнейшем увеличе-
нии внешнего момента до некоторого предельного значения M = Mu пла-
стические деформации распространятся по всему сечению, а нормаль-
ные напряжения повсеместно достигнут значений σy=Rn (рис. 9.3, д),
нейтральная ось займет положение, при котором сечение делится на две равновеликие по площади части Ac = Aр. При напряжениях во всех точ-
ках сечения, равных Rn, статически определимая балка (см. рис. 9.3, а)
становится геометрически изменяемой, если в таком состоянии окажется хотя бы одно ее сечение, так как в этом сечении образуется так называе-
мый пластический шарнир. Это состояние и является предельным для рассмотренной балки.
Предельный изгибающий момент определяется как равнодействую-
щий момент всех элементарных сил относительно оси z:
371
Mu = ∫ Rn y1dA + ∫ Rn y2dA = Rn (Sр + Sс ) = RnWpl , |
(9.12) |
||
Aр |
Aс |
|
|
где Sp, Sc – статические моменты, |
соответственно, растянутой и сжатой |
||
зон сечения относительно оси |
z; |
Wpl – пластический момент сопротив- |
|
ления сечения. |
|
|
|
Выражение (9.12) определяет несущую способность сечения при чис-
том изгибе. Пластический момент сопротивления можно выразить через
упругий момент сопротивления сечения W: |
|
Wpl = α W. |
(9.13) |
Коэффициет α зависит от формы поперечного сечения: например, для
круга α = 1.7; для прямоугольника – 1,5; для тонкостенного кольца –
1,27; для кольца с отношением d/D = 0,5 – 1,57; для двутавра – 1,15.
В общем случае изгиба, когда в рассматриваемом сечении действуют также поперечная и продольная силы предельный изгибающий момент
определяется выражением: |
|
Mu = ηRnWpl, |
(9.14) |
где η – коэффициент, учитывающий влияние продольных и поперечных сил на несущую способность сечения при изгибе; он зависит от формы поперечного сечения и от соотношения между пределами текучести при сжатии и растяжении. Если продольная и поперечная силы в сечении пренебрежительно малы, пределы текучести на сжатие и растяжение одинаковы, то η =1.
9.3.Методы определения предельной нагрузки для статически неопределимых систем
Если расчетная схема является статически неопределимой, потеря не-
сущей способности одного или нескольких сечений не означает потерю несущей способности всей конструкции.
372
При последовательном появлении пластических шарниров степень статической неопределимости каждый раз уменьшается на единицу, по-
ка расчетная схема не станет статически определимой, а затем обратится в механизм. Если степень статической неопределимости расчетной схе-
мы равна nc, ее предельное равновесие будет иметь место, когда в пре-
дельном состоянии будут находиться nc +1 сечений. В то же время не исключена возможность разрушения при выходе из строя меньшего числа связей. Такое разрушение носит название частичного, в отличии от полного. На рис. 9. 4, а – г приведены примеры частичного и полного разрушения неразрезной балки.
Расчет конструкций методом предельного равновесия предполагает решение одной из двух задач: определение предельной нагрузки при из-
вестной несущей способности сечений элементов конструкции либо подбор сечений по предельной нагрузке, за которую принимается задан-
ная расчетная нагрузка.
При определении предельной нагрузки используют прямой, статиче-
ский и кинематический методы ее определения.
Прямой метод состоит в последовательном расчете ряда упругих систем, получаемых из заданной путем последовательного исключения тех связей, которые переходят в пластическое состояние. В начале за-
данная система рассчитывается на действующую нагрузку, по результа-
там чего определяются наиболее напряженные сечения. Далее произво-
дится расчет упругой системы, полученной из заданной введением пла-
стического шарнира с приложенным предельным усилием. Выявляется следующее наиболее напряженное сечение, и расчет повторяется для новой упругой системы, имеющей уже два пластических шарнира, и т.д.
до превращения заданной расчетной схемы в механизм.
Статический метод основан на статической теореме: нагрузка, со-
ответствующая статически возможному состоянию системы, мень-
ше, чем предельная нагрузка. Сложностью этого метода является необ-
373
ходимость выявления того равновесного распределения усилий в рас-
сматриваемой системе, которое соответствует состоянию ее предельного равновесия. Для любой статически неопределимой системы таких со-
стояний может быть много. Поэтому максимальная предельная нагрузка,
соответствующая одному из рассматриваемых состояний системы, дает,
как правило, лишь нижнюю оценку истинной предельной нагрузки В основу кинематического метода положена кинематическая теоре-
ма: нагрузка, соответствующая кинематически возможному состоя-
нию системы, больше, чем предельная нагрузка. При реализации этого метода выявляются возможные схемы разрушения системы в предполо-
жении, что в пластичное состояние переходит такое число связей,
сколько необходимо для превращения ее в механизм. Для каждой схемы разрушения из условий ее равновесия или на основе принципа возмож-
ных перемещений определяется предельная нагрузка. Минимальное из найденных значений предельных нагрузок будет нижней оценкой ис-
тинной предельной нагрузки.
9.4. Предельные состояния статически неопределимых систем
Однопролетные балки являются наиболее простыми расчетными схемами, где достаточно просто определить сечения, в которых могут появиться пластические шарниры. Покажем это на нескольких приме-
рах.
Пример 9.1. Требуется определить предельную нагрузку для балки,
загруженной сосредоточенной силой в середине пролета (рис. 9.5, а).
Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc = 1. Сле-
довательно, балка превратится в механизм при появлении двух пласти-
ческих шарниров. На основании эпюры MF (см. рис. 9.5, а), полученной при условии упругой работы материала, можно сделать вывод: пласти-
374
ческие шарниры появятся в опорной заделке A и в точке С приложения силы F.
2. Покажем схему разрушения балки и соответствующую ей эпюру
MF,u (рис. 9.5, б). В момент предельного равновесия конструкции MA =
MC = Mu и
MC = Mu = Fu l/4 – Mu/2 или 4Mu = Fu l – 2 Mu,
откуда Fu = 6 Mu / l = 6RnWpl /l .
Пример 9.2. Требуется определить предельную нагрузку для балки,
загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9.6, а).
Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc = 1. Сле-
довательно, балка превратится в механизм при появлении двух пласти-
ческих шарниров. На основании эпюры Mq (см. рис. 9.6, а), полученной при условии упругой работы материала, можно сделать вывод: пласти-
ческие шарниры появятся в опорной заделке A и в некоторой точке в пролете, расположенной на расстоянии х от опоры В.
2. Покажем схему разрушения балки и соответствующую ей эпюру
Mq,u (рис. 9.6, б).
3. Для определения предельной нагрузки используем статический ме-
тод. При данном загружении опорная реакция VB направлена вверх. По-
этому изгибающий момент в произвольном сечении с координатой x
будет:
M(x) = VB ·x – qx2/2. |
|
|
Из условия экстремума |
dM(x)/dx = 0 имеем, что x =VB /q и |
Mmax = |
(VB)2/2q. |
|
|
При условии, что Mmax |
не превышает предельного значения Mu име- |
|
ем: |
|
|
|
q ≥ (VB)2/2 Mu. |
(a) |
Изгибающий момент в заделке А равен MА = – VB ·l + 0,5ql2 . |
|
Из условия, что MА не может превышать предельного значения, т.е.
375
0,5ql2 – VB ·l ≤ Mu, получим
VB ≥ ql/2 – Mu/l.
Из совместного решения неравенств (а) и (б) получим:
q ³ (0, 5ql - Mu / l)2 .
2Mu
(б)
(в)
Согласно статической теореме предельная нагрузка больше всех на-
грузок, определяемых соотношением (в), из которого следует, что пре-
дельная нагрузка
qu ≥ 11,657 Mu/l2 . (г)
4. Теперь воспользуемся кинематическим методом. Для этого приме-
ним принцип возможных перемещений для механизма, показанного на рис. 9.6, б, на основании которого работа всех внешних сил на переме-
щениях, вызванных смещением пластического шарнира С:
T = - |
2M u × D |
- |
M u |
× D |
|
+ 0, 5q(l |
- x)D + 0, 5qxD = 0 , |
(д) |
|||
l - x |
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
2Mu |
× |
l + x |
. |
|
(е) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
(l - x)x |
|
|
Согласно кинематической теореме, предельная нагрузка не может больше определенной выражением (е). Из условия экстремума dq/dx = 0
получим уравнение x2 + 2lx – l2 = 0, откуда получим значение координа-
ты x, определяющей положение пластического шарнира C, или, что то же самое, при которой нагрузка принимает минимальное значение:
x = ( |
2 |
−1)l = 0, 414l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
q £ |
|
2 |
× |
Mu |
= 11, 657 |
M u |
. |
(ж) |
||||
|
|
|
l 2 |
|
|||||||||
( |
2 -1)2 |
||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
l 2 |
|
Два неравенства (г) и (ж) одновременно удовлетворяются , если qu = 11,657 Mu/l2 .
Следовательно это значение нагрузки и будет предельным.
376
Сравнивая результаты расчетов балки в упругой стадии (см. рис. 9.6,
а) и по предельному состоянию (см. рис. 9.6, б) видим, что положение пластического шарнира не совпадает с тем сечением, где возникает экс-
тремальный изгибающий момент при расчете в упругой стадии. Это происходит из-за перераспределения усилий в сечениях балки при воз-
никновении пластических деформаций.
Неразрезные балки (см. рис. 9.4) могут иметь частичные и полные формы разрушения. Возможной формой частичного разрушения являет-
ся превращение ее в механизм в пределах любого пролета при образова-
нии трех пластических шарниров, а в крайних пролетах при шарнирном опирании – двух пластических шарниров. Полное разрушение имеет ме-
сто, когда в механизмы превращаются все пролеты балки. С практиче-
ской точки зрения важно вывить несущую способность балки при раз-
рушении ее в пролете, находящемся в самых невыгодных условиях. Ал-
горитм расчета при этом точно такой же, как и в однопролетных балках.
При расчете балок постоянного по длине поперечного сечения обыч-
но выравнивают моменты в опасных сечениях в предельном состоянии.
Для этого определяют предельный изгибающий момент для поперечного сечения и строят эпюры несущих способностей. В данном случае это две линии, параллельные оси балки, расположенные сверху и снизу от нее на расстоянии Mu. В пределах этих двух линий вписывают эпюры изги-
бающих моментов от внешней нагрузки для каждого пролета, как для простых балок (рис. 9.7). Из соотношений предельных моментов и изги-
бающих моментов простых балок определяется предельная нагрузка для каждого пролета.
Если поперечное сечение неразрезной балки изменяется от пролета к пролету, отличия в расчете будут состоять в следующем: для каждого пролета определяется своя несущая способность; несущая способность опорных сечений принимается по наименьшему значению предельного изгибающего момента в примыкающих сечениях; ординаты балочных
377
эпюр изгибающих моментов в пределах каждого пролета «подвешива-
ются» от линии меньших предельных опорных моментов (рис. 9.8).
Рамы. Определение предельной нагрузки в данном случае является более сложной задачей из-за значительно большего числа кинематиче-
ски допустимых механизмов разрушения. Кроме того, в рамах не всегда удается установить точное расположение сечений, где могут появится пластические шарниры. В практических расчетах рам с учетом пласти-
ческих деформаций влиянием поперечных сил, как правило, пренебре-
гают, а влияние продольных сил учитывается лишь при расчетах по де-
формированной схеме. При таких допущениях расположение пластиче-
ских шарниров определяется по данным расчета в упругой стадии. По-
этому можно считать, опасные сечения будут располагаться в местах приложения внешних сосредоточенных сил и в узловых сечениях рас-
четной схемы.
При задании кинематически возможных механизмов разрушения сле-
дует помнить об одностороннем характере раскрытия пластических шарниров, поэтому исходя из этого они должны чередоваться: если ка-
кой-то шарнир в сечении раскрывается внутрь рамы, то следующий по обходу шарнир должен раскрываться наружу.
Пример 9.3. Требуется определить предельную нагрузку для двух-
шарнирной рамы постоянной жесткости (рис. 9.9, а).
Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc = 1. Сле-
довательно, рама превратится в механизм при появлении двух пластиче-
ских шарниров. На основании эпюры MF (см. рис. 9.9, б,), полученной при условии упругой работы материала, можно сделать вывод, что опас-
ными являются сечения 1, 2, 3. На рис. 9.9, в – д представлены меха-
низмы разрушения, в каждом из которых показано по два пластических шарнира. 1-я схема разрушения (см. рис. 9.9, в) кинематически невоз-
можна, так как характер раскрытия пластического шарнира в сечении 2
378
не соответствует направлению изгибающего момента в этом сечении по эпюре MF.
Для определения предельной нагрузки используем кинематический метод.
2. Рассмотрим 2-ю схему разрушения (см. рис. 9.9, г). Составим урав-
нение возможных работ:
F2u·0,5l·φ – 2 Mu·φ = 0, откуда F2u = 4Mu /l.
3. Рассмотрим 3-ю схему разрушения (см. рис. 9.9, д).Составим урав-
нение возможных работ:
F3u·0,5l·2φ – Mu·2φ – Mu·φ = 0, откуда F3u = 3Mu /l.
Предельной нагрузкой для рассматриваемой рамы является
Fu= min{ F2u; F3u} = 3Mu /l.
4. Проверим минимальное значение дельной нагрузки статическим методом. Для этого рассмотрим 3-ю схему в недеформированном со-
стоянии (рис. 9.9, е).
Составим уравнения равновесия:
∑M1низ = HA·0,5l – Mu = 0, откуда HA = 2 Mu / l;
∑M3низ = HB·l – Mu = 0, откуда HB = Mu / l;
∑ X = F3u – HA – HB= 0, откуда F3u = 3Mu /l.
Таким образом, кинематическое возможное состояние одновременно является и статически возможным. Из этого можно сделать вывод, что это состояние является действительным и предельная нагрузка Fu = 3Mu
/l.
Эпюра изгибающих моментов, соответствующая действительной схеме разрушения рамы, показана на рис. 9.9, ж.
379
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте кратко суть расчета по предельному состоянию.
2.Какие допущения вводятся в работу материала конструкции при использовании метода предельного равновесия?
3.Что понимают под пластическим шарниром при изгибе конструк-
ций?
4.Что понимают под предельной нагрузкой?
5. Какие способы определения предельной нагрузки вам известны?
380