Текст

Раздел III

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ СООРУЖЕНИЙ

Глава 10

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ

10.1. Общие положения

Динамика сооружений – часть строительной механики, рассматри-

вающая вопросы расчёта сооружений на динамические нагрузки.

Динамические нагрузки в отличие от статических изменяются по ве-

личине, направлению или положению в относительно малые промежут-

ки времени.

Различают следующие основные виды динамических нагрузок.

∙ вибрационная – нагрузка, значения которой изменяются периоди-

чески по определённому закону и может быть как прерывной, так и не-

прерывной;

∙ ударная (от удара в определённом месте сооружения) – нагрузка,

для которой характерно резкое изменение скорости ударяемого тела в короткий отрезок времени;

∙ подвижная – нагрузка, положение которой на сооружении меняет-

ся с достаточно большой скоростью;

∙ кратковременная (импульс) – нагрузка, характеризуемая практи-

чески мгновенным действием;

∙ сейсмическая нагрузка как результат беспорядочного движения почвы, толчков и ударов при землетрясениях.

381

Вызываемые динамическими нагрузками перемещения и деформации как самого сооружения, так и его элементов также будут изменяться во времени, т.е. совершать движения.

В широком смысле динамика является учением о движении твёрдых тел в зависимости от сил, к ним приложенных. В основе динамики лежат три основные закона, сформулированные И.Ньютоном (1686 г.)

Первый закон (закон инерции). Если на материальную точку не

действуют никакие силы, то она находится в покое, либо совершает

равномерное прямолинейное движение.

Свойство тела сохранять своё механическое состояние называют

инерцией (отсюда и название этого закона).

Второй закон (закон зависимости между силой и ускорением). Сила,

приложенная к материальной точке массой m, сообщает ей ускорение,

имеющее направление силы и величину, пропорциональную величине си-

лы.

Равенство (10.1) в силу его важности называют основным уравнением динамики. Из этого уравнения видно, что для сообщения одного и того же ускорения точке большей массы необходима большая сила. Следова-

тельно, масса точки есть мера её противодействия изменению скорости,

или, иначе, мера инерции.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Всякое

действие вызывает равное и противоположно направленное противо-

действие. Из раздела статики курса теоретической механики нам уже известен этот закон как аксиома о действии и противодействии.

Любое сооружение можно рассматривать как совокупность матери-

альных точек, т.е. как материальную систему. Для любой материальной системы всегда можно найти центр тяжести с координатами xC, yC, zC,

который одновременно является и центром инерции системы матери-

альных точек.

382

В курсе теоретической механики было доказано, что центр инерции материальной системы движется как материальная точка, масса ко-

торой равна массе всей системы и к которой приложены все дейст-

вующие на систему силы. Это положение называется законом движения центра инерции.

Этот закон позволяет во многих случаях заменить рассмотрение дви-

жения всей материальной системы движением её центра инерции.

На основании второго закона Ньютона (10.1) и закона движения цен-

тра инерции получают дифференциальные уравнения движения центра тяжести тела:

Итак, все точки материальной системы, каковой является расчётная схема, совершают движения, изменяющиеся во времени, т.е. характери-

зуются чередованием возрастания и убывания расстояний отдельных то-

чек системы от их положения в некоторый зафиксированный момент времени, а именно при отсутствии динамических нагрузок. Такие дви-

жения в технике называют колебаниями.

Различают два колебаний:

∙ свободные – колебания системы, выведенной из начального рав-

новесного состояния какимлибо начальным возмущением;

∙ вынужденные – колебания, вызванные внешней возмущающей силой и поддерживаемые ею в течение определённого отрезка времени.

Для получения уравнений движения масс в динамике сооружений применяются три основных метода.

Первый метод использует непосредственно дифференциальные уравнения движения (10.2), составленные для каждой массы системы.

Все массы системы при этом предполагаются освобождёнными от нало-

женных на них связей, действия которых на массы заменяются реакция-

ми этих связей.

383

Второй метод называется методом кинетостатики и основан на ис-

пользовании принципа Ж.Л.Даламбера.

Поясним сущность этого принципа применительно к материальной

В выражении (10.5) F представляет собой равнодействующую всех

сил. действующих на материальную точку, а силу J называют силой инерции, которая по модулю равна mÿ(t) и направлена в сторону, проти-

воположную ускорению ÿ(t) .

Формула (10.5) представляет собой принцип Даламбера для матери-

альной точки: при движении материальной точки в каждый момент времени действующие на неё активные силы, реакции наложенных на неё связей и силы инерции уравновешивают друг друга.

Принцип Даламбера легко распространить на систему материальных точек, т.е. на материальное тело и систему материальных тел.

Таким образом, согласно принципу Даламбера уравнение движения можно рассматривать как уравнение равновесия, что позволяет задачу динамики для каждого момента времени по форме решения свести к ста-

тической задаче.

Третий метод называется энергетическим. Он основан на законе со-

хранения механической энергии,

П р и м е ч а н и е. В связи с ограниченностью объема данного издания далее для

получения уравнений движения будем использовать только второй метод.

Поскольку динамический расчёт сооружений основывается на учёте инерционных сил, необходимо знать расположение масс в рассматри-

ваемом сооружении. С этой точки зрения в динамике сооружений два

384

основных типа расчётных схем: системы с распределённой массой и

системы с сосредоточенными массами.

В расчётных схемах с распределёнными массами наряду с геометри-

ческими характеристиками элементов необходимо знать законы распре-

деления масс по длинам элементов.

В расчётных схемах с сосредоточенными массами каждый элемент рассматривается как невесомый стержень с заданными геометрическими характеристиками и заданным точечным расположением масс.

Основным понятием динамики сооружений является степень свобо-

ды масс Wm, под которой понимают число независимых геометрических

параметров, определяющих положение масс в любой момент времени

В расчётных схемах с распределёнными массами имеется бесконеч-

ное число степеней свободы масс. В расчётных схемах с сосредоточен-

ными массами необходимо определить число их степеней свободы в на-

чале динамического расчёта.

В плоских стержневых расчётных схемах, рассматриваемых в на-

стоящей главе, при определении степени свободы сосредоточенных масс вводятся следующие допущения:

1. Сосредоточенная масса считается точечной, т.е. имеет на плоско-

сти две степени свободы, определяемые двумя линейными перемеще-

ниями; углом поворота сосредоточенной массы на плоскости пренебре-

гают.

2. Как и ранее считают, что продольными деформациями в изгибае-

мых стержнях и изменением их длины за счёт искривления при изгибе можно пренебречь.

Степень свободы невесомой балки с одной сосредоточенной массой

(рис. 10.1, а) Wm =1, так как положение массы определяется одним пе-

ремещением y1.

Степень свободы консольной балки с ломаной осью (рис. 10.1, б) и

двумя сосредоточенными массами m1 и m2 степень свободы равна трём,

385

так как масса m1 имеет два линейных смещения, а масса m2 – только од-

но, горизонтальное.

В консольной ферме (рис. 10.1, в) одна сосредоточенная масса за счёт продольных деформаций стержней фермы имеет две степени сво-

боды.

Для упрощения подсчёта степеней свободы сосредоточенных масс расчётной схемы удобно использовать следующий приём. По направле-

нию возможных перемещений сосредоточенных масс мысленно уста-

навливают линейные связи, препятствующие движению этих масс. Наи-

меньшее число линейных связей, позволяющее закрепить все сосредото-

ченные массы расчётной схемы, и будет определять число степеней сво-

боды.

Так, для рамы, изображённой на рис. 10.1, г, для закрепления пяти со-

средоточенных масс от возможных смещений необходимо поставить че-

тыре линейных связи. Следовательно, степень свободы масс данной рас-

чётной схемы

Wm= 4.

При выборе динамической расчётной схемы, т.е. при определении числа степеней свободы масс, необходимых для достоверного расчёта,

необходим анализ исходной информации о рассматриваемом сооруже-

нии.

Например, для сооружения башенного типа (рис. 10.2, а) часто доста-

точно представить расчётную схему в виде консольного стержня с то-

чечной массой, сосредоточенной на его конце. Из анализа динамическо-

го поведения многоэтажного здания башенного типа с учётом того, что суммарная масса перекрытий и покрытия намного превосходит массу стен, можно использовать расчётную схему консольного стержня с со-

средоточенными массами в уровне перекрытий здания (рис. 10.2, б).

Как правило, в большинстве инженерных расчётов действительная распределённая масса сооружения приводится к точечной.

386

∙ силы сопротивления окружающей среды, в которой происходят колебания.

Точно учесть все перечисленные факторы ввиду их разнообразия и неопределённости не представляется возможным, поэтому при их учете используют различные гипотезы, из которых наиболее распространен-

ной является гипотеза Кельвина-Фойгта. По этой гипотезе, называемой

гипотезой вязкого трения, диссипативная сила принимается пропор-

циональной скорости колебаний

Выделим массу со всеми действующими на неё силами и составим уравнение равновесия (сумму проекций на ось, параллельную движению

Выражение (10.11) называется дифференциальным уравнением дви-

жения точечной массы при свободных колебаниях.

С в о б о д н ы е н е з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я Во многих инженерных расчетах силами неупругого сопротивления

пренебрегают. Тогда в выражении (10.11) величина 2k = 0 и само диф-

ференциальное уравнение движения принимает вид

388

Решение однородного дифференциального уравнения (10.12) извест-

но из курса высшей математики и имеет вид

Скорость колебаний массы m определяется первой производной по

времени от полученного уравнения движения (10.13):

чальная скорость колебаний). Подставив принятые начальные условия в

(10.13) и (10.14), получим A = 0, B = v0/ω, а уравнение движения (10.13)

примет вид

Из (10.15) следует, что при отсутствии диссипативных сил масса m

будет совершать простые гармонические незатухающие колебания.

График этой функции показан на рис. 10.4. Из графика видно, что наи-

большие отклонения массы от первоначального положения равны по-

стоянной величине a = ν0/ω, называемой амплитудой колебаний. Удво-

енная амплитуда называется размахом колебаний.

Время T в секундах, за которое масса совершает полный цикл коле-

баний, называется периодом колебаний. Из графика видно, что

T = 2π/ω. (10.16)

Число полных колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Из (10.16) получаем ω=2π/T (c-1) – число колебаний за время,

равное 2π секунд. Поэтому эту величину называют круговой частотой

колебаний.

Круговая частота на основании обозначения (15.10) с учётом (15.7)

может быть определена по формуле

389

Число колебаний в одну секунду, измеряемое в Гц (герцах), можно выразить через круговую частоту или период колебаний:

В инженерной практике нередко используют техническую частоту

колебаний – число колебаний в минуту, которую можно выразить через круговую частоту или период колебаний:

Выражения (10.16)…(10.19) определяют параметры колебаний, ос-

новными из которых являются круговая частота и период колебаний.

С в о б о д н ы е з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я

График, приведённый на рис. 10.4, показывает, что невесомый стер-

жень с одной массой, начав колебаться, будет продолжать эти колебания неограниченное время без воздействия каких-либо сил. В действитель-

ности этого не происходит. Любая упругая система, выведенная из на-

чального состояния равновесия, поколебавшись, останавливается. При-

чиной этого является действия сил сопротивления S.

Если при рассмотрении свободных колебаний принять те же началь-

ные условия, т.е. при t = 0 y(t) = y0 = 0 и y&(t) = υ0 , то дифференциальное

уравнение движения (10.11) точечной массы, учитывающее влияние сил сопротивления будет иметь следующее решение

График функции (10.20) показан на рис. 10.5.

390