Текст
.pdf
|
|
Zi |
|
1 0 |
0 |
|||||
|
|
|
|
x |
|
0 |
1 |
0 |
||
Z |
|
= |
Zi |
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
g |
Z |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
j |
1 |
l |
l |
|
||
|
|
Z x |
0 |
1 2l |
|
|||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
f |
|
= A f. |
(8.40) |
|
l3 |
|
s |
1 |
|
3l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При расчете стержневых систем методом перемещений за положительные направления перемещений, как и ранее, приняты направления, показанные на рис. 8.3, т.е. когда и поперечные силы, и изгибающие моменты вращают стержень по часовой стрелке. Для установления такого правила знаков в вы-
бранной системе координат первое возможное перемещение следует в мат-
рице Zg следует принять отрицательным, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
1 |
0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
0 |
0 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
= A−1 |
|
|
|
= A−1 = |
|
|
|
. |
|
||||||||
Тогда |
f |
Z |
|
|
|
|
(8.41) |
||||||||||||
s |
1 |
|
|
g |
|
|
|
|
|
3 / l2 |
− 2 / l |
3/l2 |
−1/ l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ l2 − 2 / l3 |
1/ l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 / l3 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица реакций упругого основания согласно (8.34) имеет вид:
R0 g |
r(x) |
k0 |
0 |
|
= |
|
= b |
c0 |
|
|
t(x) |
0 |
− c0 |
|
|
w |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
dw / dx |
|
= k 0 1 |
|||
|
2 |
w / dx |
2 |
|
0 |
|
|
d |
|
0 |
x2 |
x3 |
|
|
|
3x2 |
|
= kL0fs . (8.42) |
2x |
fs |
||
2 |
6x |
|
|
|
|
Подставив матрицы A-1, B, C, L, L0 и k в выражения (8.19) и (8.20) и про-
интегрировав в пределах от 0 до l, получим искомые матрицы жесткости для рассматриваемого элемента, при чем матрицу rg0 удобно представить как сумму двух матриц rg0 = rg01 + rg02 , зависящих каждая от своего коэффициента постели:
331
|
|
|
6 / l 2 |
− 3 / l |
6 / l |
2 |
− 3 / l |
|
|
|
|
|
|
|
−3 / l |
|
2 − 3 / l |
|
1 |
|
; |
|
|
rэ = 2EI |
|
|
|
(8.43) |
|||||||
g |
l |
|
6 / l |
2 |
− 3 / l |
6 / l |
2 |
− 3 / l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
−3 / l |
|
1 − 3 / l |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156 − 22l |
|
|
− 54 |
13l |
|
|
|
|
|
||
|
|
k0bl |
|
−22l |
4l |
2 |
|
13l |
− 3l |
2 |
|
|
|
|
|||
r0 |
= |
|
|
|
|
|
|
; |
(8.44) |
||||||||
|
|
−54 |
13l |
|
|
156 |
− 22l |
|
|||||||||
g1 |
420 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 3l 2 |
|
− 22l |
4l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
13l |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
588 |
− 84l |
|
588 |
− 84l |
|
|
|||||
|
|
|
c0b |
|
|
−84l |
112l |
2 |
− 84l |
− 28l |
2 |
|
|
||||
r0 |
= |
|
|
|
|
. |
(8.45) |
||||||||||
|
|
588 |
− 84l |
|
588 |
− 84l |
|||||||||||
g 2 |
|
|
420l |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−84l |
− 28l2 |
− 84l |
112l2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КЭ с тремя степенями свободы (см. рис. 8.3, б). Для выражения проги-
бов КЭ принимается полином третьего порядка с тремя независимыми пара-
метрами fs, дающий точное решение дифференциального уравнения изогну-
той оси стержня при отсутствии упругого основания
|
f1 |
|
|
|
|
|
w(x) = 1 x |
x3 f |
2 |
|
= F(x)f |
. |
(8.46) |
|
|
|
s |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f3 |
|
|
|
|
На основании (8.1) матрицы - столбцы усилий и перемещений имеют вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Zg = |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sg = Qj |
|
; |
|
Z j |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.47) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M j |
|
|
|
|
|
Z |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По аналогии с предыдущим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 0 |
0 |
|
|
|
|
−1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||
A = |
1 l |
l3 |
|
; |
|
|
|
= |
0 1 |
|
0 |
; |
|
A−1 |
= |
|
3 / 2l |
|
3 / 2l |
− 0,5 |
|
; |
||||||||
Z |
g |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1/ 2l |
3 |
1/ 2l |
2 |
|
|
|||||
|
0 1 3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1/ 2l |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||
B = [0 0 6x]; |
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
L0 |
= |
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
L = |
|
|
3x2 |
; |
0 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
332
Подставив матрицы A-1, B, C, L, L0 и k в выражения (8.19) и (8.20) и про-
интегрировав в пределах от 0 до l, получим искомые матрицы жесткости для рассматриваемого элемента. Матрицу rg0 удобно представить как сумму двух
матриц rg0 = rg01 + rg02 , зависящих каждая от своего коэффициента постели:
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ l2 |
|
1/ l2 |
−1/ l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
rgэ = |
3EI |
1/ l2 |
|
1/ l2 |
−1/ l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
(8.48) |
|||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1/ l |
−1/ l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
198 |
|
−117 |
33l |
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
− 2l |
|
|
||||
r0 = |
k0bl |
−117 |
|
408 − 72l |
|
; |
r0 = |
c0b |
|
7 |
7 |
− 2l |
. |
(8.49) |
|||||||
|
|
|
|
(8.50) |
|||||||||||||||||
g1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
840 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5l |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
33l |
|
− 72l |
16l |
2 |
|
|
|
− 2l |
2l |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2l |
|
|
|
8.3.3. Выбор рационального размера конечного элемента
Для определения размеров конечных элементов, при которых приближен-
ное решение МКЭ наиболее близко к точному значения матриц жесткости с точным решением, например, для упругого винклеровского основания с од-
ним постоянным коэффициентом постели.
Так как элементами матриц жесткости являются реакции по концам эле-
мента от единичных смещений и углов поворота этих концов, то дифферен-
циальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид:
dw4 |
+ 4α4 w = 0, |
(8.51) |
|
dx4 |
|||
|
|
где α4 = k0b − линейная характеристика балки на упругом основании, EI –
4EI
жесткость балки.
Точное решение дифференциального уравнения (8.51) имеет вид:
w = a1 sin αx ×sh αx + a2 sin αx ×ch αx + a3 cos αx ×sh αx + a4 cos αx ×ch αx. (8.52)
Используя известные дифференциальные зависимости меду усилиями и деформациями при изгибе и учитывая граничные условия рассматриваемого конечного элемента, на основании решения (8.52) можно получить значения реакций по его концам от каждого возможного перемещения. Из сопоставле-
333
ния точного решения и значений элементов матриц жесткости, полученных с помощью выше приведенных полиномов, рекомендуется назначать длину отдельных элементов из условия:
0, 7 ≤ αl ≤ 1, 5. |
(8.53) |
8.3.4. Учет односторонней связи с основанием
Согласно принятым знакам узловых перемещений (см. рис. 8.3) при де-
формации оси конечного элемента с четырьмя степенями свободы упругое
основание включается в работу (рис. 8.4) только при Zi < 0; Zix > 0; Z j > 0;
Z jx < 0, |
а для элемента с тремя степенями свободы (рис. 8.5) – при |
Zi < 0; |
||||||||||
Z j > 0; |
Z jx < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, матрицы единичных функций согласно (8.21) будут иметь вид: |
||||||||||||
|
|
h |
j |
0 |
0 0 |
|
|
hj |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h = 0 hi |
0 0 |
|
; h = |
0 |
h 0 |
. |
(8.54) |
||||
|
g |
0 |
|
0 |
h 0 |
|
g |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
0 |
0 |
h |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 hj |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее учет односторонней связи конструкции с основанием производится на основании подразд. 8.2.2. При этом последовательность расчета, записан-
ная в виде единого алгоритма будет иметь вид:
–без учета односторонней связи
|
m |
|
|
Sg |
= S0g − rg ag [∑aтg rg ag ]−1 R; |
(8.55) |
|
|
1 |
|
|
– с учетом односторонней связи |
|
|
|
Sg = S0g − (rgэ |
m |
m1 |
|
+ rg0hg )ag [∑aтg rgэag |
+ ∑aтg rg0hg ag ]−1 R. |
(8.56) |
|
|
1 |
1 |
|
334
Пример 8.1. Требуется рассчитать раму, рассмотренную в примерах 6.4 (см. рис. 6.12, а) и 6.11 методом конечных элементов.
Решение. 1. Составим исходные матрицы для расчета.
– Матрицы жесткости согласно нумерации конечных элементов в основ-
ной системе (рис. 8.6, а) и на основании (8.43) и (8.48) имеют вид:
|
|
|
0, 24 |
− 0, 6 |
0, 24 |
− 0, 6 |
|
|
|
|
|
|
1/ 36 |
1/ 36 |
−1/ 6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r = |
EI |
−0, 6 |
2 |
− 0, 6 |
|
1 |
|
|
; |
r = |
EI |
|
1/ 36 |
1/36 |
−1/ 6 |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
|
0, 24 |
− 0, 6 |
0, 24 |
− 0, 6 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−1/ 6 |
−1/ 6 |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
− 0, 6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−0, 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 9 |
1/ 9 |
|
−1/ 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r = |
|
EI |
|
1/ 9 |
1/9 |
|
|
−1/ 3 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
−1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−1/ 3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– В матрицах преобразования деформаций в отличие от матричной формы расчета элементами являются задаваемые во вспомогательных состояниях
(рис. 8.6, б и в) угловые и линейные смещения узлов. На основании порядка записи узловых перемещений (8.36) и (8.37) они имеют вид:
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a = 0 |
0 |
|
; a = 0 − 0, 75 |
; |
a = 0 |
0 . |
|||||
1 |
0 |
1, 25 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– Матрицы усилий в основной системе согласно порядка записи (см. 8.36
и 8.37) составляем на основании эпюр |
M 0 |
и Q0 |
(рис. 8.6, г и д): |
|||
|
|
|
|
F |
F |
|
|
0 |
|
|
−18 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
S0 = 0 |
; S0 = |
30 |
; S0 = 0 . |
|||
1 |
0 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−36 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
– Матрица свободных членов согласно примеру 6.11:
|
−36 |
R = |
. |
|
−62,5 |
2. Произведем матричные операции.
335
– Вычисляем матрицу коэффициентов при неизвестных на основании
(8.24) и из решения системы уравнений (8.27) определяем неизвестные:
K = a1тr1a1 + a2тr2a2 + a3тr3a3 |
= |
EI |
3 |
- 0, 625 |
; K −1 |
= |
2 0, 45 |
0, 561 |
; |
||
|
|
-0, 625 |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
0,502 |
|
|
EI 0,561 |
2, 692 |
|
Z |
|
|
|
51, 252 |
рад |
|
Z = |
1 |
|
= -K −1R = |
|
м |
. |
Z2 |
188, 411 |
|
– Определяем усилия в каждом КЭ на основании (8.29):
|
|
|
|
|
|
|
25, 772 |
|
|
|
|
|
|
-30, 467 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S = S0 + r a Z = |
-90, 056 |
; |
S = S0 |
+ r a Z = |
17,533 |
|
; |
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
25, 772 |
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,804 |
|
|
|
|
|
|
-38,804 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20,935 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
3 |
= S0 |
+ r a |
Z = |
20,935 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-62,804 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. На основании полученных матриц усилий строим эпюры M F и QF для заданной расчетной схемы (рис. 8.7, а и б).
Пример 8.2. Требуется рассчитать балку, свободно лежащую на упругом основании (рис. 8.8, а) с коэффициентом постели k0 = 32000 кН/м3; ширина подошвы балки b = 1,25 м; жесткость EI = 2,56·106 кН·м2.
Решение. 1. Определим рациональный размер конечных элементов.
Линейная характеристика балки α = 4 |
|
k0b |
|
= 4 |
|
32000 ×1, 25 |
|
= 0, 25 м |
-1 |
. |
4EI |
|
4 × 2,56 ×106 |
|
|
Принимаем размер конечных элементов l = 4,0 м. Тогда согласно (8.53)
величина αl = 0,25·4 = 1 находится в допустимых пределах. Разбив балку по длине на 5 элементов, и поставив в узлы дополнительные связи, получаем основную систему метода перемещений (рис. 8.8, б).
2. Составим исходные матрицы.
– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства балки, согласно нумерации конечных элементов в основной системе (рис. 8.8, а) и на основа-
нии (8.43) и (8.48) имеют вид:
336
|
|
|
12 |
12 |
− 48 |
|
|
|
|
|
|
48 |
− 96 |
48 |
− 96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rэ = rэ = 104 |
12 |
12 |
− 48 |
|
; |
rэ = rэ = rэ = 104 −96 |
256 |
− 96 |
128 |
. |
||||||
1 |
5 |
|
|
− 48 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
48 |
− 96 |
48 |
− 96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−48 |
192 |
|
|
|
|
−96 |
128 − 96 |
256 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства основания по вы-
ражениям (8.44) и (8.49) имеют вид:
|
|
|
3, 771 − 2, |
229 |
2,514 |
|
|
|
r0 |
= r0 |
= 104 −2, 229 |
7, |
771 |
− 5, 486 |
|
; |
|
1 |
5 |
|
|
− 5, 486 |
|
|
|
|
|
|
|
2,514 |
4,876 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,943 |
− 3,352 |
− 2, 057 |
1,981 |
|
r0 |
= r0 |
= r0 |
−3,352 |
2,438 |
1,981 |
−1,829 |
|
|
= 104 |
|
|
|
|
. |
|||
2 |
3 |
4 |
−2, 057 |
1,981 |
5,973 |
− 3,352 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1,981 |
−1,829 |
− 3,352 |
2,438 |
|
|
|
|
|
|
– Матрицы преобразования деформаций строим от последовательного смещения по направлению указанных в основной системе неизвестных. За положительные направления примем: для линейных смещений – в сторону упругого основания; для угловых – по часовой стрелке. На основании по-
рядка записи узловых перемещений (8.36) и (8.37) матрицы имеют вид имеют вид:
|
|
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
|
0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 |
|||
|
|
|
|
|
|||
a = |
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ; a |
2 |
= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ; |
||||
1 |
|
|
|
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 |
|
0 |
0 0 0 1 0 0 0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 |
|
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
= 0 0 0 |
0 1 0 0 0 0 0 ; a |
4 |
= 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ; |
||
|
0 0 0 |
0 0 1 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
0 0 0 1 0 0 0 |
|
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 |
|
|
0 0 0 0 0 0 0 |
0 0 1 |
|
a |
5 |
= 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 0 0 0 |
0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
–Матрицы усилий в основной системе согласно порядка записи (см. 8.36
и8.37) составляем на основании эпюр M F0 и QF0 (рис. 8.8, в и г):
337
|
|
0 |
|
|
91,875 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
= S0 |
= 0 |
; S0 |
= −64,583 ; |
S0 |
= S0 |
= |
−26.667 |
|
||
1 |
5 |
|
2 |
−48,125 |
|
3 |
4 |
|
−40 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26, 667 |
||||
|
|
|
|
|
37, 083 |
|
|
|
|
– Элементы матрицы свободных членов определим из равновесия узлов ос-
новной системы:
|
0 |
|
|
|
−91,875 |
|
|
|
−64,583 |
|
|
|
|
||
|
−88,125 |
|
|
|
|
||
|
10, 416 |
|
|
R = |
−230 |
. |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
||
−40 |
|||
|
|
||
|
26, 667 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
3. Подставив составленные матрицы в алгоритм (8.55) и реализуя его на ЭВМ, получим матрицу неизвестных метода перемещений и матрицы усилий для каждого элемента:
|
|
|
−0,911 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, 793 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31, 697 |
|
|
|
3,313 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,345 рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
S = |
31, 697 |
; |
S |
2 |
= |
32,9 |
|
; S |
3 |
= |
21,518 ; |
|||||||||
|
|
|
8, 677 м |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,313 |
|
|
79, 042 |
|||||
|
|
|
|
|
|
−32,9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−4 |
|
0, 709 рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−21,518 |
|
|
−177, 271 |
|||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
−70,958 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
10,008 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
−0, 444 рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
4 |
= 177, 271 |
; |
S |
5 |
= −24, 755 . |
|
||||||||
|
|
|
4,919 м |
|
|
|
|
|
−24, 755 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, 689 рад |
|
|
|
|
−13,574 |
|
|
|
|
13,574 |
|
||||||||
|
|
−1,822 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Определим усилия в сечении k второго КЭ в точке приложения силы F
=100 кН .
Для этого определим приближенную функцию прогибов по значениям
концевых перемещений элемента Z2, Z3, Z4 и Z5:
338
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
−1 Z3 |
|
−4 |
|
2 |
3 |
|
|||||
w = 1 x |
x |
|
x |
|
A1 |
Z |
4 |
|
= 10 |
|
(4, 793 +1,345x - 0,1215x |
|
+ 0, 007x |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда реакция упругого основания будет определяться выражением r(x) = k0·b·w = 19,172 +5,38x– 0,486 x2 + 0,028x3.
Далее рассмотрим равновесие КЭ, приложив все найденные значения уз-
ловых сил и внешнюю нагрузку (рис. 8.9), откуда
M k = ∑ M kлев |
1 |
||
= 32,9 + 31, 697 ×1+ ∫ r(x)(1- x)dx = 75, 041 кН×м; |
|||
|
|
|
0 |
Qkлев = ∑Qkлев |
1 |
||
= 31, 697 + ∫ r(x)dx = 53, 404 кН; |
|||
|
|
|
0 |
Qправ = Qлев -100 = -46,596 кН; |
|||
k |
|
k |
|
w = w |
|
= 6, 024 ×10−4 м = 0,602 мм. |
|
|
|||
k |
|
x=1 |
|
|
|
5. На основании полученных данных построим эпюры осадок w и усилий
MF, QF (рис. 8.10, а – |
в). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Произведем учет |
односторонней связи |
|
балки с упругим основанием. |
||||||||||
Для этого по знакам элементов матрицы Z и согласно (8.54) составим матри- |
|||||||||||||
цы единичных функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 0 0 |
|
|
1 0 0 0 |
|
1 0 0 0 |
|
1 0 0 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h = h = 0 1 0 |
; h = 0 1 0 0 |
; h = |
0 1 0 0 |
; h = 0 0 0 0 . |
|||||||||
1 |
5 |
|
|
|
2 |
0 0 1 0 |
3 |
0 0 1 0 |
4 |
0 0 1 0 |
|||
|
|
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 |
|
0 0 0 1 |
|
0 0 0 0 |
7.Подставив исходные и вновь составленные матрицы в алгоритм (8.56)
иреализуя его на ЭВМ, получим матрицу неизвестных метода перемещений
иматрицы усилий для каждого элемента при условии односторонней связи с основанием:
339
|
|
|
-4, 454 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,534 м |
|
|
|
|
|
|
|
35,335 |
|
|
|
3,899 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,833 рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
35,335 ; S2 = |
|
50,89 |
|
|
|
= |
|
39,144 |
|
|||||
|
|
|
|
S1 |
|
; S3 |
; |
|||||||||||
|
|
|
8, 782 м |
|
|
|
|
|
|
|
3,899 |
|
|
|
84, 797 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
-50,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
0,909 рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z = 10 |
|
|
|
|
|
|
-39,144 |
|
|
|
-206,925 |
|
||||||
|
|
|
; |
|
|
|
-65, 203 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
10, 295 м |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
-0,585 рад |
|
|
|
|
|
206,925 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S4 = |
|
|
; S5 = |
|
-34,853 . |
|
||||||
|
|
|
3, 485 м |
|
|
|
|
|
-34,853 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2, 436 рад |
|
|
|
-50,195 |
|
|
|
50,195 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
-6,907 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. По аналогии с п.4:
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
−1 Z3 |
−4 |
|
|
2 |
3 |
|
|||
w = 1 |
|
x x |
|
x |
|
A1 Z |
= 10 |
|
(3,534 |
+1,833x - 0,15975x |
|
+ 0, 007375x |
). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
|
|
|
|
|
|
|
r(x) = k0·b·w = 14,136 +7,332– 0,639 x2 + 0,0295x3. |
|
|
|
||||||||||||
M k = ∑ M kлев |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
= 50,89 + 35,335 ×1+ ∫ r(x)(1- x)dx = 94, 463 кН×м; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Qkлев = ∑Qkлев |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
= 35,535 + ∫ r(x)dx = 52,931 кН; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Qправ = Qлев |
-100 = -47, 069 кН; |
|
|
|
|
||||||||||
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = w |
|
= 5, 215 ×10−4 |
м = 0,522 мм. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
k |
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Эпюры осадок w и усилий MF, QF (см. рис. 8.10, а – в) при односторон-
ней связи с основанием показаны пунктирными линиями, а значения ординат даны в скобках.
Так как знаки перемещений при перерасчете не изменились, т нового пе-
рерасчета не требуется.
Как видно из сопоставления эпюр перемещений и усилий (см. рис. 8.10),
учет односторонней связи балки с основанием существенно влияет на ее на-
пряженно – деформированное состояние.
340