Текст

Общий подход к прочностным расчетам в МКЭ не зависит от типа конст-

рукции, и разница заключается лишь в применяемых типах конечных эле-

ментов (КЭ): стержневых, плоских, криволинейных пространственных и объ-

емных.

Стержневые КЭ могут быть плоскими и пространственными, работать только на растяжение-сжатие, на изгиб и кручение.

Плоские КЭ могут деформироваться в своей плоскости (плоская задача теории упругости) или из плоскости (изгиб пластин).

Плоские и криволинейные оболочечные КЭ отражают два вида деформа-

ции: в плоскости элемента и из плоскости.

Объемные КЭ в виде пирамид, призм, параллелепипедов применяют в расчетах объемных тел, таких, как плотины, мостовые опоры, массивы грун-

та.

В зависимости от того, какие требования предъявляют к описанию напря-

женно-деформированного состояния КЭ, определяется порядок его матрицы жесткости. Различие в расчете на прочность стержневых и континуальных систем состоит в том, что матрицы жесткости для континуальных систем, от-

ражающие их упругие свойства, будут приближенными.

В настоящее время МКЭ дается более широкая трактовка. Он рассматри-

вается как один из приближенных методов решения задач математической физики. В случае выполнения условий совместности деформаций не только в пределах отдельны КЭ, но и на границах их сопряжений, МКЭ трактуется как метод Ритца. Различие между традиционной формой применения метода Ритца и МКЭ заключается в выборе систем координатных функций. В то время как в методе Ритца координатные функции задаются для всей рассмат-

риваемой конструкции, в МКЭ они задаются лишь для отдельных конечных элементов. В методе Ритца выражение энергии варьируют по неопределен-

ным параметрам, имеющимся в каждом члене ряда, в МКЭ – по перемещени-

ям в местах стыков отдельны КЭ, что приводит к алгебраическим уравнени-

ям метода перемещений.

321

При использовании МКЭ основным является вопрос о сходимости реше-

ния к точному, а также вопрос оценки точности полученных результатов.

Наиболее распространенным способом оценки точности получаемого реше-

ния является поэтапное уменьшение размеров конечных элементов. Наряду с этим уточнение результатов может быть получено не за счет уменьшения размеров КЭ, а путем усложнения аппроксимирующих функций и увеличе-

ния числа свободы отдельного элемента, что приводит к значительному ус-

ложнению расчета.

8.2. Общие принципы расчета на действие внешней нагрузки

8.2.1. Матрица жесткости произвольного конечного элемента

Рассмотрим произвольную, в общем случае континуальную, систему, ко-

торая имеет произвольные граничные условия и подвергается воздействию произвольной нагрузки. Согласно принципам МКЭ построим дискретную расчетную схему, разбив заданную систему на конечные элементы, и задан-

ную нагрузку приведем к узловой.

Одновременно рассмотрим случай, когда часть КЭ дискретной расчетной схемы взаимодействует с упругой средой, например, с упругим основанием.

Из полученной расчетной схемы выделим какой-либо КЭ, имеющий s сте-

пеней свободы. Пусть этот элемент занимает какую-то подобласть Hэ в дис-

кретной расчетной схеме и взаимодействует подобластью H0 < Hэ с упругой средой. Для упрощения примем допущение о двусторонней связи КЭ с упру-

гой средой.

Узловые силы, действующие в узлах КЭ, выразим компонентами S1, S2, … Ss, а соответствующие им перемещения – компонентами Z1, Z2, … Zs. Ука-

занные силы и перемещения запишем в виде матриц-столбцов:

322

Пусть соответствующая функция, описывающая перемещения в пределах элемента выбрана в прямоугольной системе координат и в матричной форме имеет вид:

где fs – вектор независимых параметров, определяемых числом степеней сво-

боды элемента.

Параметры fs определяются из граничных условий. С этой целью состав-

ляются выражения перемещений для узловых точек элемента:

где матрица А строится простой подстановкой координат узлов в выражение перемещений (8.2). Она получается квадратной, так как число параметров fs

равно числу независимых компонентов перемещений.

Из (8.3) получим fs = A-1 Zg. (8.4)

Напряженное состояние элемента выразим через его деформации форму-

элемента; C – матрица бесконечно малого элемента, представляющая собой обобщенный закон Гука.

Из выражения (8.2) по известным зависимостям находим деформации, на-

Для вывода матрицы жесткости воспользуемся принципом возможных перемещений, к качестве которых примем единичные перемещения узлов конечного элемента Zg = E .

323

В силу принятого допущения о двусторонней связи конструкции с упру-

гой средой деформации поверхности последней в зоне контакта можно вы-

разить на основании (8.2):

Реакции упругой среды примем в виде:

R0g = kсZ01g, (8.11)

где kс – матрица жесткости бесконечно малого элемента упругой среды; Z01g–

дополнительная матрица перемещений поверхности упругой среды в зоне контакта с элементом. В общем случае, в зависимости от принятой модели,

реакции упругой среды могут зависеть не только от линейного смещения по-

верхности, но и от ее производных. Матрица Z01g отличается от ранее пока-

занной матрицы Z0g строками, учитывающими эти производные.

В матричной форме будет иметь вид:

Работа, совершаемая узловыми силами элемента на возможных переме-

324

Возможная работа реакций упругой среды в подобласти H0 с учетом (8.12

– 8.15) будет определяться выражением:

В выражениях (8.15) и (8.16) матрицы А-1 и Zg вынесены за знак интегра-

ла как не зависящие от интегрирования.

Из равенства работ внешних и внутренних сил T1 – T2 = U получим

H0

Ввыражениях (8.19) и (8.20) rgэ – матрица жесткости собственно конечно-

го элемента, учитывающая его упругие свойства; rg0 – матрица, учитывающая свойства упругой среды.

Таким образом, матрица жесткости КЭ, занимающего подобласть в всей совокупности элементов дискретной расчетной схемы и взаимодействующе-

го с упругой средой в подобласти , представлена в виде суммы двух матриц,

т.е. rg = rgэ + rg0 . При отсутствии упругой среды rg0 = 0.

Представление матрицы жесткости КЭ в виде алгебраической суммы двух матриц дает возможность приближенно учесть возможную одностороннюю связь конечного элемента с упругой средой. Приближенность заключается в том, что односторонняя связь между элементом и упругой средой с досто-

верностью определяется только в узловых точках их контакта.

Предположим, что при перемещениях Zi и Zj каких-либо узлов элемента происходит отрыв поверхности упругой среды от поверхности элемента, и

325

пусть этот отрыв происходит при Zi < 0, Zj > 0. Принятое допущение необхо-

димо для формирования матрицы жесткости r0g.

Для этого введем единичные функции типа

из которых составим диагональную матрицу единичных функций h, записав их значения для каждого перемещения:

Умножая матрицу r0g справа на матрицу h, получим матрицу жесткости

8.2.2. Общий ход расчета методом перемещений

Общий ход расчета МКЭ на основе метода перемещений в принципе сов-

падает с изложенным в подразд. 6.7.5. Отметим лишь некоторые нюансы в выполнении матричных операций.

1. Определение матрицы коэффициентов при неизвестных метода пере-

мещений удобнее производить по видоизмененной формуле (6.39):

степени свободы КЭ и n – степени кинематической неопределимости рас-

четной схемы.

Поскольку матрицы жесткости КЭ можно представить в виде суммы двух

матриц (см. подразд. 8.2.1), то и матрицу К можно представить в виде суммы

где m1 – число конечных элементов, взаимодействующих с упругой средой.

326

2. Матрица свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений R определяется из условий равновесия узлов дискретной рас-

четной схемы от узловой нагрузки. Если нагрузка распределенная, то она за-

меняется для каждого элемента эквивалентной узловой из условия равенства работ узловых сил и заданной распределенной нагрузки.

Возможная работа узловых сил Aуз = Zтg Fg , где Zg = E – матрица возмож-

ных узловых перемещений; Fg – матрица-столбец искомых узловых сил.

Работа распределенной нагрузки описывается при помощи интеграла. На-

пример, для трехмерной задачи

Aq = ∫ Z(x, y, z)q(x, y, z)dHэ ,

Hэ

3.Определение узловых перемещений от заданной узловой нагрузки из решения матричного уравнения

основной системе метода перемещений. При узловой нагрузке S0 = 0.

Для стержневых систем расчет заканчивается выражением (8.29). При расчете континуальных систем узловые обобщенные силы не дают полной картины напряженного состояния, поэтому далее вводится переход к опреде-

лению общепринятых характеристик усилий или напряжений.

327

5. Определение напряженного состояния континуальных систем. На ос-

новании выражения (8.5) с учетом (8.4) и (8.7) для каждого конечного эле-

мента можно записать:

где Ng – матрица напряжений (распределенных усилий) для континуальных систем.

6. Для учета односторонней связи конструкции с упругой средой состав-

ляются матрицы единичных функций hg (8.22) для каждого элемента, взаи-

модействующего с упругой средой, и сам учет производится выполнением

следующих операций:

а) решение системы уравнений (8.27) без учета односторонней связи;

б) формирование матриц hg в численном виде согласно полученным зна-

кам неизвестных;

в) вычисление исправленной матрицы коэффициентов при неизвестных

г) определение неизвестных Z из решения матричного уравнения (8.27) с

исправленной матрицей K.

Пп. а) – г) повторяются до тех пор, пока знаки неизвестных не перестанут изменяться. После чего выполняются пп. 4 и 5 настоящего раздела с учетом

(8.23).

8.3.Рамы и балки на упругом основании

8.3.1.Общие положения

Вданном подразделе излагается методика расчета балок и рам со сплош-

ным фундаментом, взаимодействующих с упругой средой в виде грунтового

( упругого) основания. В качестве модели упругого основания используем модель П.Л. Пастернака, по которой реакции основания характеризуются

328

двумя коэффициентами постели – на сжатие и на сдвиг, и сами реакции ос-

нования в общем случае выражаются зависимостями:

– на осадку

Примеры получения основных систем метода перемещений для балок и рам, взаимодействующих с упругим основанием, показаны на рис. 8.1, а, б и

8.2. Преимущество МКЭ в расчете такого типа конструкций состоит в воз-

можности учитывать любые граничные условия. Так на рис. 8.1, б изображе-

на балка на упругом основании с разломом основания в пролете. Классиче-

скими способами произвести расчет такой балки не представляется возмож-

ным. При использовании МКЭ задача решается довольно просто: для эле-

ментов 1, 2, 4 и 5 используются матрицы жесткости с учетом упругого осно-

вания, т.е. rg = rgэ + rg0 , то для элемента 3 – только rg = rgэ .

Как и при матричной форме метода перемещений основная система, при-

меняемая в МКЭ, состоит из двух типов стержней: КЭ с четырьмя (рис. 8.3,

а) и тремя степенями свободы (рис. 8.3, б).

329

8.3.2. Матрицы жесткости конечных элементов

КЭ с четырьмя степенями свободы (см. рис. 8.3, а). Для выражения прогибов КЭ принимается полином третьего порядка с четырьмя независи-

мыми параметрами fs, дающий точное решение дифференциального уравне-

ния изогнутой оси стержня при отсутствии упругого основания

На основании (8.1) матрицы -столбцы усилий и перемещений имеют вид:

Напряженное состояние элемента описывается приближенным диффе-

2

ренциальным уравнением M = M (x) = EI d w = Cε, где матрица деформаций dx2

получается двойным дифференцированием (8.35):

Выражение для прогибов и углов поворота как для самого элемента, так и для поверхности упругого основания на основании принятой функции пере-

мещений:

Подставив в (8.39) координаты узлов i и j элемента (см. рис. 8.3, а), полу-

чим:

330