Текст

фициенту. Во-вторых, если даже частота возмущающей силы значитель-

но превышает низшую частоту свободных колебаний, то резонанс на этой частоте всё же может возникнуть при разгоне машины при её за-

пуске. Поэтому низшую частоту иногда называют частотой основного тона колебаний. Следующий по порядку тон колебаний называется пер-

вым обертоном и т.д.

Определив частоты свободных колебаний, можно для каждой часто-

ты на основании (10.39) определить главные формы колебаний.

Запишем систему уравнений (10.39) для любой определённой из

(10.40) частоты ωj.

Система уравнений (10.41) может быть превращена в неоднородную,

если все её члены разделить на одну из амплитуд, например an, или за-

дать ей значение, равное единице, что то же самое.

Введем следующие обозначения:

В результате в одном из уравнений системы (10.41) появится сво-

бодный член, и, решая систему из (n – 1), мы определим величины дру-

гих амплитуд по отношению к выбранной. Полученные значения vkj

обычно называют относительными амплитудами.

Систему уравнений (10.41) при определении значений относительных амплитуд можно преобразовывать как угодно, что не отразится на соот-

ношениях между амплитудами. Аналогичные математические преобра-

411

зования можно производить и с уравнением частот (10.40). Один из ва-

риантов этих преобразований покажем в ниже приведённом примере.

где E – единичная матрица; B– матрица коэффициентов определителя

(10.40) в действительном или преобразованном виде; λ – корень веково-

го уравнения, содержащий величину 1/ ω2.

С математической точки зрения решить уравнения (10.43) означает найти собственные числа и собственные вектора матрицы B. Собствен-

ные числа представляют собой корни λi векового уравнения, а собст-

венные вектора– относительные амплитуды, соответствующие каждому корню.

При правильном решении векового уравнения должны выполняться следующие проверки:

1. Определитель матрицы B должен равняться произведению собст-

венных чисел, т.е. D(B) = ∏ λi.

2. След матрицы (сумма главных коэффициентов) должен равняться сумме собственных чисел, т.е. Sp B =∑bii = ∑ λi.

С помощью главных форм существенно облегчается исследование вынужденных колебаний системы с несколькими степенями свободы,

так как в силу независимости главных форм вынужденные колебания можно представить n независимыми дифференциальными уравнениями.

Основным свойством главных форм колебаний является их ортого-

нальность.

Два деформированных состояния какой-либо упругой системы назы-

ваются ортогональными, если работа внешних (внутренних) сил одного из них на соответствующих перемещениях (деформациях) другого равна нулю.

Проверим выполнение этого условия для главных форм свободных колебаний. Для этого в системе с n степенями свободы рассмотрим две

412

формы колебаний с частотами ωi и ωj. Перемещения масс для каждой из

этих форм будут:

yki(t) = aki sin ωi t = anivki sin ωi t; ykj(t) = akj sin ωj t = anjvkjsin ωj t.

Соответственно, инерционные силы, действующие в направлении ко-

лебаний масс, будут равны:

Применим теорему о взаимности возможных работ к двум выбран-

ным состояниям системы при амплитудных значениях инерционных сил и перемещений:

Подставив в левую и правую части равенства амплитудные значения сил инерции, получим

Перенесем все члены полученного выражения в левую часть и выне-

сем за знак суммы величины, не зависящие от k:

k =1

Отсюда следует, что

Таким образом, ортогональность главных форм колебаний доказана, а

равенство (10.45) выражает условие ортогональности главных форм. С

учетом возможности представления перемещений масс через относи-

тельные амплитуды оно может быть представлено в виде:

413

k =1

Свойством ортогональности главных форм колебаний пользуются при разложении произвольной внешней динамической нагрузки в ряд по главным формам колебаний.

Пример 10.8. Требуется определить частоты и построить формы сво-

бодных колебаний для консольной балки с ломаной осью (рис. 10.18, а).

Решение. 1. Степень свободы масс Wm =2. Две сосредоточенные мас-

сы расчётной схемы могут совершать колебания по двум направлениям

(рис. 10.18, б).

2. Уравнение частот при Wm =2 для данной расчётной схемы имеет

вид

3. Для определения коэффициентов уравнения частот последователь-

но приложим единичные силы по направлению колебаний масс (состоя-

ния 1 и 2 на рис. 10.18, в и г) и построим эпюры M1 и M2.

Коэффициенты уравнения частот определим по интегралу Максвел-

ла-Мора:

4. Подставим найденные коэффициенты в уравнение частот и решим

его:

414

Для начала упростим полученную запись уравнения частот, умножив все его члены на 2EI/9m и введя обозначение λ= 2EI/9mω2.

В результате получим уравнение частот в преобразованном виде:

Раскрыв определитель, получим квадратное уравнение относительно параметра λ: (8 – λ)(4 – λ) − 3·6 = 0 или λ 2 – 12 λ + 14 = 0, откуда

λ1 = λmax= 10,69; λ 2 = 1,31.

5.Выполним проверки полученного решения.

Матрица коэффициентов уравнения частот имеет вид

Первая проверка: D(B) = 8·4 – 3·6 = 14; ∏ λi = 10,69·1,31 = 14,0039,

следовательно, D(B) ≈ ∏ λi с погрешностью 0,0028 % , что вполне до-

пустимо.

Вторая проверка: Sp B =∑bii = 8 + 4 = 12; ∑ λi = 10,69 + 1,31 следова-

тельно, Sp B =∑ λi.

6. Определим частоты свободных колебаний. На основании принято-

7. Выполним построение форм колебаний на основании преобразо-

ванной системы уравнений (10.41), которая в данной задаче имеет вид:

(8 – λi)v1i + 6v2i = 0, 3v1i + (4 – λi)v2i = 0,

415

где v1i и v2i – относительные амплитуды масс при i – той частоте.

Для построения форм колебаний зададим одной из амплитуд значе-

ние, равное единице. Тогда вторую амплитуду найдём из любого урав-

нения приведённой системы.

1 – я форма колебаний: λ1 = λmax= 10,69. Тогда первое уравнение из рассматриваемой системы запишем в виде (8 – λ1)v11 + 6v21 = 0, откуда при v11 =1 вторая относительная амплитуда v21 = 0,448,

2 – я форма колебаний. λ2 = 1,31. Тогда первое уравнение из рас-

сматриваемой системы запишем в виде (8 – λ2)v12 + 6v22 = 0, откуда при v12 =1 вторая относительная амплитуда v22 = – 1,116.

Деформированные состояния расчётной схемы, соответствующие формам колебаний, приведены на рис. 10.19 с указанием найденных значений относительных амплитуд.

Пример 10.9. Требуется определить частоты и построить формы свободных колебаний для статически неопределимой рамы с двумя со-

средоточенными массами (рис. 10.20, а).

Решение. 1. Степень свободы масс Wm =2. Обе сосредоточенные мас-

сы расчётной схемы могут совершать колебания только по вертикали

(рис. 10.20, б).

2. Уравнение частот при Wm =2 для данной расчётной схемы имеет вид

3. Для определения коэффициентов уравнения частот последователь-

но приложим единичные силы по направлению колебаний масс (состоя-

ния 1 и 2 на рис. 10.20, в и г) и построим эпюры M1 и M2.

Так как заданная схема статически неопределима, расчёт по обоим состояниям производим методом перемещений (nк = 1 < nc = 4).

416

Относительные жёсткости стержней рамы:

∙стойки i1 = EI/6 = i;

∙левого ригеля i2 = 2EI/8 = 1,5i;

∙правого ригеля i3 = 1,5EI/6 = 1,5i.

Основная система метода перемещений и эпюра M10 от принудитель-

ного поворота дополнительный связи на единичный угол показаны на рис. 10.20, д.

Каноническое уравнение метода перемещений r11Z1( j ) + r1(Fj ) = 0 ,

где j – порядковый номер загружения.

Коэффициент при неизвестном, определённый по M10 , r11 = 14,5i. 4. Расчёт по состоянию 1 (см. рис.10.20, в).

Эпюра грузового состояния M F0 1 показана на рис. 10.20, е, откуда свободный член канонического уравнения r1(1)F = 1 м.

Из решения канонического уравнения Z1(1) = −r1(1)F / r11 = − 1/14,5 i.

Эпюра изгибающих моментов состояния 1, построенная на основании

Эпюра изгибающих моментов состояния 2, построенная на основании

6. Для нахождения коэффициентов уравнения частот воспользуемся правилами определения перемещений в статически неопределимых сис-

темах, сформулированными в подразд. 7.3. Выберем для состояний 1 и 2

417

статически определимые основные системы так, чтобы «перемножение» эпюр было бы как можно проще. Вспомогательные состояния 1 и 2 в

статически определимых системах и соответствующие им эпюры M10 и

7. Подставим найденные коэффициенты в уравнение частот и решим его:

Для начала упростим полученную запись уравнения частот, умножив все его члены на EI/0,466m и введя обозначение λ= EI/(0,466mω2).

В результате получим уравнение частот в преобразованном виде:

Раскрыв определитель, получим квадратное уравнение относительно параметра λ: (13,815 – λ)(3,94 – λ) − 2 = 0 или λ 2 – 17,555 λ + 52,431 =

0,

откуда λ 1 = λmax= 14,0135; λ2 = 3,7415.

8. Выполним проверки полученного решения.

Матрица коэффициентов уравнения частот имеет вид

418

Первая проверка: D(B) = 13,815·3,94 – 2·1 = 52,4311; ∏ λi =

14,0135·3,7415 = 52,4315, следовательно, D(B) ≈ ∏ λi с погрешностью

0,003 % , что вполне допустимо.

Вторая проверка: Sp B =∑bii = 13,815 + 3,94 = 17,755; ∑ λi = 14,0135 +

3,7415 = 17,755, следовательно, Sp B =∑ λi.

9. Определим частоты свободных колебаний. На основании принято-

10.Выполним построение форм колебаний на основании преобра-

зованной системы уравнений (10.41), которая в данной задаче имеет вид:

(13,815 – λi)v1i − v2i = 0, −3 v1i + (3,940 – λi)v2i = 0,

где v1i и v2i – относительные амплитуды масс при i – той частоте.

Для построения форм колебаний зададим одной из амплитуд значе-

ние, равное единице. Тогда вторую амплитуду найдём из любого урав-

нения приведённой системы.

1 – я форма колебаний. λ1 = λmax= 14,0135.

Тогда первое уравнение системы будет иметь вид (13,815 – λ1)v11 − v21 = 0, откуда при v11 =1 вторая относительная амплитуда v21 = − 0,1985,

419