Текст

Эпюра изгибающих моментов, соответствующая рассмотренному со-

стоянию стержня, показана на рис. 11.9, г.

В выражениях (11.11) и (11.12) φ1– трансцендентная функция, содер-

жащая критический параметр ν.

Аналогично определяются реакции по концам стержней для других вариантов закреплений и смещений. Все они представлены в приложе-

нии 3, а значения соответствующих трансцендентных функций в преде-

лах от 0 до 2π – в приложении 4. Для удобства использования всем зна-

чениям реакций придан вид, применяемый при решениях задач прочно-

сти (см. приложение 1).

Таким образом, определитель (11.8) будет содержать трансцендент-

ные функции (см. приложение 4), а развёрнутое уравнение устойчиво-

сти, полученное после его раскрытия, будет содержать множество кор-

ней, из которых необходимым является минимальное ненулевое значе-

ние критического параметра ν.

В общем случае параметр ν, определяемый выражением (11.2), зави-

сит от длины стержня l, силы F, действующей на стержень и жёсткости

EI, поэтому для различных стержней расчётной схемы он может быть различным. На основании допущения об одновременном возрастании всех нагрузок, дающего соотношения между всеми действующими си-

лами, легко выразить все параметры νi через какой-нибудь один из них.

Тогда все коэффициенты rik определителя (11.8) будут функциями толь-

ко одного параметра.

Например, на раму, изображённую на рис.11.10, имеющую разные длины стержней, разные жёсткости, действуют разные сжимающие силы

F1 и F2 , а сила F задана в виде известной величины.

Согласно (11.2) значения критических параметров для первого и вто-

рого стержней 1 и 2 рамы будут следующими:

471

где критический параметр для второго стержня принят в качестве обще-

го множителя. Если обозначить a = h1/h2; b = F1/F2; c = EI1/EI2, то полу-

чим, что

ν1 = (a b )ν . c

Учёт силы F с заданным численным значением производится введе-

нием в расчёт трансцендентных функций, определённых по числовому значению параметра

Пример 11.4. Требуется определить критическую силу и расчётную длину центрально сжатого стержня для схемы, показанной на рис. 11.11,

а, методом перемещений и сравнить с результатами расчета примера

11.3.

Относительные жёсткости стержней схемы, приведённые к единому множителю:

∙стойки i1 = EI/l = i;

∙ригеля i2 = 2EI/l = 2i.

Решение. 1. Расчётная схема имеет один жёсткий узел, закреплённый

от горизонтальных и вертикальных смещений. Следовательно, nк = 1.

ничное смещение (угол поворота), покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 11.11, в) и построим в основ-

ной системе эпюру M10 (рис.11.11, г). При этом для ригеля схемы, не ис-

пытывающего влияния сжимающих сил, эпюру изгибающих моментов

472

строим по приложению 1, а для сжатой вертикальной стойки – по при-

ложению 3.

5. Из условия равновесия реакция в дополнительной связи r11 = 3iφ1(ν) + 6i.

6. Подставив значение r11 в уравнение устойчивости, получаем φ1(ν) = − 2.

По таблицам приложению 4 находим ν = 3,973. Это значение совпа-

дает с результатом примера 11.3, но само решение методом перемеще-

ний значительно проще.

7. Величина критической силы согласно (11.3)

Fcr = 3,9732EI/l2 = 15,785EI/l2.

Расчётная длина стержня согласно (11.6) l0 = (π/3,973)l = 0,791l.

Пример 11.5. Требуется определить критическую силу и расчётную длину сжатой стойки в раме с абсолютно жёстким ригелем (рис. 11.12,

а).

Относительные жёсткости стержней схемы, приведённые к единому

Решение. 1. Рама обладает линейной подвижностью ригеля, узлы ко-

торого не способны к повороту. Следовательно, nк = 1.

ничное смещения, покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 11.12, в) и построим в основной системе эпюру

473

M10 (рис.11.12, г). Для правой стойки схемы, не испытывающей влияние сжимающей силы, эпюру изгибающих моментов строим по приложению

1, а для сжатой левой стойки – по приложению 3.

5. Из условия равновесия отсечённого ригеля основной системы

(рис.11.12, д) реакция в дополнительной связи

6. Подставив значение r11 в уравнение устойчивости, получим η2(ν) = − 0,125.

По приложению 4 находим ν = 3,32.

7. Величина критической силы согласно (11.3)

Fcr = 3,322·2EI/h2 = 22,04EI/h2.

Расчётная длина стержня согласно (11.6) l0 = (π/3,32)h= 0,946h.

Пример 11.6. Требуется определить критические силы и расчётные длины стоек рамы, приведённой на рис. 11.13, а при следующих данных

l = h = 6,0 м, EI = 1500 кН·м2.

Относительные жёсткости стержней рамы, приведённые к единому

∙правой стойки i3 = 1,5EI/ h = 1,5i;

∙ригеля правого пролёта i4 = EI/h = i.

Решение. 1. Рама имеет один жёсткий узел, способный к повороту при деформации рамы, и её ригель может перемещаться по горизонта-

ли. Следовательно, степень кинематической неопределимости рамы nк = 2.

2. Уравнение устойчивости для рамы на основании (11.8) при nк = 2

будет иметь вид

474

3.Основная система, полученная введением одной угловой и одной линейной дополнительных связей, показана на рис. 11.13, б.

4.Установим соотношения между критическими параметрами сжа-

тых стоек рамы.

5. Последовательно зададим введенным дополнительным связям принудительные единичные смещения, покажем деформированные схе-

мы основной системы от этих смещений (рис. 11.13, в и г) и построим в

основной системе эпюры M10 и M 20 ( для ригеля используя приложение

1, а для стоек − приложение 3).

6. Определим реакции в дополнительных связях от единичных сме-

щений:

r11 = 3i + 6iϕ2 (1, 2ν) (рис. 11.13, д);

7.Подставим полученные значения коэффициентов при неизвестных

вуравнение устойчивости, учитывая, что η2(1,8) = 0,6749 (см. приложе-

ние 4). Произведя в нем сокращение на (3i/h)2 и простейшие алгебраиче-

ские преобразования, получим уравнение устойчивости в развёрнутом

виде:

[1 + 2φ2(1,2ν)]·[8·0,6749 +η1(ν) + 6η2(1,2ν)] – [3 φ4(1,2ν)]2 = 0.

475

Решая полученное уравнение устойчивости методом подбора по при-

ложению 4, находим минимальное значение параметра: ν = 2,73.

i.Найдем критические силы согласно (11.3) и расчётные длины со-

l03 = π·6/(1,2·2,73) = 5,75м.

9. Проверим сохранность соотношения между полученными значе-

ниями критических сил:

Fcr(3) / Fcr(2) = 670,76/310,54 = 2,16.

11 .3.2. Упрощения при расчёте рам на устойчивость

Для целого ряда расчётных схем использование метода перемещений в расчётах на устойчивость в общем виде является нецелесообразным из-за сложности получаемых уравнений устойчивости, поэтому, как и при решении задач прочности, здесь используют следующие приёмы упрощения решений: основную систему без постановки линейных свя-

зей и учёт симметрии.

О с н о в н а я с и с т е м а б е з п о с т а н о в к и л и н е й н ы х с в я з е й.

Основная система без постановки линейных связей может быть ис-

пользована для расчётных схем типа консольной стойки ступенчатого сечения (рис. 11.14, а), когда ничто не препятствует горизонтальному

476

смещению узлов, за которые принимаются места ступенчатого измене-

ния сечений, а поперечные силы во всех сжатых стержнях равны нулю.

К указанному типу расчётных схем можно отнести раму, показанную на рис. 11. 14, б, и статически определимую балку ломаного очертания,

приведенную на рис. 11.14, в.

В данных расчётных схемах основную систему получают введением только узловых дополнительных связей («плавающих» заделок), препят-

ствующих только угловым смещениям.

Как и при расчёте на прочность, мы имеем дело с двумя дополни-

тельными типами стержней, которые были показаны на рис. 6.13, но в расчётах на устойчивость они загружены сжимающими силами.

Для того, чтобы воспользоваться основной системой без постановки линейных связей, необходимо знать значения реакций для указанных двух типов стержней. Получение этих реакций производится на основе метода непосредственного интегрирования дифференциального уравне-

ния изогнутой оси стержня.

Рассмотрим консольный стержень (рис. 11.15, а), который по своей работе равнозначен стержню, изображённому на рис. 6.13, б, и зададим единичный угол поворота защемления (рис. 11.15, б).

По полученному для стержня равновесному состоянию (рис. 11.15, в)

определим изгибающий момент в произвольном сечении с координата-

ми x и y: M(x) = Fy.

Подставив полученное выражение изгибающего момента в диффе-

ренциальное уравнение (11.1), получим

y′′(x) = − M (x) = − Fy(x) .

EI EI

Введя обозначение α2= Fкр/EI, представим дифференциальное урав-

нение в канонической форме

y ′′( x ) + α 2 y ( x ) = 0 .

477

Мы получили уже знакомое дифференциальное уравнение, решение

которого известно: y(x)= C1cos αx + C2 sinαx,

Его производная y′(x)= − α C1sinαx + α C2 cos αx.

Записав граничные условия для рассматриваемого стержня, полу-

откуда C2 = 1/ α cos αl = l/ν cos ν.

Определив C2, запишем уравнение изогнутой оси стержня y(x)= l·sinαx/ν cos ν,

на основании которого определим относительное смещение концов

стержня δ = y(l)= l·sinαl/ν cos ν = νl·tg ν.

Изгибающий момент в заделке при F= ν2EI/l2 (16.2) будет (рис. 11.15,

г):

M = F δ = iν ·tg ν.

Аналогично получают значения реакций и для второго типа стержня.

Выражения для реакций приведены в приложении 12 (п. 5 и 6), а значе-

ния специальных функций, входящих в эти выражения – в прил. 14.

У ч ё т с и м м е т р и и

Рассмотрим симметричную и симметрично загруженную раму (рис. 11. 16, а). Данная рама является трижды кинематически неопределимой,

и при получении основной системы метода перемещений необходимо ввести три дополнительных связи – две угловых и одну линейную. В си-

лу симметрии расчётной схемы можно воспользоваться способом груп-

пировки неизвестных для симметрично расположенных неизвестных.

Соответственно, рассмотрим три вспомогательных состояния от прину-

дительного смещения связей:

478

1. симметричный групповой поворот угловых связей (состояние 1,

рис. 11.16, б), вызывающий симметричную форму деформации основной системы;

2. кососимметричный групповой поворот угловых связей (состояние

2, рис. 11.16, в), вызывающий кососимметричную форму деформации основной системы;

3. линейное смещение (состояние 3, рис. 11.16, г), вызывающее косо-

симметричную форму деформации основной системы.

В силу симметрии расчетной схемы побочные коэффициенты r12 = r21 = r13 = r31 = 0, в результате чего общий определитель (11.8) при nк = 3

распадается на два определителя:

Таким образом, при определении устойчивости симметричных и симметрично загруженных рам упрощение расчёта сводится к отдель-

ному рассмотрению симметричной и кососимметричной форм потери

устойчивости.

Рассмотрим формы потери устойчивости (рис.11.17, а) для имеющих одинаковые геометрические размеры несвободной (не имеющей гори-

зонтальных смещений ригеля) и свободной (ригель имеет горизонталь-

ные смещения) рам. Нетрудно заметить, что симметричная форма поте-

ри устойчивости у этих рам (рис. 11.17, б) одинакова, а кососимметрич-

ные формы (рис.11.17, в) разнятся, и существенно.

Приведённые формы потери устойчивости позволяют сделать выво-

ды, и это доказано инженерной практикой, что:

479

Так же, как и при решении задач прочности, расчётную схему при выбранной форме потери устойчивости можно представит в виде её симметричной части.

На рис. 11.18 рассмотрена симметричная несвободная рама и расчёт-

ные схемы для обеих форм потери устойчивости. Степень кинематиче-

ской неопределимости рамы nк = 2. Тогда и для симметричной формы потери устойчивости (рис. 11.18, а) и для кососимметричной (рис. 11.18, б) nк = 1.

Аналогично для свободной рамы при nк = 3 и для симметричной формы потери устойчивости (рис. 11.19, а) и для кососимметричной

(рис. 11.19, б) nк = 1. Общее число уравнений меньше трёх, так как при рассмотрении кососимметричной формы можно использовать основ-

нуюсистему без постановки линейной связи.

Пример 11.7. Требуется определить наименьшее значение критиче-

ской силы для симметричной расчётной схемы, показанной на рис. 11.20, а.

Относительные жёсткости стержней схемы, приведённые к единому множителю:

∙стойки i1 = EI/l = i;

∙ригеля i2 = 2EI/l = 2i.

Решение. 1. Расчётная схема имеет несмещаемый по горизонтали ри-

гель, следовательно, наименьшей будет критическая сила при симмет-

ричной форме потери устойчивости (рис. 11.20, б).

2. Представляем расчётную схему в виде её симметричной части, ко-

торая имеет один жёсткий узел, закреплённый от горизонтальных и вер-

тикальных смещений (рис.11.20, в). Следовательно, nк = 1.

3. Уравнение устойчивости на основании (11.8) при nк = 1 будет

480