Текст

Начальная амплитуда колебаний a0= v0/ω1, а круговая частота при учёте затухания

Согласно формуле (10.20) теоретически полное затухание наступит при t → ∞, что противоречит действительности. Это противоречие сви-

детельствует об одном из недостатков принятой гипотезы вязкого тре-

ния.

В целях оценки скорости затухания колебаний рассматривают две со-

седние амплитуды по графику (10.5) и вычисляют их отношение

В качестве меры затухания колебаний берут не само отношение со-

Величина γ, характеризующая скорость затухания, называется лога-

рифмическим декрементом затухания, а величина k = 0,5 β/m – коэффи-

циентом затухания. Декремента является величиной постоянной, не за-

висящей от времени, которая учитывает характеристики конструкции и окружающей среды. Так как этих характеристик достаточно много, то коэффициент затухания k определяют экспериментально, замеряя ам-

плитуды колебаний специальными приборами.

В справочной литературе для оценки затухания приводятся значения

коэффициентов поглощения ψ= 2 kT. Значения этих коэффициентов для разных материалов и различных амплитуд инерционных сил приве-

дены в табл. 10.1.

391

Значения коэффициента затухания k для большинства строительных конструкций, колебания которых происходят в окружении воздушной среды, не очень велики, поэтому чаще всего (особенно в инженерных расчётах) частоты свободных колебаний определяются без учёта дисси-

пативных сил, т.е. ω1 ≈ ω.

При затухающих колебаниях их период на основании (10.16) T = 2π/ω1, поэтому логарифмический декремент затуханий

откуда, пренебрегая γ2 как величиной второго порядка малости, получим

Пример 10.1. Требуется определить круговую и техническую часто-

ты, а также период колебаний системы с одной степенью свободы, по-

казанной на рис. 10.6, а. Жёсткость стержней EI = 5400 кН·м2, величина массы m = 0,25 т.

Решение. 1. Масса m может совершать только вертикальные колеба-

ния. Вспомогательное состояние расчётной схемы для определения по-

датливости по направлению колебания массы показано на рис. 10.6, б,

соответствующая ему эпюра изгибающих моментов M1 – на рис. 10.6, в. 2. Податливость

392

3. Круговая частота свободных колебаний по формуле (10.17)

4.Период колебаний T = 2π/ω = 2π/200 = 0,031 с.

5.Техническая частота n = 60/T = 60/0,031= 1909, 9 кол/мин.

Пример 10.2. Требуется определить круговую частоту и период сво-

бодных колебаний сосредоточенного груза массой m = 3 т, расположен-

ного на конце консоли статически неопределимой рамы (рис.10.7, а).

Жёсткость стержней рамы постоянна и равна EI = 12600 кН·м2.

Решение. 1. Степень свободы сосредоточенной массы Wm = 1, так как при принятых допущениях она может совершать колебания только по вертикали.

2.Вспомогательное состояние для определения податливости рамы по направлению колебания массы показано на рис. 10.7, б.

3.Выбираем метод решения для определения усилий в представлен-

ном вспомогательном состоянии.

Степень статической неопределимости рамы nc = 3К – Ш = 3·1 – 1 =2.

Степень кинематической неопределимости nк = nу – nл = 1 – 0 = 1.

Так как nк < nc , то расчёт производим методом перемещений.

4. Каноническое уравнение метода перемещений r11Z1 + r1F = 0. Ос-

новная система метода и эпюра изгибающих моментов M F0 1 грузового состояния показаны на рис. 10.7, в.

Относительные жёсткости стержней рамы:

ригеля i1 = EI/4 = i; стойки i2 = EI/3 = 4i/3.

5. Деформированная схема основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на единичный угол и соответствующая ей эпюра изгибающих моментов M10 показаны на рис. 10, 7, г.

393

6. Реакции в дополнительной связи, определённые по эпюрам M10 и

7. Эпюру изгибающих моментов вспомогательного состояния (рис.

8. Для определения податливости по направлению колебания массы на основании положений подразд. 7.3 выберем статически определимую основную систему и в ней построим вспомогательную эпюру изгибаю-

10. Период колебаний T = 2π/ω = 2π/30 = 0,209 с.

Пример 10.3. Требуется определить круговую частоту свободных ко-

лебаний массы m, расположенной в крайнем правом узле консольной статически неопределимой фермы (рис. 10.8, а). Продольная жёсткость стержней фермы EA постоянна.

Решение. 1. Степень свободы массы m Wm =1, так как узел, в котором она расположена, закреплён горизонтальной линейной связью, т.е. масса m может совершать только вертикальные колебания.

2. Вспомогательное состояние фермы при действии единичной силы,

приложенной по направлению колебания массы, показано на рис. 10.8,

б.

3. Степень статической неопределимости фермы nc = C – 2 У = (6 + 5) - 2·5 = 1.

394

4. Каноническое уравнение метода сил δ11 X1 + δ1F = 0 (здесь коэффици-

ент при неизвестном и свободный член канонического уравнения отме-

чены чертами сверху с целью отличить их от значений податливостей,

используемых при динамических расчётах).

5.Основная система, принятая для расчёта, показана на рис. 10.8, в.

6.Расчётные эпюры N10 и NF0 1 вспомогательного и грузового состоя-

ний основной системы метода сил показаны соответственно на рис. 10.9,

аи б.

7.Коэффициент при неизвестном и свободный член канонического уравнения вычисляем по формуле Максвелла – Мора.

9. Определим податливость по направлению колебания массы, ис-

пользуя упрощения при определении перемещений в статически неоп-

ределимых системах (см. подразд. 7.3).

395

10.2.2. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Как уже говорилось, вынужденными называются колебания, вызван-

ные переменными во времени внешними воздействиями. Наиболее часто в инженерной практике приходится иметь дело с гармоническим воздей-

ствием внешней нагрузки

где F – амплитудное значение возмущающей силы, кН; θ – круговая час-

тота изменения возмущающей силы.

К вертикальной составляющей вида (10.23) сводится, например, дей-

ствие установленного на сооружении двигателя из-за неуравновешенно-

сти ротора, масса m которого имеет относительно оси вращения эксцен-

триситет e. Возникающую во время вращения ротора центробежную си-

лу инерции определяют по формуле Jц = meθ2, где θ – угловая скорость

(число оборотов ротора в 2π секунд).

Вертикальная составляющая центробежной силы и будет представ-

лять амплитудное значение возмущающей силы (10.23), т.е. F = Jц.

Вибрационная нагрузка является опасной для строительных конст-

рукций по следующим причинам:

1. Эффект действия вибрационной нагрузки зависит не только от её величины (амплитудного значения), но и от периода её изменения; ма-

лая по величине нагрузка с одним периодом может привести к разруше-

нию конструкции, в то время как нагрузка большей величины, но с дру-

гим периодом, может оказаться безопасной и близкой к статическому воздействию.

2. Действие вибрационной нагрузки достаточно сложно локализовать,

т.е. наибольший эффект от её действия может сказаться не там, где она приложена, а в удалённых местах и даже в других сооружениях. Причи-

396

ной этого является особенность каждого материального тела, в том чис-

ле и грунтов, воспринимать, совершать и распределять колебания.

Кроме того, вибрационная нагрузка при определённых параметрах

может оказывать вредное воздействие на людей, а также на работу ма-

шин и механизмов, расположенных в сооружении.

В выражении (10.23) может быть представлена не только сосредото-

ченная сила F, но и распределённая нагрузка q, момент M. При дейст-

вии нескольких видов вибрационных нагрузок с целью упрощения рас-

чёта обычно принимается, что все они во времени изменяются по одно-

му и тому же закону и отличаются лишь амплитудными значениями. Ес-

ли же это допущение не выполняется, производят расчёт от каждого воздействия в отдельности, а затем на основании принципа независимо-

сти действия сил результаты суммируют для наиболее неблагоприятных

моментов времени.

Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы сосредо-

точенной возмущающей силы в форме (10.23), приложенной по направ-

лению колебания массы (рис. 10.10)

В этом случае динамическое уравнение равновесия (10.9) примет вид:

R + S − J −F sinθt= 0.

Подставив в приведённое уравнение равновесия значения сил (10.4),

(10.6), (10.8) и обозначения (10.10), получим

m

Линейное неоднородное уравнение (10.24) называется дифференци-

альным уравнением движения точечной массы при действии на неё виб-

рационной нагрузки.

Решение дифференциального уравнения (10.24) складывается из ре-

шения однородного дифференциального уравнения и частного решения

397

Произвольная постоянная C, определяемая при t = 0 и следующих на-

Из под знака корня знаменателя (10.26) вынесем величину ω14 , учи-

тывая, что из (10.17) mω12 = 1/ δ11 , получим:

статического действия амплитудного значения возмущающей силы, и

поэтому его можно переписать в виде C = µ 1F, а уравнение движения точечной массы (10.25) примет вид

Первый член уравнения (10.27) выражает свободные затухающие ко-

лебания, а второй – вынужденные. Как было показано ранее, свободные колебания быстро затухают благодаря диссипативным силам, и тогда

устанавливаются вынужденные колебания с частотой θ.

Во второй член уравнения (15.27) входят следующие величины:

сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к колебаниям воз-

мущающей силы, характеризующий величину опережения:

и динамический коэффициент µ гармонической нагрузки, показываю-

щий, во сколько раз динамическое действие превышает статическое действие её амплитудного значения:: yдин = µ 1F.

В силу принятых в подразд. 1.7 гипотез и допущений соотношение между результатами динамического расчёта и результатами от статиче-

ского действия амплитудного значения нагрузки справедливо для любых

398

расчётных величин, т.е. Mдин = µ MF; Qдин = µ QF; Nдин = µ NF; σдин = µ σF

и т.д.

Поскольку в инженерных расчётах обычно принимают, что ω1 ≈ ω,

выражение для динамического коэффициента можно записать в виде:

Как видно из выражений (10.28) значение динамического коэффици-

ента зависит от соотношения частот θ/ω. На рис.10.11 приведён график зависимости динамического коэффициента от соотношения θ/ω при раз-

ных значениях декремента затухания. Этот график показывает, что дис-

сипативные силы оказывают значительное влияние на величину дина-

мического коэффициента в зоне резонанса, т.е. при θ = ω или близких к этому соотношениях.

При совпадении частот (θ = ω) из формул (10.28) получается, что

Наибольшее значение динамический коэффициент достигает при

(θ/ω)2 = 1 – γ2/2π2:

Однако разница между результатами по формулам (10.29) и (10.30)

очень мала.

Из (10.29) видно, что при резонансе амплитуда вынужденных коле-

баний обратно пропорциональна логарифмическому декременту затуха-

ния. Сдвиг фазы колебаний по отношению к возмущающей силе состав-

ляет при этом ε = − 0,5 π , т.е. 0,25 периода.

Так как проектирование строительных конструкций при установив-

шихся колебаниях не допускает резонанса, то в первом приближении их динамический расчёт проводят без учёта диссипативных сил, те. при k = 0.

399

Тогда формула (10.28) примет вид

График динамического коэффициента, вычисляемого по формуле

(10.31), показан на рис. 10.12.

Однако формула (10.31) оказывается недостаточно точной в области,

близкой к резонансу, в которой особенно велико влияние затухания. При равенстве частот θ = ω формула (10.31) приводит к значениям µ= ± ∞,

которые в действительности не могут быть достигнуты.

При θ > ω величина µ по формуле (10.31) становится (пунктирная ли-

ния на рис. 10.8) отрицательной. Это означает, что колебания возму-

щающей силы и самой массы происходят в противоположных направле-

ниях.

Так как при резонансе происходит резкое увеличение перемещений и усилий в элементах конструкции, во избежании чего при проектирова-

нии следует обеспечивать разницу частот свободных и вынужденных колебаний в 25 – 30 %.

Пример 10.4. Требуется произвести проверку прочности наиболее опасного сечения и определить максимальный прогиб в балке (рис. 10.13) при работе электродвигателя массой m = 3,5 т, совершающего

500 об/мин. Масса неуравновешенных частей двигателя m1 = 0,146 т, их эксцентриситет относительно оси вращения e = 0,0228 м. Балка изготов-

лена из стали марки С245 (Ry = 245 МПа). Сечение балки – двутавр № 30 (Iz = 7080 см4, Wz = 472 см3), γс = 1.

Решение. 1. Жёсткость балки при изгибе

EI = 2,06·108·7080·10-8 = 14 585 кН·м2.

2.Круговая частота вынужденных колебаний θ = nπ/30 = 500π/30 = 52,36 с-1.

3.Амплитуда возмущающей силы

400