Текст

9iZ1 − 1,875iZ2 −36 = 0,

−1,875iZ1 +1,506iZ2 − 62,5 = 0,

а ее решение Z1 = 17,084/i (рад), Z2 = 62,804/i (м).

7. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной схеме на [см. (6.9)]

M F = M10 Z1 + M 20 Z2 + M F0 .

Все слагаемые и результат данной формулы приведены на рис. 6.13.

Дальнейший ход расчета выполняется та же, как и в предыдущих приме-

рах.

6.4.Расчет при наличии начальных деформаций

Вотличие от метода сил в основной системе метода перемещений при на-

личии начальных деформаций возникают усилия в силу того, что элементами основной системы являются статически неопределимые стержни. Действие начальных деформаций учитывается в канонических уравнениях метода пе-

ремещений свободными членами. Следовательно, система канонических уравнений в данном случае будет аналогична (6.5) и имеет вид:

Здесь (U= t, ) – вид начальных деформаций (тепловое воздействие, не-

равномерная осадка опор и неточность изготовления стержней).

1. При расчете на тепловое воздействие последнее представляют как сумму неравномерного t и равномерного нагрева t0(см. рис. 4.17).

Действие неравномерного нагрева (перепада температур) в основной сис-

теме учитывается п.п. 7 и 8 приложения 1. Результатом является эпюра Mt0,нн .

При равномерном нагреве вследствие удлинения (укорочения) стержней основной системы на величину lt=αtlt0 происходит взаимное смещение уз-

271

лов основной системы, что вызывает деформацию стержней и появление в них усилий. Построение деформированной схемы основной системы при действии равномерного нагрева для ортогональных рам достаточно просто.

Для более сложных рам для определения положения узлов основной системы обычно используют диаграмму перемещений (диаграмму Виллио).

Эта диаграмма является графическим способом определения перемеще-

ний узлов ферм, но в силу допущений, сформулированных в подразделе 6.1,

ее можно использовать для определения линейных перемещений узлов ос-

новной системы метода перемещений, условно считая их шарнирными. Диа-

грамма дает в произвольном масштабе величину и направление перемещений всех узлов. Ее построение основано на последовательном определении ново-

го положения какого либо узла шарнирной схемы, связанного с двумя дру-

гими узлами, положения которых известно.

Например, узлы A и C шарнирной схемы получили перемещения 1 и 2

соответственно, а стержни AB и BС – удлинения l1 и l2 (рис. 6.14, а). Из

произвольного полюса 0 откладываем перемещение 1, определяющее новое

удлинение l2 (отрезок С0B'') параллельно стержню СB. Так как мы считаем перемещения бесконечно малыми, то перемещения по окружности при пово-

роте стержней заменяем перемещениями по касательной. Поэтому для полу-

чения нового положения точки B проводим перпендикуляры к направлениям стержней AB и ВС из точек B' и B''.Точка пересечения этих перпендикуляров

и будет точкой B0 – новым положением точки В. По аналогии находятся но-

вые положения всех точек шарнирной схемы. Зная новые положения узлов,

легко построить деформированное состояние основной системы, результатом которого является эпюра Mt0,рн , построенная на основании п.п. 2 и 3 прило-

жения 1 с учетом полученных относительных смещений концов стержней

(перемещения AB и BC на рис. 6.14, б).

272

На основании принципа независимости действия сил получаем для основ-

ной системы полную эпюру от теплового воздействия Mt0 = Mt0,нн + Mt0,рн .

Дальнейший ход расчета аналогичен расчету на действие внешних нагру-

зок. Определение усилий в заданной расчётной схеме при тепловом воздей-

ствии на основании принципа независимости действия сил производится по

формуле

i=1

2. При неравномерной осадке опор и неточности изготовления стерж-

ней также происходит взаимное смещение узлов основной системы, что вы-

зывает деформацию стержней и появление в них усилий. Для построения де-

формированной схемы основной системы в этом случае также можно ис-

пользовать диаграмму перемещений при нулевых удлинениях (укорочениях)

стержней или непосредственное ее построение по заданным смещениям в случае простых рам..

Результатом деформированного состояния основной системы является эпюра M 0 , построенная на основании п.п. 2 и 3 приложения 1 с учетом полу-

ченных относительных смещений концов стержней.

Дальнейший ход расчета аналогичен расчету на действие внешних нагру-

зок. Определение усилий в заданной расчётной схеме при неравномерной осадке опор или неточности изготовления стержней на основании принципа независимости действия сил производится по формуле

Рассмотрим несколько простейших примеров расчета методом перемеще-

ний на указанные воздействия.

Пример 6.5. Требуется построить эпюру изгибающих моментов Mt в раме,

показанной на рис. 6.15, а, при t1 = – 40˚C, при t2 = 20˚C. Рама изготовлена из

273

двутавра № 40 / ГОСТ 8239 – 89 ( Iz = 19 062 см4). Коэффициент линейного расширения =120·10-7 1/град. Высота сечения h = 0,4 м.

Жёсткость стержней рамы EI = 2,06·108·19062·10-8 = 39367,72 кН·м2.

Перепад температур: для ригеля t = |– 40– 20| = 60˚C, для стойки t =0.

Тепловое воздействие на уровне нейтральной оси в силу симметрии сече-

ния согласно (4.35): для ригеля: t0 = 0,5(– 40 + 20) = – 10˚C, для стойки t0 = 20˚C. Согласно этому разложение теплового воздействия на неравномерный и равномерный нагревы показано на рис. 6.15, б.

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы EI/4 = i.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу ли-

нейной неподвижности её узлов nк = nу = 1. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным r11Z1 + R1F = 0.

2.Основную систему получим введением одной дополнительной угловой связи (рис. 6.15, в).

3.Деформированную схему основной системы от принудительного пово-

рота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующую ей эпюру M10 (рис. 6.15, г) строим с помощью приложения 1.

4. С помощью приложения 1 строим эпюру Mt0,нн (рис. 6.15, д) в основной системе от действия неравномерного нагрева.

5. Для учета равномерного нагрева определяем изменения длин стержней:

для стойки lt1= αt·20·4 = 80αt м; для ригеля lt2= αt·(–10)·4 = – 40 αt м. Так как жесткий узел рамы связан с двумя неподвижными опорами, эти значения дают возможность определить новое положение узла и построить деформи-

рованную схему основной системы (рис. 6.15, е), по которой с использование приложения 1 строим эпюру Mt0,нн .

6. Строим общую эпюру от теплового воздействия в основной системе на основании принципа независимости действия сил Mt0 = Mt0,нн + Mt0,рн (рис. 6.15,

ж).

274

7. Реакции в дополнительной связи определим из условий равновесия

(рис. 6.15, з): r11 = 8i (кН·м/рад), R1t = – 780 αti (кН·м).

6. Запишем каноническое уравнение в численном виде 8iZ1 – 780 αti = 0,

откуда Z1 = 97,5αt (рад).

8. Эпюру изгибающих моментов в заданной раме строим по формуле

(6.11) M t = M10 Z1 + M t0 (рис. 6.15, и). Эпюра Mt представлена в двух вариантах:

с множителем αti и с действительными значениями при αti = 0,1180316.

Пример 6.6. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M в ра-

ме, показанной в примере 6.5, при следующих значениях осадок опор: φ =

0,12 рад, 1 = 0,08 м, 2 = 0,04 м (рис. 6.16, а).

Решение. 1. Каноническое уравнение метода перемещений r11Z1 + R1 = 0. 2. Основную систему, эпюру M10 и значение коэффициента при неизвест-

ном r11 = 8i (кН·м/рад) см. пример 6.5 (см. рис. 6.15, в, г, з).

3. Рассмотрим отдельно воздействие в основной системе влияние угла по-

ворота левой опоры и линейных осадок правой.

При повороте левой опоры на угол φ деформируется только стойка рамы.

Эпюру M φ0 строим с использованием приложения 1, умножая ординаты соот-

ветствующей схемы на величину φ (рис. 6.16, б).

При линейных смещениях правой опоры основная система будет дефор-

мироваться (рис. 6.16, в), и соответствующую ей эпюру M 0′ строим с исполь-

зованием приложения, умножая ординаты соответствующих схем на величи-

ны относительных смещений концов стержней.

4.Строим общую эпюру от осадки опор в основной системе на основании принципа независимости действия сил M 0 = M φ0 + M 0′ (рис. 6.16, г).

5.Реакции в дополнительной связи от осадки опор определим из условий равновесия (рис. 6.16, д): R1 = 0,06i (кН·м).

6.Запишем каноническое уравнение в численном виде 8iZ1 + 0,06ti = 0,

откуда Z1 = – 0,0075 ( рад).

275

7. Эпюру изгибающих моментов в заданной раме строим по формуле

(6.12) M = M10 Z1 + M 0 (рис. 6.16, и). Эпюра M представлена в двух вариантах:

с множителем i и с действительными значениями при i = 9841,93 кН·м.

Пример 6.7. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M в ра-

ме, показанной в примере 6.5, если ригель рамы изготовлен короче на вели-

полнительной связи, деформироваться в основной системе будет лишь стой-

ка рамы (рис. 6.17, а), и эпюру M для нее строим с использованием с прило-

жения 1, умножая значения соответствующей схемы на величину относи-

тельного смещения концов стойки.

4.Реакции в дополнительной связи от осадки опор определим из условий равновесия (рис. 6.16, б): R1 = – 0,06 i (кН·м).

5.Запишем каноническое уравнение в численном виде 8iZ1 – 0,06 i = 0,

откуда Z1 = 0,0075 (рад).

6. Эпюру изгибающих моментов в заданной раме строим по формуле (6.9)

жителем i и с действительными значениями при i = 9841,93 кН·м.

6.5.Упрощения при использовании метода перемещений

6.5.1.Использование основной системы без постановки линейных

связей

Рассмотрим свободную раму, изображённую на рис. 6.18, а. Эта рама име-

ет два жёстких узла A и B, способных к повороту, и два возможных линейных

276

смещения ригелей по горизонтали, т.е. nк = 4. Основная система для расчёта методом перемещений приведена на рис. 6.18, б.

Особенностью данной рамы является возможность определения попереч-

ных сил в стойках AB и BC непосредственно из уравнений равновесия.

Действительно, QA = ∑Fверх = – F1; QB = ∑Fверх = – F1 + qh2;

QBC = ∑Fверх = – F1 + qh2 + F3.

Данная особенность позволяет понизить порядок канонических уравнений при использовании упрощённой основной системы (рис. 6.18, в), отличаю-

щуюся от изображённой на рис. 6.18, б, отсутствием дополнительных линей-

ных связей. Это возможно, если при расчете применить дополнительные таб-

лицы реакций для стержней типов 1 и 2 (рис. 6.19), учитывающие смещение

«плавающих» заделок при повороте самой связи и действии внешней нагруз-

ки. Эти дополнительные таблицы, получаемые на основе метода сил, показа-

ны в приложениях 1 (п. 5 и 6) и 2 (п. 5 – 8).

Рассмотрим несколько примеров применения основной системы метода

перемещений без постановки линейных связей.

Пример 6.8. Требуется построить эпюру изгибающих моментов MF в ра-

ме, показанной на рис. 6.20, а.

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы:

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу ли-

нейной подвижности её узлов nк + nл =1 + 2 = 3.

В рассматриваемой раме поперечные силы в стойках могут быть опреде-

лены непосредственно: Q = ∑Fверх = 12 кН, поэтому горизонтальные допол-

нительные линейные связи при образовании основной системы можно не ставить (рис. 6.20, б). Следовательно, каноническое уравнение метода пере-

мещений будет единственным: r11Z1 + R1F = 0.

277

2. Деформированная схема основной системы от принудительного пово-

рота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующая ей

эпюра M10 , построенная c использованием приложения 1, показаны на рис.

6.20, в. При этом для ригелей рамы эпюра M10 строится по классическим таб-

лицам метода перемещений (см. п. 1 и 4 приложения 1), а для стоек – по таб-

лицам, учитывающим возможность смещения концов стержней относительно друг друга (см. п. 6 приложения 1).

3. Эпюра M F0 ( рис. 6.20, г) в основной системе от действия внешней на-

грузки также строится по двум типам таблиц: для загруженного правого ри-

геля рамы – по п. 4 приложения 2, а для стоек – по п. 6 приложения 2 при v =

1. Для верхней и нижней стойки основной системы эпюра M F0 будет одина-

кова, так как ввиду отсутствия горизонтальных связей на верхнее сечение нижней стойки действует горизонтальная сила F = Q = ∑Fверх = 12 кН.

Пример 6.9. Требуется построить эпюру изгибающих моментов MF в ра-

ме, показанной на рис. 6.22, а.

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы, так как для всех стержней, кроме консоли, i = EI/6. Консоль является статически определимой

278

частью расчётной схемы, поэтому величина её жёсткости не имеет значения при расчёте методом перемещений.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу ли-

нейной подвижности её узлов nк + nл =1 + 1 = 2.

В рассматриваемой раме поперечные силы в стойке могут быть определе-

ны непосредственно:

QB = ∑Fверх = 21 − 28 = − 7 кН; QA = ∑Fверх = 21 − 28 + 3,5 ·6= 14 кН.

Следовательно, горизонтальную дополнительную линейную связь при образовании основной системы можно не ставить (рис. 6.22, б), и канониче-

ское уравнение метода перемещений будет единственным: r11Z1 + R1F = 0. 2. Деформированную схему основной системы от принудительного пово-

рота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующую ей эпюру M10 (рис.6.22, в), строим с использованием приложения 1.

При этом для ригелей рамы эпюра M10 строится по классическим табли-

цам метода перемещений (см. п. 1 и 4 приложения 1), а для стойки – по таб-

лице, учитывающей возможность смещения концов стержня относительно друг друга (см. п. 5 приложения 1). Стойка основной системы в данной зада-

че является статически определимым стержнем, поэтому при отсутствии её изгиба M10 =0.

3. Эпюру M F0 (рис. 6.22, г) в основной системе от действия внешней на-

грузки также строим по двум типам таблиц: для загруженного правого риге-

ля рамы – по п. 3 приложения 2, а для стойки – по п. 6 и 7 приложения 2. При построения полной эпюры M F0 для стойки используется принцип независи-

мости действия сил, и эпюру M F0 получая ее как сумму эпюр от двух загру-

жений (рис. 6.22, д): от горизонтальной силы F = QB = − 7 кН (см. п. 6 при-

ложения 2, при v =1) и действующей на стержень равномерно распределён-

ной нагрузки q = 3,5 кН/м (см. п. 7 приложения 2).

279

M F = M10 Z1 + M F0 . Слагаемые приведённой формулы и результат сложения при-

ведены на рис. 6.23. а.

7. Проверка равновесия жёсткого узла по полученной эпюре MF показана

на рис. 6.23, б.

6.5.2. Учет симметрии

При расчёте симметричных рам методом перемещений используются те

же приёмы, что и при расчёте методом сил, а именно, способ группировки неизвестных и способ разложения нагрузки.

При использовании способа группировки неизвестных перемещения сим-

метрично расположенных узлов основной системы можно представлять в ви-

де суммы (Zi + Zk) и разности (Zi − Zk), т.е. таким образом, чтобы эпюры M i0 и

M k0 от принудительного единичного смещения дополнительных связей были симметричными и кососимметричными. Тогда побочные коэффициенты сис-

темы канонических уравнений, определяемые по этим эпюрам изгибающих моментов rik = rki = 0.

Неудобство этого способа состоит в необходимости определять группо-

вые реакции в связях, а для стержней, пересекающих оси симметрии – стро-

ить суммарные эпюры изгибающих моментов от симметричных или косо-

симметричных смещений дополнительных связей.

Способ разложения нагрузки более нагляден. Например, симметричная рама, изображённая на рис. 6.24, а, имеет шесть угловых и два линейных смещения (nк = 8, рис. 6.24, б). При симметричном загружении на основании свойства 1 (см. подразд. 5.5) можно рассмотреть только половину схемы, в

280