Текст

Матрицы, входящие в (4.62), могут быть составлены для всей конструк-

ции или для ее части, состоящей из совокупности элементов.

Пример 4.8. Требуется для балки, приведенной на рис.4.13, а, опреде-

лить угол поворота сечения, примыкающего к опоре K, линейные перемеще-

ния узлов расчётной схемы в матричной форме.

Решение. Для решения используем эпюры изгибающих моментов грузово-

го и вспомогательных состояний расчетной схемы (рис. 4.13, а – д), постро-

енные при решении примера 4.2.

1. Из анализа построенных эпюр усилий назначаем расчетные сечения на

каждом участке стержня. Число расчетных участков m = 4, а число расчет-

ных сечений, удовлетворяющих все используемые эпюры усилий, s = 9 (рис. 4.31).

2. Определяем матрицы податливости для каждого участка расчетной схемы. Обозначения матриц принимаем по номерам концевых сечений и

191

3. Составляем квазидиагональную матрицу податливости не связанных между собой элементов. Размер матрицы (s x s)=(9 x 9) обусловлен числом расчетных сечений.

4. Составляем матрицы усилий, входящие в выражение (4.56).

Для данного примера число искомых перемещений u = 4, число вариантов за-

гружений p = 1. Следовательно, порядок матрицы b1 будет (s x u) = (9 х 4), а

порядок матрицы S – ( s x p) = (9 x 1).

Знаки концевых усилий (сечения 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9) проставляются со-

гласно правилу показанному в подразд. 2.8 (рис. 2.63). Для сечений, распо-

ложенных в середине участка действия равномерно распределенной нагрузки

(для данного примера – сечение 6) будем использовать следующее правило

знаков: если ордината эпюры моментов отложена от оси стержня в сторону действия нагрузки, то в матрицах усилий она проставляется знаком (+), в

противном случае – со знаком (–).

№ сечений

192

В матрице b1 каждый столбец заполняем согласно вспомогательному со-

стоянию: 1-й столбец – по эпюре M1 (см. рис. 4.13, б), 2-й столбец – по эпюре

M2 (см. рис. 4.13, в), 3-й столбец – по эпюре M3 (см. рис. 4.13, г) и 4-й столбец

– по эпюре M4 (см. рис. 4.13, д). Единственный столбец матрицы S заполня-

ется по эпюре MF (см. рис. 4.13, а). Каждая строчка матриц b1 и S соответст-

вует номеру расчетного сечения.

5. Производим транспонирование матрицы b1.

4.6.3. Матричная форма основных принципов строительной механики

Запишем (4.16), являющееся аналитическим выражением принципа воз-

можных перемещений в матричной форме. Для этого представим силы Fi,

193

усилия Sj , перемещения Zi и деформации vj в виде матриц (см. подразд.

2.8). Полагая, что i =1,2,...n, а j = 1,2,...m, имеем:

и транспонированные по отношению к Z и v матрицы:

По аналогии для левой части (4.16):

n

∑ Fi Zi = ZтP.

i=1

(4.64)

Подставляя (4.63) и (4.64) в (4.16), получим матричную запись принципа возможных перемещений:

Матричную запись принципа возможных изменений напряженного со-

194

Контрольные вопросы

1. Какие перемещения упругих систем называют действительными, а ка-

кие – возможными?

2.Что понимается под действительной и возможной работой силы?

3.В чем различие в вычислениях действительной и возможной работ?

4.Как связаны работы внешних и внутренних сил упругой системы.

5.Сформулируйте принцип возможных перемещений.

6.Сформулируйте принцип возможного изменения напряженного состоя-

ния.

7.Сформулируйте теоремы о взаимности возможных работ, о взаимности возможных перемещений и взаимности возможных реакций.

8.Какой вид имеет формула определения перемещений (Максвелла-

Мора) для определения перемещений в плоских упругих расчетных схемах? 9. Какой вид принимает формула Максвелла-Мора при определении пе-

ремещений, если все стержни расчетной схемы работают в условиях изгиба и имеют постоянные сечения по длине?

9. Какой вид принимает формула Максвелла− Мора при определении пе-

ремещений в фермах?

10.Какой вид принимает формула Максвелла− Мора при определении перемещений в комбинированных расчетных схемах?

11.Какой вид имеет формула определения перемещений (Максвел-

ла− Мора) для определения перемещений в пространственных упругих рас-

четных схемах?

12. Какие состояния упругой системы необходимо рассмотреть для опре-

деления перемещений по формуле Максвелла− Мора?

13. Как определяется вспомогательное состояние упругой системы в за-

висимости от вида определяемого перемещения?

14. Какие практические способы используют при определении перемеще-

ний по формуле Максвелла− Мора?

195

15.Что представляет собой способ Верещагина?

16.Какие формулы перемножения эпюр Вы знаете?

17.Какие деформации могут возникать в стержнях расчетной схемы при тепловом воздействии, и каким видам указанного воздействия они соответ-

ствуют?

18. Как определяют перемещения в плоской расчетной схеме при тепло-

вом воздействии.

19.Как определяют перемещения, вызванные неравномерной осадкой опор и неточностью изготовления стержней?

20.Вызывает ли деформации стержней расчетной схемы неравномерная осадка опор?

21.Запишите формулу Максвелла – Мора в матричном виде и поясните смысловое значение входящих в нее матриц.

22.Что является элементами матриц податливости изгибаемых стержней

сдвумя и с одним расчетными сечениями и стержня, находящегося в усло-

виях одноосного напряженного состояния.

23.Запишите матричное выражение принципа возможных перемещений.

24.Запишите матричное выражение принципа возможного изменения на-

пряженного состояния.

196

Раздел II

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Глава 5

МЕТОД СИЛ

5.1. Свойства статически неопределимых систем. Степень статической неопределимости

К статически неопределимым системам относятся такие расчётные схе-

мы, в которых при действии произвольной нагрузки не все реакции и внут-

ренние силы могут быть определены из уравнений равновесия, т.е. такие сис-

темы, которые содержат избыточное для обеспечения геометрической неиз-

меняемости системы число связей.

Следовательно, число избыточных связей, удаление которых превращает систему в статически определимую и оставляет геометрически неиз-

меняемой, называется степенью статической неопределимости.

Таким образом, степень статической неопределимости nc связана со сте-

пенью свободы расчётной схемы W (см. подразд. 1.5) зависимостью:

nc = – W . (5.1)

Для плоских расчётных схем на основании зависимости (5.1) и формулы

(1.2) степень статической неопределимости может быть определена по фор-

муле:

Формула (5.2) имеет чётко выраженный статический смысл. Действи-

тельно, для каждого диска расчётной схемы можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, если расчётная схема содержит Д дисков, то об-

щее число уравнений равновесия будет 3Д. Величина С – число связей, ре-

акции в которых подлежат определению, и при С > 3Д расчётная схема будет

197

статически неопределима столько раз, какова разница между указанными ве-

личинами.

В расчётных схемах, содержащих жёсткие соединения отдельных дисков,

образующих на плоскости замкнутые контуры, вместо (1.2) используют об-

щую зависимость (1.1), что не всегда удобно. Для практических расчётов ис-

пользуют другую формулу, пригодную для любых рамных и балочных сис-

тем, а именно

чётной схемой и основанием); Ш – число простых шарниров (или связей,

недостающих до полного защемления) расчётной схемы.

Статический смысл формулы (5.3) состоит в следующем. Любой бес-

шарнирный замкнутый контур является трижды статически неопределимым

(рис.5.1, а). Установка (врезка) одного простого шарнира удаляет одну связь,

т.е. понижает степень статической неопределимости на единицу (рис. 5.1, б), «врезка» двух шарниров (рис. 5.1, в) удаляет две связи, а «врезка» трех шар-

ниров делает контур статически определимым (рис. 5.1, д). Таким образом, в

формуле (5.2) величина 3K – степень статической неопределимости расчёт-

ной схемы в предположении, что в ней полностью отсутствуют шарниры (все связи – полное защемление), а Ш – величина, на которую понижена степень статической неопределимости из-за наличия шарниров.

Применение формул (5.2) и (5.3) покажем на примере рамы, изобра-

жённой на рис. 5.2, а.

1. Использование формулы (5.2). Число опорных связей Соп = 5. Для оп-

ределения числа шарниров удалим опорные связи (на рис. 5.2, б они условно показаны пунктирными линиями). Тогда в узле E число Ш =1, в узле С число Ш =2 и в узле D число Ш =1, т.е. в схеме число простых шарниров Ш = 4, а

число дисков Д = 3.

Следовательно, nc = (5 + 2·4) – 3 ·3 = 4.

198

2. Для облегчения использования формулы (5.3) покажем в узле C (рис.

5.2, в) раздельно шарниры, соединяющие диски расчётной схемы, и линей-

ную опорную связь. В узле D шарнирно неподвижную опору изобразим в ви-

де примыкающего к основанию кратного шарнира (что одно и то же). Кроме этого, обозначим все части плоскости на расчётной схеме, окружённые со всех сторон дисками и основанием (замкнутые контуры).

Таким образом, число замкнутых контуров K = 5, число простых шар-

ниров Ш = 11. Получение числа шарниров рассмотрим подробнее по узлам.

Узел А имеет шарнирно подвижную опору. Следовательно, число связей,

недостающих до полного защемления Ш = 2.

Узел Е имеет простой шарнир, соединяющий два диска, т.е. Ш = 1.

Узел С имеет два простых шарнира, соединяющие три диска схемы, и две

связи, недостающие до полного защемления в шарнирно подвижной опоре.

Узел D имеет два примыкающих к основанию шарнира.

Узел F имеет Ш =1 по аналогии с узлом А.

Итого по всем узлам расчётной схемы Ш = 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 11.

Следовательно, nc = 3·5 – 11 = 4.

Примечание. Определение числа простых шарниров в узлах со сквозными

и примыкающими шарнирами см. подразд. 1.3, рис. 1.7 и 1.8.

Степень статической неопределимости ферм на основании (1.6) и (5.1) оп-

Формула (5.4) также, как и предыдущие, имеет чётко выраженный ста-

тический смысл. В этом случае С – число опорных реакций и усилий в стержнях фермы, подлежащих определению, а 2У – число уравнений рав-

новесия, которые можно составить для всех узлов фермы, включая опорные.

Разница между этими величинами и определяет степень статической неоп-

ределимости.

199

В зависимости от образования расчётной схемы можно различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы,

хотя, как выяснится из дальнейшего, это разделение является условным.

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет в качестве избыточных только внешние связи, т.е. лишние опорные за-

крепления. Примером такой системы может служить рама, изображённая на рис. 5.3, а. Жёсткое соединение всех стержней рамы представляет собой один диск, для прикрепления которого к основанию достаточно трёх связей. Рама имеет восемь опорных связей: три – в опоре А, по две – в опорах B и C и одну

– в опоре D, т.е. пять связей – избыточные, и рама пять раз статически неоп-

ределима.

Внутренне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет минимально необходимое число опорных связей, а все избыточные связи принадлежат соединениям внутренних элементов расчётной схемы. На рис.5.3, б изображены трижды статически неопределимые рамы, прикреп-

лённые к основанию только тремя связями, т.е. внешние связи в этих рамах

не могут являться избыточными.

Отметим основные свойства статически неопределимых систем:

1. Статически неопределимые системы по сравнению со статически оп-

ределимыми более жёсткие, т.е. при одинаковых нагрузках перемещения в них значительно меньше.

2. В расчётных сечениях элементов статически неопределимой системы

усилия меньше, чем в статически определимых при той же нагрузке.

На рис. 5.4 а, б показаны трёхпролётная шарнирно-консольная балка и

неразрезная балка с таким же числом пролётов. Обе балки загружены одина-

ковой нагрузкой в первом пролёте. Наибольшим изгибающим моментов в шарнирно-консольной балке является Mб, действующий в сечении, где при-

ложена сила F. В том же сечении неразрезной балки расчётный изгибающий момент Mр < Mб. Аналогичное сравнение прогиба балок в точке приложения силы показывает, что 2 < 1.

200