Текст

Пример 5.4. Требуется определить усилия в консольной ферме, показан-

СФ = 9, Соп = 6

nc = С – 2 У = (9 + 6) – 2 ·7 = 1.

2. Каноническое уравнение имеет вид δ11X1 + 1F = 0.

3.Выбранная основная система показана на рис. 5.27, б.

4.Определим усилия в основной системе от единичной силы, прило-

женной по направлению удалённой связи, и построим эпюру N10 (рис. 5.27, в).

5. Определим усилия в основной системе от заданной нагрузки и строим

эпюруNF0 (рис. 5.27, г).

Дальнейший ход расчёта, включающий в себя определение коэффициента

при неизвестном, свободного члена, решение канонического уравнения и оп-

221

ределение усилий в заданной схеме фермы ( NF = N10 X1 + NF0 ), приведён в табл.

5.2.

5.4.Расчёт при наличии начальных деформаций

Кначальным деформациям в расчётных схемах относят тепловое воз-

действие, неравномерную осадку опор и неточность изготовления стержней.

Принципиально ход расчёта методом сил не меняется, так как основная сис-

тема не зависит от вида воздействия. Влияние воздействий на расчётную схему учитывается только свободными членами системы канонических урав-

нений, которые в общем случае можно представить в виде

Свободные члены системы канонических уравнений, как перемещения в статически определимой основной системе, определяются:

–при расчёте на тепловое воздействие – по формуле (4.41);

–при расчёте на неравномерную осадку опор – по формуле (4.42);

–при расчёте на неточность изготовления стержней – по формуле (4.43).

Так как в статически определимых расчётных схемах, каковой является основная система, начальные деформации не вызывают никаких усилий, то формулы (5.8 -5.10) по определению усилий в заданных схемах принимают вид

∙ для балок и рам

i =1

222

∙ для комбинированных систем

i =1

Основной особенностью поведения статически неопределимых расчётных схем при наличии начальных деформаций является прямая зависимость уси-

лий от жёсткости элементов конструкции: чем больше жёсткость, тем значи-

тельнее усилия.

Пример 5.5. Требуется построить эпюру изгибающих моментов Mt в ра-

ме, показанной на рис. 5.28, а, при тепловом воздействии на стержень CD.

Рама изготовлена из гнутого замкнутого металлического профиля 200х160х8/

ТУ 36 – 2287 – 80 ( Iz = 2147 см4). Коэффициент линейного расширения

=120·10-7 1/град. Высота сечения h = 0,2 м.

Решение.

1. Степень статической неопределимости при К =1 и Ш =2 nc = 3·1 – 2 = 1.

2. Каноническое уравнение имеет вид δ11X1 + 1t = 0.

3.Выбранная основная система показана на рис. 5.28, б.

4.Построим деформированную схему, определим усилия в основной сис-

теме от единичной силы, приложенной по направлению удалённой связи, и

построим эпюрыM10 и N10 (рис. 5.28, в).

5. Коэффициент при неизвестном

6. Построим деформированную схему основной системы от температур-

ного воздействия (рис. 5.28, г).

7. Свободный член канонического уравнения по формуле (4.41):

223

3.Выбранная основная система показана на рис. 5.29, б.

4.Построим деформированную схему, определим усилия в основной сис-

теме от единичной силы, приложенной по направлению удалённой связи, и

построим эпюру M10 (рис. 5.29, в).

5. Коэффициент при неизвестном

6.Построим деформированную схему основной системы от заданной осадки опор (рис. 5.29, г).

7.Свободный член канонического уравнения по формуле (4.42):

1 = – [ 1 ×0, 27 ] = – 0,045 ( м).

6

8. Значение неизвестного X1 = – 1 /δ11 = 0,01EI.

9. Эпюра изгибающих моментов M = M10 X1 показана в двух вариантах: с

общим множителем EI (рис. 5.29, д) и в действительных числах при EI = 2,06·108·2900·10-8 = 5974 кН·м2 (рис. 5.29, е).

224

Пример 5.7. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M в раме при условии, что её затяжка изготовлена на величину = 0,054 м короче,

чем запроектирована (рис. 5.30, а). Рама изготовлена из двутавра № 16/ГОСТ

8239 - 89 (Iz = 873 см4), а затяжка – из круглой стали d = 40 мм (A = 12,57 см2).

Жёсткость стержней рамы EI = 2,06·108·873·10-8 = 1798,4 кН·м2.

Жёсткость затяжки EА = 2,06·108·12,57·10-4 = 258 942 кН.

Соотношение жёсткостей EА/ EI = 258 942/1798,4 = 143,98 м-2.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К =2 и Ш =5 nc = 3·2 – 5 = 1.

2. Каноническое уравнение имеет вид δ11X1 + 1 = 0.

3.Выбранная основная система показана на рис. 5.30, б.

4.Построим деформированную схему, определим усилия в основной сис-

теме от единичной силы, приложенной по направлению удалённой связи, и

построим эпюру M10 (рис. 5.30, в).

5. Коэффициент при неизвестном

6.Построим деформированную схему основной системы при заданном укорочении затяжки . Так как в качестве неизвестного метода сил выбрано усилие в затяжке, изменение ее длины в основной системе скажется только на самой затяжке (рис. 5.30, г).

7.Свободный член канонического уравнения по формуле (4.43):

1 = 1·(– 0,054)= – 0,054 (м).

8. Значение неизвестного X1 = – 1 /δ11 = 5,972·10-3EI.

9. Эпюра изгибающих моментов M = M10 X1 показана в двух вариантах: с

общим множителем EI (рис. 5.30, д) и в действительных числах при EI =

1798,4 кН·м2 (рис. 5.30, е).

225

5.5. Упрощения при расчёте симметричных систем

Использование естественных свойств симметрии может значительно уп-

ростить расчёт любой расчётной схемы: как статически определимой, так и статически неопределимой. Особенно важно учитывать свойства симметрии при расчёте статически неопределимых систем, так как это позволяет уменьшить число разрешающих совместных уравнений. Следовательно,, ко-

гда появляется возможность понизить число основных неизвестных, её сле-

дует реализовать.

Симметричными принято называть такие системы, геометрические схе-

мы которых (влючая жёсткостные характеристики элементов) и расположе-

ние связей имеют одну или несколько общих осей симметрии.

Для всех сечений, расположенных на оси симметрии различают сим-

метричные и кососимметричные статические (усилия) и кинематические (пе-

ремещения) факторы. Так, для сечения A горизонтально ориентированного

стержня, расположенного на оси симметрии (рис.5.31), можно различить как:

горизонтальное перемещение горA .

Нагрузка, действующая на симметричную расчётную схему, может также обладать свойствами симметрии. Она может быть как симметричной, так и кососимметричной. Кососимметричной называют нагрузку, которая относи-

тельно оси симметрии отличается лишь знаками.

Для реализации возможных упрощений при расчёте симметричных систем сформулируем их основные свойства.

Свойство 1. В симметричной расчётной схеме, загруженной симметрично расположенной нагрузкой (рис. 5.32, а), деформационная схема (рис. 5.32, б),

эпюра изгибающих моментов (рис. 5.32, в) и эпюра продольных сил (рис.

226

5.32, д) симметричны, а эпюра поперечных сил (рис. 5.32, г) – кососиммет-

рична.

Следствие. В симметричной расчётной схеме, загруженной симметричной нагрузкой в сечениях, расположенных на оси симметрии, кососимметричные

статические и кинематические факторы равны нулю.

Например, для сечения А изображённой на рис. 5.32, а рамы, равны нулю

Свойство 2. В симметричной расчётной схеме, загруженной кососим-

метрично расположенной нагрузкой (рис. 5.33, а), деформационная схема

(рис. 5.33, б), эпюра изгибающих моментов (рис. 5.33, в) и эпюра про-

дольных сил (рис. 5.33, д) кососимметричны, а эпюра поперечных сил (рис.

5.32, г) – симметрична.

Следствие. В симметричной расчётной схеме, загруженной кососим-

метричной нагрузкой в сечениях, расположенных на оси симметрии, сим-

метричные статические и кинематические факторы равны нулю.

Например, для сечения А изображённой на рис. 5.33, а рамы, равны нулю

При действии на расчётную схему симметричной или кососимметричной нагрузок, используя свойства 1 и 2 и следствия к ним, можно рассматривать не всю расчётную схему, а лишь её симметричную часть.

Так для симметричной рамы, загруженной симметричной нагрузкой (рис. 5.34, а) и имеющей степень статической неопределимости nc =3, статические и кинематические условия для сечения А на оси симметрии будут следую-

щими:

Для того, чтобы симметричная часть расчётной схемы удовлетворяла этим условиям, необходимо на оси симметрии поставить подвижное в вертикаль-

ном направлении защемление. Степень статической неопределимости полу-

ченной схемы nc =2. Налицо сокращение числа канонических уравнений.

227

По аналогии, для симметричной рамы, загруженной кососимметричной нагрузкой (рис. 5.34, б) и имеющей степень статической неопределимости nc

=3, статические и кинематические условия для сечения А на оси симметрии

Для того, чтобы симметричная часть расчётной схемы удовлетворяла этим условиям, необходимо на оси симметрии поставить шарнирно подвижную опору, разрешающую горизонтальные смещения сечения А. Степень статиче-

ской неопределимости полученной схемы nc =1. В этом случае так же имеем сокращение числа канонических уравнений.

На основании вышеприведённых свойств симметричных расчётных схем используют два приёма упрощения расчётов симметричных систем: способ разложения нагрузки и способ группировки неизвестных.

Применение этих способов возможно лишь в случае использования сим-

метричных основных систем метода сил.

С п о с о б р а з л о ж е н и я н а г р у з к и

Любую произвольную нагрузку, действующую на симметричную расчёт-

ную схему, на основании принципа независимости действия сил всегда мож-

но разложить на симметричную и кососимметричную (рис. 5.35, а). Разложе-

ние должно удовлетворять следующему условию: сумма симметричного и кососимметричного загружений должна быть равна заданному загружению.

Расчёт от каждого вида загружения производится отдельно, а затем на ос-

новании принципа независимости действия сил результаты складываются.

Например, для расчётной схемы, работающей в условиях изгиба

M F = M Fс + M Fкс .

Рассмотрим подробнее, какие упрощения мы можем получить при ис-

пользовании способа разложения нагрузки, на примере трижды статической неопределимой рамы (рис. 5.35, а).

228

Выберем симметричную основную систему метода сил, симметрично уда-

лив избыточные связи путём «врезки» шарниров в опорные защемления и в середину ригеля рамы (рис. 5.35, б) и обозначив реакции в удалённых связях как Y1,Y2 и Y3.

При действии симметричной нагрузки (рис. 5.35, б) на основании свойст-

ва 1 получим, что Y3 = Y1= X1, а неизвестное Y2 обозначим через X2. В резуль-

тате получили два неизвестных и, следовательно, систему канонических уравнений второго порядка. При этом групповое неизвестное X1 и неизвест-

ное X2 являются симметричными.

При действии кососимметричной нагрузки (рис. 5.35, в) на основании свойства 2 получим, что Y3 = – Y1= X3, а неизвестное Y2 = 0. В результате по-

лучаем одно неизвестное и, следовательно, одно каноническое уравнение.

При этом групповое неизвестное X3 является кососимметричным.

В итоге, упростив расчет, для рассматриваемой рамы вместо системы уравнений с тремя неизвестными получим независимые друг от друга систе-

му уравнений с двумя неизвестными и одно уравнение с одним неизвестным.

В этом и состоит упрощение расчёта. Сумма неизвестных при обоих видах загружения равна степени статической неопределимости рамы, т.е. nс + nкс = nc.

Преимущество данного способа состоит в том, что он позволяет рассмат-

ривать при каждом виде загружения не всю расчётную схему, а лишь её сим-

метричную часть, как это было показано на рис. 5.34. Перед суммированием результатов на отброшенной при расчёте симметричной части эпюры усилий достраиваются из условий симметрии, сформулированных в свойствах 1 и 2.

Способ разложения, естественно, может быть применён не только при действии внешней нагрузки, но и при любых воздействиях на расчётную схему. На рис. 5.36 показаны примеры разложения на симметричное и косо-

симметричное теплового воздействия и неравномерной осадки опор.

229

С п о с о б г р у п п и р о в к и н и з в е с т н ы х

Рассмотрим симметричную дважды статически неопределимую раму (рис.

5.37, а), для которой выберем симметричную основную систему, удалив ле-

вую и правую шарнирно подвижные опоры. Неизвестные реакции в удалён-

ных связях Y1и Y2 представим в виде (рис. 5.37, б)

Y1 = X1 + X2 и Y2 = X1 – X2,

где X1 – групповое симметричное неизвестное; X2 – групповое кососиммет-

ричное неизвестное.

Канонические уравнения для указанных групповых неизвестных имеют

вид

В силу свойств симметрии в состояниях 1 и 2 (рис. 5.37, в, г) получим симметричную эпюруM10 и кососимметричную эпюруM 20 . Перемножение

этих эпюр даёт

Таким образом, при использовании способа группировки неизвестных система канонических уравнений, записанная для групповых неизвестных,

распадается из-за равенства нулю побочных коэффициентов на две группы:

для симметричных и кососимметричных неизвестных. В этом и состоит эф-

фект использования симметрии.

При этом эпюра M F0 грузового состояния (рис. 5.37, д) строится от задан-

ной нагрузки и может быть любой. Эпюра изгибающих моментов в заданной

230