Текст

Теперь рассмотрим балку AB и определим величины опорных реакций и

усилия в сечении k при действии на нее сил V1 и V2 .

Из полученных выражений видно, опорные реакции VA и RB, усилия в се-

чении k Mk и Qk при перемещении единичного груза в пределах настила 1 – 2 изменяются по линейному закону. Если же единичный груз находится в узлах настила, он непосредственно передается на главную балку AB, и орди-

наты линий влияния будут такими же, как и в случае перемещения груза по балке AB.

Следовательно, для построения какой-либо линии влияния при узловой пе-

редаче нагрузки необходимо построить линию влияния в предположении не-

посредственной передачи груза на расчетную схему, отметить ординаты

под узлами настила и соединить их прямыми линиями.

Покажем построение линии влияния Mk (рис. 3.21, в) для рассматриваемо-

го примера. Предположив, что единичный груз перемещается непосредст-

венно по балке AB, построим линию влияния Mk по правилам, сформулиро-

ванным в подразд. 3.2 (см. рис. 3.2, в). На построенной линии влияния под узлами настила 1 и 2 выделим ординаты y1 и y2. Учтем, что при расположе-

нии груза над крайними узлами настила 0 и 3, имеющими опоры за предела-

ми расчетной схемы, груз воспринимается этими опорами, и изгибающий момент в сечении k равен нулю (y0 = y2 = 0). Соединяя полученные ординаты

прямыми линиями, получим искомую линию влияния Mk.

Построение линии влияния Qk (рис. 3.21, г) производится аналогично: оп-

ремещении груза по балке AB, и соединяются прямыми линиями.

131

3.6. Линии влияния реакций и усилий в плоских фермах

3.6.1. Плоские балочные фермы

При построении линий влияния опорных реакций усилий в стержнях пло-

ских ферм следует учитывать следующие особенности:

1. Линии влияния вертикальных опорных реакций балочных ферм полно-

стью совпадают с аналогичными линиями влияния в простых балках.

2. Так как фермы нагружаются только в узлах, имеет место узловая пере-

дача нагрузки.

3. Подвижная нагрузка может перемещаться как по верхнему, так и по нижнему поясу фермы, что приводит в ряде случаев к различным очертаниям линий влияния.

Для определения усилий в стержнях ферм, как и при расчете на действие неподвижной нагрузки, используются способ сечений и способ вырезания узлов.

Принципы построения линий влияния усилий в стержнях простейших ба-

лочных ферм статическим способом рассмотрим на нескольких примерах.

Балочная ферма с треугольной решеткой (рис. 3.22, а). При нижнем ез-

довом поясе рассмотрим сечения I-I и II-II (рис. 3.22, б), проведеные через панели 3-4 и 4-5 ездового пояса.

Поскольку ферма балочная, то линии влияния вертикальных опорных ре-

акций будут такими же, как и для простой балки того же пролета (рис. 3.22, в

и г).

Сечение I-I разделяет ферму на два геометрически неизменяемых диска:

левый – от узла 3 и правый – от узла 4 (рис. 3.23, а, б). Следовательно, линия влияния любого из усилий, входящих в сечение, должна содержать левую и правую ветви. Покажем построение линий влияния усилий N3−4 и N3′−4

132

Предположим, что единичный груз перемещается слева от рассеченной панели 3-4 (см. рис. 3.23, а). В этом случае удобнее рассмотреть равновесие правой отсеченной части фермы.

Для определения усилия N3−4 моментной точкой является узел 3'. Относи-

тельно этой точки составляется уравнение равновесия для сил, приложенных к правой отсеченной части:

Левая ветвь (3.10) по очертанию совпадает с линией влияния RB с ордина-

тами, умноженными на 4d/h. Под опорой В откладываем ординату 4d/h и со-

единяем ее с нулем под левой опорой А – получаем положение левой ветви (1

на рис. 3.23, в). Из построенного графика используется его левая от узла 3

часть.

Теперь будем перемещать груз по правой отсеченной части (см. рис. 3.23,

б). В этом случае удобнее рассмотреть равновесие левой отсеченной части фермы.

Тогда

Правая ветвь (3.11) по очертанию должна быть такой же, как и линия влияния VA, но все ее ординаты должны быть умножены на 2d/h. Для по-

строения правой ветви под опорой А откладываем ординату и соединяем с нулем на правой опоре – получаем положение правой ветви (2 на рис. 3.23,

в). Из построенного графика используется его правая от узла 4 часть.

В пределах рассеченной панели ездового пояса ординаты левой и правой ветвей соединяются передаточной прямой (3 на рис. 3.23, в) вследствие узло-

133

вой передачи нагрузки. Для данной линии влияния она совпадает с правой ветвью.

Из построенных ветвей линии влияния видно, что они пересекаются под моментной точкой 3'.

Для усилия в стержне 3'-4 моментная точка находится в бесконечности,

так как стержни 3'-4' и 3-4 параллельны. Приведем рациональную систему записи вычислений при построении линий влияния.

Линия влияния N3'-4.

Сечение I-I, моментная точка в ∞, рассеченная панель 3-4.

Груз слева (равновесие правой части): ∑Y прав = N3′-4 cos α + RB = 0;

N3′-4 = −RB / cos α - уравнение левой ветви.

Левая ветвь по очертанию совпадает с линией влияния RB с ординатами,

умноженными на (– 1 /cos α). Под опорой В откладываем ординату (– 1 /cos α)

и соединяем ее с нулем под левой опорой А – получаем положение левой ветви (1 на рис. 3.23, г). Из построенного графика используется его левая от узла 3 часть.

Груз справа (равновесие левой части): ∑Y лев = −N3′-4 cos α + VA = 0;

N3′-4 = VA / cos α - уравнение правой ветви.

Правая ветвь по очертанию совпадает с линией влияния VA с ординатами,

умноженными на 1/cos α. Под опорой A откладываем ординату 1/cos α и со-

единяем ее с нулем под правой опорой B – получаем положение правой ветви

(2 на рис. 3.23, г). Из построенного графика используется его правая от узла 4

часть. В пределах рассеченной панели ездового пояса ординаты левой и пра-

вой ветвей соединяются передаточной прямой (3 на рис. 3.23, г).

На основании построенных линий влияния можно сформулировать прави-

ла, позволяющие облегчить построение линий влияния, рассматривая поло-

жение единичного груз только на одной из отсеченных частей фермы:

∙ при наличии моментной точки для определяемого усилия левая и пра-

вая ветви пересекаются под моментной точкой;

134

∙ если моментная точка находится в бесконечности, левая и правая ветви

параллельны.

Теперь рассмотрим сечение II-II (рис. 3.24, а, б) и построим линию

влияния усилия в стержне 5-5'.

Линия влияния N5-5'.

Сечение II-II, моментная точка m, рассеченная панель 4-5.

Груз слева (равновесие правой части): ∑ M прав = N5-5′ (c + 3d ) + RB (c + d ) = 0;

соединяем ее с нулем под левой опорой А – получаем положение левой ветви

(1 на рис. 3.24, г). Из построенного графика используется его левая от узла 4

часть.

Для построения правой ветви воспользуемся выше приведенными прави-

лами. Для этого найдем точку m1, расположенную под моментной точкой m и

находящуюся на линии 1 (рис. 3.24, в). Соединяя точку m1 с нулем на правой опоре B, получим положение правой ветви (2 на рис. 3.24, в). Из построенно-

го графика используется его часть между узлами 5 и 8. В пределах рассечен-

ной панели ездового пояса ординаты левой и правой ветвей соединяются пе-

редаточной прямой (3 на рис. 3.24, в).

Если ездовым является верхний пояс фермы (езда поверху), то очевидно,

что уравнения левой и правой ветвей линии влияния не изменится; изменится лишь положение передаточной прямой 3, так рассеченной будет панель верхнего пояса 5-6. Линия влияния N5-5' при езде поверху представлена на рис. 3. 24, г.

Для консольно - балочной фермы (рис. 3.25, а) покажем построение ли-

ний влияния усилий в стойках 1 -1', 3 -3', 5 -5' и 3 - 4 нижнего пояса (узлы

1, 3 и сечения I-I, II-II на рис. 3.25, б).

135

Поскольку ферма является балочной, то линии влияния опорных реакций строятся точно так же, как и в простой балке. Например, линия влияния ре-

акции VB показана на рис. З.25, в.

Линия влияния N1 -1'.

При рассмотрении равновесия узла 1 возможны два случая.

1.Груз вне узла 1 (рис. 3.25, г): N1 -1' = 0.

2.Груз в узле 1 (рис. 3.25, д): N1 -1' = 1.

Всоответствии с этим под всеми узлами фермы, кроме узла 1, ординаты

линии влияния будут равны нулю, а под узлом 1 – единице. В силу узлового

характера передачи нагрузки все ординаты соединяем отрезками прямых.

Линия влияния N1 -1' показана на рис. 3.25, е.

Линия влияния N3 -3'.

При рассмотрении равновесия узла 3 также возможны два случая.

В соответствии с этим под всеми узлами фермы, кроме узла 3, ординаты линии влияния N3 -3' будут ординатам линии влияния с обратным знаком VB, а

под узлом 3 – нулю. В силу узлового характера передачи нагрузки все орди-

наты соединяем отрезками прямых. Линия влияния N3-3' показана на рис. 3.25, и.

Примечание. При езде понизу линии влияния в стойках 0 -0', 2 -2', 6 -6'

на основании частного случая равновесия узлов (см. разд. 2.6, рис. 2.34, в)

будут нулевыми (рис. 3.25, к).

Линия влияния N3 -4.

Сечение I-I (рис. 3.26, а), моментная точка 3', рассеченная панель 3-4.

Груз справа (равновесие правой части): ∑ M 3прав′ = N3-4 ×h +1×(3d - x1 ) = 0,

N3-4 = −(3d − x1 ) / h – уравнение правой ветви.

Строим правую ветвь (2 на рис. 3.26, б): при x1 = 0 N3-4 = – 3 d/h; при x1 = d N3-4 = – 2 d/h; при x1 = 3 d N3-4 = 0.

136

При расположении груз слева от рассеченной панели, консольная часть фермы не загружена, следовательно, усилия во всех стержнях правой отсе-

ченной части равны нулю. Таким образом, и N3-4 = 0, т.е. ее левая ветвь (1 на рис. 3.26, б) будет нулевой. Передаточная прямая (3 на рис. 3.26, б) совпадает с правой ветвью.

Линия влияния N4-4'.

Сечение II-II (рис. 3.26, в), моментная точка m, рассеченная панель 4-5.

Груз справа (равновесие правой части): ∑ M mправ = -N4-4′ (c + 2d ) -1×(c + x1 ) = 0,

N4-4′ = −(c + x1 ) /(c + 2d ) – уравнение правой ветви.

Строим правую ветвь (2 на рис. 3.26, г): при x1 = 0 N4-4' = – c/(c+2d); при x1 = 2d N4-4' = – 1; при x1 = d N4-4' = – ( c+d)/(c+2d).

При расположении груз слева от рассеченной панели, консольная часть фермы не загружена, следовательно, усилия во всех стержнях правой отсе-

ченной части равны нулю. Таким образом, и N4-4' = 0, т.е. ее левая ветвь (1 на рис. 3.26, г) будет нулевой. Левая и правая ветви пересекаются в точке m1–

проекции моментной точки m. Передаточная прямая представлена отрезком 3

на рис. 3.26, г.

При изменении ездового пояса (езда поверху) рассеченной панелью для стержня 4-4' будет панель 3'-4', уравнения ветвей останутся теми же, а пере-

даточная прямая сместится влево (рис. 3.26, д).

3.6.2. Шпренгельные фермы

Построение линий влияния усилий в шпренгельных фермах производится на тех же принципах, что и при расчете на действие неподвижной нагрузки

(см. разд. 2.6).

Рассмотрим балочную шпренгельную ферму с ездой по верхнему поясу

(рис. 3.27, а). Поскольку ферма является балочной будем считать, что линии влияния вертикальных опорных реакций VA и RB известны. Проведем сече-

ние I-I и рассмотрим равновесие левой отсеченной части основной (при от-

137

сутствии шпренгелей) фермы ( рис. 3.27, б), полагая, что единичный груз пе-

ремещается по правой части. Построим линии влияния усилий в стержнях основной фермы, входящих в сечение I-I.

6d N4о-6 = 0. Из построенного графика действительна только правая от узла 6

часть.

Левая ветвь (1 на рис. 3.27, в) имеет нулевую точку под правой опорой и пересекается с правой ветвью под моментной точкой 6'. Левая ветвь действи-

тельна до узла 4. Передаточная прямая 3 для линии влияния N4о-6 совпадает с

6d N4о′-6′ = 0. Из построенного графика действительна только правая от узла 6

часть.

Левая ветвь (1 на рис. 3.27, г) имеет нулевую точку под правой опорой и пересекается с правой ветвью под моментной точкой 4. Левая ветвь действи-

тельна до узла 4. Передаточная прямая 3 для линии влияния N4о′-6′ совпадает с правой ветвью.

Поскольку стержень 4'-6'является стержнем только основной фермы, то линия влияния N4о′-6′ является и линией влияния N4′-6′ для заданной схемы.

Линия влияния N4о-6′ .

Моментная точка в ∞, рассеченная панель 4-6.

138

Груз справа: ∑Y лев = -N4о-6′ ×sin a +VA = 0, N = VA / sin α – уравнение правой

ветви. Строим правую ветвь (2 на рис. 3.27, д) как линию влияния VA, умно-

жая все ее ординаты на 1/sinα. Из построенного графика действительна только правая от узла 6 часть.

Левую ветвь (1 на рис. 3.27, д) строим как параллельную правой с нулевой точкой по опорой А. Левая ветвь действительна до узла 4. Передаточная пря-

мая представлена отрезком 3 на рис. 3.27, д.

Стержень основной фермы 4-6' является также стержнем 5'-6' заданной расчетной схемы. Поэтому линия влияния N4-6' является также линией влия-

ния N5'-6' .

Для построения линий влияния усилий в стержнях шпренгеля, рассмотрим дополнительную ферму в панели 4-6 (рис. 3.27, е). Легко заметить, что если единичный груз не приложен в узле 5, то дополнительная ферма не работает.

При загружении узла 5 можно вырезать ее опорный узел (рис. 3.27, ж) и оп-

ределить усилия:

N4ш-5 = N5ш-6 = 0,5ctgα = 0, 5d / h; N4ш-5′ = N5ш′-6 = 0, 5 / sinα .

Полученные значения усилий определяют ординаты линий влияния при расположении груза в узле 5. В силу узлового характера передачи нагрузки данные ординаты соединяем с нулевыми в узлах 4 и 6 отрезками прямых.

Линии влияния для стержней шпренгеля показаны на рис. 3. 27, з и и.

3.6.3. Распорные фермы

При построении линий влияния усилий в стержнях распорных ферм мож-

но использовать способ нулевой точки (см. подразд. 3.4).

Рассмотрим распорную ферму (рис. 3.38, а), для которой необходимо по-

строить линии влияния усилий в стержнях 1'-2'и 3-4.

Линия влияния N1'-2'.

Сечение I-I, моментная точка 1, рассеченная панель 1-2 (рис. 3.28, б).

139

Груз справа от шарнира С: ∑ M1лев = -N1′-2′ × r1 +VA × d - Hf = 0,

N1′-2′ = (VA × d - Hf ) / r1 = 0, – уравнение первой правой ветви (2 на рис. 3.28, в).

Используем полученное выражение, представляющее собой уравнение из-

гибающего момента в сечении 1 сплошной арки, разделенного на r1. Положе-

ние груза между узлами 2 и С линию действия реакции VA проводим через моментную точку 1, а линию действия VB – через шарнир С. Пересечение ли-

ний действия реакций в О1 определяет положение нулевой точки. Для полу-

чения первой правой ветви необходимо отложить под опорой А ординату d/r1 и соединить с O1′ – проекцией точки О1 на линии влияния.

Левая и вторая правые ветви (1 и 3 на рис. 3.28, в) строятся как и прежде.

Левая и первая правая ветви пересекаются под моментной точкой. В преде-

лах рассеченной панели ездового пояса проводится передаточная прямая (4

на рис. 3.28, в).

Линия влияния N3'-4.

Сечение II-II, моментная точка 2, рассеченная панель 3-4 (рис. 3.28, г).

Груз слева от шарнира С: ∑ M 2прав = N3′-4 × r2 +VB ×4d + Hf = 0,

N3′-4 = (VB × 4d - Hf ) / r2 = 0, – уравнение первой левой ветви (1 на рис. 3.28, д).

Используем полученное выражение, представляющее собой уравнение из-

гибающего момента в сечении 2 сплошной арки, разделенного на r2. Положе-

ние груза между узлами 3 и С линию действия реакции VВ проводим через моментную точку 2, а линию действия VА – через шарнир С. Пересечение ли-

ний действия реакций в О2 определяет положение мнимой нулевой точки.

Вторая левая и правые ветви (2 и 3 на рис. 3.28, д) должны пересечься под моментной точкой (21 на рис. 3.28, д); исходя из этого соединяем нулевую ординату на опоре В с точкой 21– получаем правую ветвь. В пределах рассе-

ченной панели ездового пояса проводится передаточная прямая (4 на рис. 3.28, д).

140