Текст

усилий удобнее и проще произвести, рассматривая равновесие нижней части. В

качестве системы координат при этом используем местную систему координат для стержня, которому принадлежит сечение k; ось x направлена по оси стерж-

ня, ось y – перпендикулярно оси. Это правило будем использовать и в дальней-

ших расчётах.

Тогда

Qk = ∑ F yниз = HA – F1, Nk = ∑Fxниз = – VA,

Mk = ∑Mниз = HA ·h1 (растянуты правые волокна).

Балочные и рамные расчётные схемы, как было указано ранее, разделяются на однодисковые и многодисковые. Поэтому порядок расчёта при определении усилий в сечениях таких схем состоит в следующем:

1.Производится анализ геометрической неизменяемости (см. подразд. 1.5) и

устанавливается порядок образования расчётной схемы.

2.Устанавливается порядок определения реакций в связях составляющих расчётную схему отдельных дисков.

3.Для каждого отдельного диска определяются усилия в расчётных сечени-

ях и строятся эпюры M, Q и N с последующим (или одновременным) их объе-

динением в общие эпюры усилий для всей расчётной схемы.

Рассмотрим примеры построения эпюр усилий для указанного типа расчёт-

ных схем.

Пример 2.1. Требуется построить эпюры M, Q и N для балки с осью ломано-

го очертания (рис. 2.8, а).

Решение. 1. Производим анализ прикрепления балки к основанию. Балка имеет одну линейную опорную связь и подвижное в вертикальном направлении защемление (рис.2.8, а), что соответствует условия прикрепления одного диска

коснованию (см. подразд. 1.5.2).

2.Направления опорных реакций после удаления связей показаны на рис.2.8, б в соответствии с табл. 1.1.

51

Из рис.2.8, б видно, что неизвестными являются одна горизонтальная HA,

одна вертикальная RВ и момент в заделке MA. Поэтому для данной задачи удоб-

но использовать первую форму уравнений равновесия (табл. 2.1, п.5), взяв для третьего уравнения в качестве моментной точку k пересечения линий действия

HA и RВ. Для проверки можно использовать любую другую моментную точку

Показываем найденные опорные реакции на схеме балки (рис.2.8, в) и про-

изводим проверку, приняв в качестве моментной точку n:

∑Мn=0; 4·2 – 16 – 6·2 + 12·4 – 4·1 – 6·4 = 56 – 56 = 0.

Уравнение равновесия удовлетворяется, следовательно, определение реак-

ций произведено верно.

3. Для определения усилий назначаем сечения, в которых будем определять их значения (рис.2.8, в).

Участок 1 – 2: между сечениями 1 и 2 нагрузка отсутствует. Следовательно,

на основании дифференциальных зависимостей 2.1, эпюра Q должна быть по-

стоянной, эпюра M должна быть очерчена по прямой. Так как в расчётной схе-

ме приложенная нагрузка по отношению к осям стержней ортогональна, про-

дольные силы в пределах всех участках будут постоянны.

Q1= Q2= ∑ Fyлев = 0, следовательно, эпюра M на участке постоянна.

M1= M2= ∑ M лев = – 16 кН·м.

N1= N2= ∑ Fxлев = – 4 кН.

На участках 3 – 4 и 5 – 6 нагрузки между сечениями также отсутствуют. По-

тому эпюры Q на этих участках постоянны, а эпюры M имеют линейный харак-

тер

Участок 3 – 4.

Q3= Q4= ∑ Fyлев = 6 кН.

52

M5= M4= – 4 кН·м.

M6= ∑ M лев = – 16 + 6 ·4 – 12 ·2 = – 16 кН·м.

N5= N6= N3= N4= – 4 кН.

Участок 10 – 9.

∑ Fyлев = 6 кН.

M10= ∑ M лев = 0 (крайнее сечение консоли).

M9= ∑ M лев = 6·2 = 12 кН·м.

N10= N9= ∑ Fxлев = 0.

Участок 7 – 8: загружен равномерно распределённой нагрузкой. Следова-

тельно, эпюра M должна быть очерчена по квадратной параболе выпуклостью влево, а эпюра Q должна быть наклонной прямой.

Q8= ∑ Fyниз = 0, Q7= ∑ Fyниз = 2·2 = 4 кН.

M8= ∑ M низ = 6·2 = 12 кН·м (растянутые волокна – справа).

M7= M6= ∑ M низ = 6·2 + 2·2·1 = 16 кН·м (растянутые волокна – справа).

4.По полученным значениям усилий строим эпюры M, Q и N (рис.2.8, г – е).

5.Производим визуальную проверку правильности построения эпюр усилий на основании правил, сформулированных в подразд. 2.1.

6.Производим проверки равновесия узлов. Для этого, последовательно вы-

резая узлы расчётной схемы, прикладываем в сечениях, подходящих к узлу, все найденные усилия и внешнюю узловую нагрузку, если таковая в вырезаемом узле действует. Направления усилий, действующих в сечениях, определяются ранее принятым правилом знаков (см. рис. 2.7). Для облегчения направления изгибающих моментов в вырезаемых узлах растянутые волокна можно отме-

53

чать пунктиром (рис. 2.8, ж, з). Для каждого вырезанного узла должны выпол-

няться три уравнения равновесия:

∑ X = 0, ∑ Y = 0 и ∑ Mузл =0.

На рис. 2.8, ж, з показано равновесие верхнего и нижнего узлов расчётной схемы.

На основании только что примера 2.1 в дополнение к правилам построения эпюр усилий, сформулированным в подразд. 2.1, можно сделать следующие выводы:

• Нет необходимости определять изгибающие моменты в обоих соседних сечениях на границах участков, если только на этой границе не приложен внешний сосредоточенный момент. Изгибающие моменты в этих сечениях рав-

ны, так они расположены друг от друга на бесконечно малом расстоянии, кото-

рое не влияет на искомую сумму моментов всех сил по одну сторону от сече-

ния. То же самое относится к сечениям, примыкающим к жёсткому узлу, объе-

диняющему два стержня.

• При ортогональном действии нагрузки нормальную силу в любом прямо-

линейном стержне достаточно определить в одном из сечений этого стержня,

так как она постоянна по всей его длине.

• Изгибающие моменты заведомо равны нулю в краевых сечениях консолей при отсутствии в этих сечения моментной нагрузки и в сечениях, примыкаю-

щих к шарнирам.

Пример 2.2. Требуется построить эпюры усилий для рамы, показанной на

рис. 2.9, а).

Решение. 1. Производим проверку геометрической неизменяемости рамы.

Число опорных связей Cоп = 4, число простых шарниров Ш =1, число дисков Д =2.

Необходимое условие геометрической неизменяемости схемы (1.4) 3Д – 2 Ш – C оп = 3·2 – 2 ·1– 4 = 0 выполняется.

54

Основным диском расчётной схемы является геометрически неизменяемый диск AC, прикреплённый к основанию в точке A тремя связями (полное защем-

ление). Неизменяемость диска СB также обеспечивается правильно располо-

женными на плоскости трёмя связями: двумя он прикреплён в точке С к неиз-

меняемому диску AC, третьей связью в точке B связан с основанием. Следова-

тельно, расчетная схема геометрически неизменяема, так как доказана неизме-

няемость составляющих её элементов.

2. Определим реакции в опорных связях (рис.2.9, б).

Расчётная схема с определёнными реакциями в опорных связях и в связях шарнира С приведена на рис.2.9, в. Определение реакций в связях шарнира С здесь не приводится, так как они определяются достаточно просто после рассе-

чения расчётной схемы из равновесия любой отсечённой части (уравнения рав-

новесия ∑X = 0; ∑Y= 0). Удаление связей в шарнире С производится для облег-

чения определения усилий в расчётных сечениях. 3. Определим усилия в расчётных сечениях.

Из анализа расчётной схемы на основании вше приведённых правил по-

строения эпюр можно сделать следующие выводы:

∙продольные силы на участках 3 – 4 и 9 – 10 равны нулю, так как справа отсутствует горизонтальная нагрузка;

∙изгибающие моменты в сечениях 6, 7 и 10 равны нулю, так как сечения примыкают к шарнирам, где отсутствует моментная нагрузка; изгибающий мо-

мент в сечении 4 на краю консоли также равен нулю;

∙ изгибающие моменты в сечениях 8 и 9 равны, так как примыкают к узлу,

соединяющему два стержня:

∙ поперечные силы на участках 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6, 7 – 8 постоянны; эпюры

изгибающих моментов на этих участках – прямолинейны.

55

Благодаря проведённому анализу можно значительно сократить количество

вычислений при определении усилий.

Значения поперечных сил на участках и в расчётных сечениях:

Значения продольных сил в расчётных сечениях:

N1 – 2 = ∑ Fxлев = 10 кН; N5 – 8 = ∑ Fxверх = –11 кН.

По найденным значениям усилий строим эпюры M, Q и N (рис.2.10, а – в).

4.Произведем визуальную проверку правильности построения эпюр усилий на основании правил, сформулированных в подразд. 2.1.

5.Определим экстремальное значение изгибающего момента на участке 9 –

10.

Вырезанный из расчётной схемы участок показан на рис. 2.10, г.

Q0 = ∑ Fyправ = –21 + 8 ·x0 = 0, откуда x0 = 2,625 м.

Mэкс = ∑ M прав = 21·x0 – 8 ·x0·0,5x0 = 2,625(21– 4 ·2,625) = 27,56 кН·м.

6. Производим проверку равновесия верхнего (рис.2.11, а) и нижнего (рис. 2.11, б) узлов расчетной схемы.

56

2.4.Шарнирно-консольные балки

2.4.1.Образование шарнирно-консольных балок

При перекрытии нескольких пролётов сооружения могут быть использованы расчётные схемы неразрезных (см. рис.1.12, е) или разрезных, шарнирно-

консольных (см. рис.1.12, д) балок.

Шарнирно-консольной балкой называется геометрически неизменяемая ста-

тически определимая расчётная схема, составленная из расположенных в опре-

делённой последовательности простых однопролётных или консольных балок,

соединённых между собой шарнирами.

Требование геометрической неизменяемости и статической определимости накладывают определённые условия на количество промежуточных шарниров и их расположение в расчётной схеме.

Требуемое число промежуточных шарниров в расчётной схеме шарнирно – консольной балки определяется из следующих соображений.

Проанализируем любую схему шарнирно – консольной балки, для которой число опорных связей равно Соп, а число промежуточных шарниров – Ш. Та-

ким образом, число неизвестных опорных реакций будет равно числу опорных связей

а общее число уравнений У равновесия будет складываться из трёх основных уравнений и добавочных, количество которых равно числу промежуточных

57

Итак, шарнирно – консольная балка является статически определимой, если

в её пролётах количество промежуточных шарниров на три единицы меньше

числа опорных связей.

Условие геометрической неизменяемости шарнирно – консольной балки обуславливается способами размещения промежуточных шарниров в пролётах балки. Их можно свести к трём основным типам.

1. Во всех пролётах шарнирно – консольной балки, за исключением одного,

располагается по одному промежуточному шарниру.

Для балки, изображённой на рис. 2.12, а, Ш=4, Соп =7, т.е. условие статиче-

ской определимости балки (2.4) выполняется: 4 = 7– 4. Неизменяемость расчёт-

ной схемы проверяется проведением анализом её образования. Для этого стро-

ится схема взаимодействия отдельных дисков или поэтажная схема (рис. 2.12,

б), в которой каждый диск должен представлять собой простую балку. В изо-

бражённой на рис. 2.12. б поэтажной схеме диск Д1 неподвижно прикреплён к основанию тремя правильно расположенными опорными стержнями. К нему шарниром С и к основанию в точке D неизменяемо прикреплён диск Д2. Ана-

логично прикреплены все остальные диски расчётной схемы. В приведённой поэтажной схеме каждый последующий диск как бы опирается на предыдущий.

Таким образом, неизменяемость рассматриваемой шарнирно – консольной бал-

ки доказана.

В рассмотренной поэтажной схеме диск Д1, имеющий три связи с основани-

ем и способный существовать самостоятельно, называется основным (главной балкой), все остальные диски, имеющие только по одной связи с основанием –

второстепенными (второстепенными балками).

2. Пролёты шарнирно-консольной балки без промежуточных шарниров че-

редуются с пролётами, в которых расположено по два шарнира.

Для балки, изображённой на рис. 2.13, а, Ш=4, Соп =7, т.е. условие статиче-

ской определимости балки (2.4) выполняется: 4 = 7– 4.

Анализ образования данной шарнирно-консольной балки производится ана-

логично анализу расчетной схемы перврго типа. В показанной на рис. 2.13, б

58

поэтажной схеме основными являются диски Д1, Д3, Д5. Диск Д1 неподвижно прикреплён к основанию тремя правильно расположенными опорными стерж-

нями, а диски Д3 и Д5 имеют по две вертикальные связи с основанием, третья

– горизонтальная связь – осуществляется через цепочку дисков с неподвижной опорой А. Диски Д2 и Д4 являются второстепенными и опираются, соответст-

венно, в шарнирах C и D, K и L на соседние основные диски. Таким образом,

неизменяемость рассматриваемой шарнирно – консольной балки доказана.

Второстепенные диски типа Д2 и Д4, не имеющие прямой связи с основани-

ем, называются подвесками.

3. Промежуточные шарниры размещаются как в способах первого и второго типов, но при этом, чтобы, либо балки-подвески находились между пролётами без шарниров, либо с одной или с обеих сторон балки-подвески находились пролёты с одним промежуточным шарниром.

Для балки, изображённой на рис. 2.14, а, Ш=4, Соп =7, т.е. условие статиче-

ской определимости балки (2.4) выполняется: 4 = 7– 3. Неизменяемость этой шарнирно – консольной балки также доказывается построением поэтажной схемы (рис. 2.14, б). Диски Д2 и Д5 являются основными, а диски Д1, Д3, Д4 –

второстепенными, причём диск Д3 – подвеска. Все диски, кроме Д5, имеют по две опоры. Правильность выше сформулированного правила расположения шарниров можно проверить, если полное защемление M представить в виде трёх линейных связей (рис. 2.14, в) с добавлением фиктивного пролёта lф=0.

2.4.2. Определение реакций и усилий

Определение реакций в связях шарнирно-консольной балки производится отдельно для каждого диска. Порядок рассмотрения равновесия каждого диска должен быть обратным порядку образования расчётной схемы (сверху вниз).

Для выше рассмотренных схем шарнирно-консольных балок на рис. 2.12, в; 2.13, в; 2.14, г показаны порядок образования, а на рис. 2.12, г; 2.13, г; 2.14, д –

порядок расчёта.

59

Определение реакций в связях упрощается, если на шарнирно - консольную балку действует только вертикальная нагрузка. В этом случае горизонтальные реакции во всех промежуточных шарнирах равны нулю, так как равна нулю го-

ризонтальная реакция в единственной неподвижной опоре балки (из уравнения равновесия ∑ X=0).

В случае действия наклонных нагрузок горизонтальная реакция в неподвиж-

ной опоре балки равна H= ∑Fi cosαi, где αi – углы наклона действующих на бал-

ку сил Fi , а горизонтальные реакции в промежуточных шарнирах определяют из условий равновесия каждого диска с учётом действующей нагрузки и реак-

ции H.

Пример 2.3. Требуется построить эпюры усилий в шарнирно-консольной

балке, изображенной на рис. 2.15, а.

Решение. 1. Производим проверку геометрической неизменяемости балки.

Для заданной балки Ш=3, Соп =6, т.е. условие статической определимости

балки (2.4) выполняется: 3 = 6– 3. Неизменяемость шарнирно - консольной бал-

ки подтверждается поэтажной схемой (рис. 2.15, б). Схема образования показа-

на на рис. 2.15, в).

2. Определим реакции в связях, для чего в полученной поэтажной схеме удалим все связи и заменим их действие реакциями в этих связях (рис. 2.16, а).

Так как на расчётную схему действует только вертикальная нагрузка, горизон-

тальные реакции в опоре А и в промежуточных шарнирах равны нулю.

На основании установленного порядка расчёта (рис. 2.15, г), поочерёдно

рассматриваем диски расчётной схемы (рис.2.16, б):

• Равновесие диска Д3. В шарнире E приложена сила F2 = 8 кН (см. рис. 2.15, а). При анализе равновесия дисков её удобнее отнести к нижнему по по-

60