Текст

1.В зависимости от расположения осей элементов и нагрузок расчетные схемы разделяются на плоские и пространственные.

2.По виду элементов, образующих сооружение:

стержневые расчётные схемы, образующими элементами которых являют-

ся стержни (рис.1.2, а – в).

тонкостенные расчётные схемы, образующими элементами которых явля-

ются тонкие плиты и оболочки (рис.1.2, г, д).

схемы массивных сооружений, т.е. сооружений, у которых все три размера одного порядка.

Расчётные схемы плоских стержневых систем показаны на рис.1.12.

• Балки. Простейшая расчётная схема, являющаяся, как правило, элементом сооружения. Балки могут быть однопролётными с различными условиями за-

крепления (рис. 1.12, а– г) и многопролётными. Многопролётные балки, в свою очередь, могут быть разрезными (рис. 1.12, д), состоящими из нескольких дис-

ков, и неразрезными (рис.1.12, е), состоящими из одного диска.

• Арки. Предназначены для перекрытия больших пролётов. Арки могут быть

трёхшарнирными (рис.1.12, ж), двухшарнирными (рис.1.12, з) и бесшарнир-

ными (рис.1.12, и).

• Балочные фермы. По своей сути являются заменой одного бруса простой балки (рис. 1.12, а) решётчатой системой стержней, позволяющей перекрывать большие пролёты и более полно использовать материал конструкции. Фермы

(рис. 1.12, к– м) различаются по очертаниям поясов, и типам решётки.

• Арочные фермы. Являются развитием арочных расчётных схем (рис.1.12,

н, о)), в которых криволинейные стержни арки заменены решётчатой системой.

Арочные фермы могут быть как криволинейные (рис. 1.12, н), так и прямо-

угольные (рис. 1.12, о).

•Вантовые системы (рис.1.12, п, р) позволяют перекрывать очень большие пролёты при значительной экономии материала.

•Рамы. Наиболее распространённая расчетная схема сооружений. В зависи-

мости от назначения здания рамы могут быть однопролётными одноэтажны-

21

ми (рис.1.12, с), многопролётными одноэтажными (рис.1.12, т), однопролёт-

ными многоэтажными (рис.1.12, у), многопролётными многоэтажными

(рис.1.12, ф).

Расчётные схемы пространственных стержневых систем приведены на рис. 1.13. Это пространственные балочные фермы (рис. 1.13 , а), башни (рис. 1.13, б), купола (рис. 1.13, в), структурные покрытия (рис. 1.13, г), пространственные рамы (рис.1.13, д) и перекрёстные балки (рис. 1.13, е).

Расчётные схемы пространственных тонкостенных систем показаны на рис. 1.14. Это плиты, опёртые по контуру (рис.1.14, а) и оболочки различных видов: цилиндрические своды (рис.1.14, б), сомкнутые своды (рис. 1.14, в), крестовые своды (рис. 1.14, г), сферические купола (рис. 1,14, д), складки

(рис.1.14, е), волнообразные оболочки (рис.1.14, ж), тентовые покрытия

(рис.1.14, з) и др.

Расчётные схемы массивных систем приведены на рис.1.15. Это подпор-

ные стенки (рис.1.15, а), массивные фундаменты (рис. 1.15, б), плотины

(рис. 1.15, в).

1.5.Кинематический анализ расчётных схем

1.5.1. Общие положения

Получение расчётной схемы, т.е. соединение её элементов в систему тел свя-

зано с понятиями степеней свободы и изменяемости систем.

Степень свободы – кинематическая характеристика системы, показывающая возможность совершать какие-либо перемещения относительно основания как жёсткого целого, т.е. без деформации материала, и представляющая собой наи-

меньшее число параметров, с помощью которых можно определить положение всех точек системы в любой момент времени.

22

Изменяемость – это свойство системы изменять свою геометрическую форму без деформации материала за счёт конечных перемещений её элементов как твёрдых тел.

С точки зрения изменяемости все системы делятся на геометрически неиз-

меняемые, геометрически изменяемые и мгновенно-изменяемые.

Геометрически неизменяемыми являются системы соединённых между собой твёрдых тел, допускающие их относительные перемещения только при дефор-

мации материала.

Геометрически изменяемыми являются системы соединенных между собой твёрдых тел, допускающие их конечные относительные перемещения без де-

формации материала.

Мгновенно-изменяемыми являются системы соединённых между собой тел,

допускающие их бесконечно малые относительные перемещения без деформа-

ции материала.

При разработке расчётной схемы сооружения решается задача о получении геометрически неизменяемой схемы, так как сооружение, составленное из от-

дельных элементов, может воспринимать нагрузку любого вида только в том случае, если оно способно сохранять свою форму и положение.

При образовании геометрически неизменяемых систем приходится устанав-

ливать соотношения между числом соединяемых в систему тел и числом связей между ними, поэтому все связи можно условно разделить на необходимые, из-

быточные и ложные.

Необходимой будем называть связь, при удалении которой неизменяемая система становится геометрически изменяемой.

Избыточной назовем такую связь, удаление которой не приводит к изме-

няемости системы, т.е. система остаётся геометрически неизменяемой.

Ложная является связь, допускающая только бесконечно малые относи-

тельные перемещения соединяемых тел. С точки зрения кинематического ана-

лиза расчётной схемы это означает, что данная связь поставлена неправильно.

23

1.5.2. Кинематический анализ плоских расчётных схем

Рассмотрим плоскую расчётную схему, состоящую из Д дисков. Каждый диск, взятый отдельно, имеет на плоскости три степени свободы (см. рис. 1.1,

б). Пока диски не соединены между собой совокупная степень их свободы бу-

дет равна 3Д. Простой шарнир, соединяющий два диска, уничтожает две степе-

ни свободы. Если в расчётной схеме имеются диски, представляющие собой замкнутые неразрывные образования (замкнутые контуры), жёсткое соединение концов каждого из таких дисков уничтожает по три степени свободы. Кроме того, по одной степени свободы уничтожает каждая связь первого рода,

Тогда степень свободы анализируемой расчётной схемы будет

где Д– число дисков; Ш – число простых шарниров, соединяющих диски; Ж – число жёстких соединений замкнутых дисков; С оп − число опорных связей.

Если в расчётной схеме отсутствуют замкнутые неразрывные образования,

система неизменяема; если W < 0, система неизменяема, но имеет избыточные связи, не нужные для обеспечения геометрической неизменяемости.

Таким образом, для обеспечения геометрической неизменяемости необхо-

При анализе плоских ферм удобнее использовать более простые зависимо-

сти.

Обозначим число узлов плоской фермы – У, число собственных стержней фермы – Сф, число опорных стержней – Соп. Каждый узел фермы можно рас-

24

сматривать как точку, которая в свободном состоянии на плоскости имеет две степени свободы. Таким образом, степень свободы необъединённых между со-

бой узлов будет 2У. При соединении двух узлов стержнем суммарная степень свободы уменьшается на единицу. Следовательно, стержень фермы можно рас-

сматривать как простую линейную связь. Полное число связей фермы, ограни-

чивающих степень свободы её узлов, будет равно Сф + Соп. Тогда степень сво-

боды плоской фермы

димо, но недостаточно, так как указанные соотношения устанавливают необхо-

димые соотношения между числом связей и числом дисков, но не показывают,

как же соединены диски между собой.

Достаточность указанных условий должна быть дополнена анализом гео-

метрической структуры расчётной схемы, который базируется на правилах соединения дисков в единое жёсткое целое.

Первое правило – соединение двух дисков – диада: для соединения двух

дисков в одно неизменяемое жёсткое целое необходимо и достаточно трёх связей первого рода при условии, что оси этих связей не параллельны и не схо-

дятся в одной точке.

Примеры диад показаны на рис.1.16, а, где соединение образовано тремя ли-

нейными связями, и на рис. 1.16, б, где соединение образовано одним простым шарниром и одной линейной связью.

Недопустимость соединения двух дисков тремя параллельными линейными связями показана на рис. 1.16, в. В этом случае происходит взаимное смещение дисков в направлении перпендикулярном осям связей, т.е. соединение является геометрически изменяемым.

25

Вслучае, когда оси связей сходятся в одной точке (рис.1.16, г), последняя является центром взаимного поворота дисков на бесконечно малый угол, т.е. по определению соединение является мгновенно изменяемым.

Всоединении, показанном на рис.1.16, д, являющимся также мгновенно из-

меняемым, центром вращения диска Д является шарнир Ш, в который приходит ось связи С (три связи диска Д1 сходятся в одной точке).

С л е д с т в и е. Для прикрепления диска к основанию необходимо и доста-

точно трех связей первого рода при условии, что оси этих связей не параллель-

ны и не сходятся в одной точке.

Справедливость такого утверждения очевидна, так как основание сооруже-

ния можно представить как жёсткий диск бесконечно большого размера.

Примеры такого прикрепления показаны на рис.1.17, а и 1.17, б; в первом случае – тремя линейными связями, во втором случае – одним простым шар-

ниром и одной линейной связью. Наиболее простым примером расчётной схе-

мы в этом случае может являться простоя однопролётная балка (рис.1.17, в).

Недопустимость присоединения диска к основанию тремя параллельными линейными связями показана на рис. 1.17, г (аналог рис. 1.16, в). В этом случае происходит смещение диска Д в направлении перпендикулярном осям связей,

т.е. расчётная схема является геометрически изменяемой. В случае, когда оси связей сходятся в одной точке (рис.1.17, д), последняя является центром пово-

рота диска Д на бесконечно малый угол, т.е. расчётная схема является мгновен-

но изменяемой. В закреплении, показанном на рис.1.17, е, расчётная схема так-

же является мгновенно изменяемой. Центром вращения диска Д является шар-

нир Ш, в который приходит ось связи С (три связи диска Д сходятся в одной точке).

Второе правило – соединение трех дисков – триада: для соединения трёх

дисков в одно неизменяемое жёсткое целое необходимо и достаточно трёх шарниров (действительных или фиктивных), расположенных по одному между каждой парой дисков, при условии, что центры этих шарниров не лежат на одной прямой.

26

Примеры триад показаны на рис. 1.18. Это соединение дисков тремя дейст-

вительными шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис.1.18, а); наиболее простое соединение – шарнирный треугольник (рис.1.18, б); соединение тремя фиктивными шарнирами Ш1… Ш3 (рис. 1.18, в); соединение двумя действи-

тельными шарнирами Ш1, Ш2 и одним фиктивным Ш3 (рис.1.18, г).

Недопустимость соединения трёх дисков способами, неудовлетворяющими выше приведённому правилу, т.е. приводящими к мгновенной изменяемости соединений, иллюстрируют рис. 1.18, д и 1.18, е. В первом случае расположе-

ние трёх шарниров на одной прямой приводит к бесконечно малому смещению центрального шарнира; во втором – шарнир Ш является центром бесконечно малого взаимного поворота соединяемых дисков.

С л е д с т в и е. Для прикрепления двух дисков к основанию необходимо и достаточно трёх шарниров (действительных или фиктивных), один из кото-

рых соединяет диски, а два других являются опорными для каждого из дисков,

при условии, что центры этих шарниров не лежат на одной прямой.

На рис. 1.19, а показано прикрепление двух дисков тремя действительны-

ми шарнирами, не лежащими на одной прямой. Наиболее простым и ясным примером такого прикрепления являются расчётные схемы трёхшарнирной ар-

ки (рис.1.19, б) и трёхшарнирной рамы (рис.1.19, в). На рис.1.19, г показан пример прикрепления тремя фиктивными шарнирами Ш1… Ш3, два из кото-

рых находятся в пределах соединения, а третий – удален в бесконечность.

Недопустимость прикрепления двух дисков к основанию способами, неудов-

летворяющими выше приведённому правилу, т.е. приводящая к мгновенной изменяемости соединений, показана на рис. 1.19, д и е.

Рассмотрим несколько примеров по анализу геометрических структур пло-

ских расчётных схем.

Пример 1.1. Произвести анализ геометрической неизменяемости балки,

изображённой на рис. 1.20, а.

27

Решение. Расчётная схема балки составлена из трёх дисков, имеет пять опорных связей и два шарнира (т.е. на рис. 1.20, б Д = 3, Соп = 2, Ш = 2). На основании условия (1.4) степень свободы расчётной схемы W = 3·3 − 2·2 − 2=0,

т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.

Анализируя поочередно каждый диск схемы, устанавливаем:

• диск Д1 имеет четыре связи с основанием вместо трёх необходимых и по ус-

ловию расположения связей является неподвижным;

• в то же время в соединении дисков Д2 и Д3 имеет место расположение трёх шарниров на одной прямой, т.е. в точках D, E и F, что приводит к мгновенной изменяемости этих дисков (рис.1.20, в).

Таким образом, несмотря на выполнение необходимого условия (1.4), данная расчётная схема существовать не может.

Для того, чтобы расчётная схема стала полностью геометрически неизме-

няема, достаточно перенести одну из вертикальных связей диска Д1, например,

из точки В, и закрепить диск Д2 (точка К на рис.1.20, г).

Пример 1.2. Требуется произвести анализ геометрической неизменяемости фермы, изображённой на рис. 1.21, а.

Решение. Расчётная схема фермы составлена из десяти стержней (Д= CФ = 10), имеет четыре опорных связи (Соп = 4), стержни соединены тринадцатью простыми шарнирами (Ш = 13 по рис 1.20, б). На основании условия (1.4) сте-

пень свободы расчётной схемы W = 3·10 − 2·13 − 4=0, т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.

Анализируя образование расчётной схемы, устанавливаем:

• стержни фермы между узлами А, В, D и F соединены последовательным образованием двух триад, и это соединение можно считать одним жёстким дис-

ком Д1 (рис.1.21, в);

• стержни фермы между узлами K, E и C также образуют триаду (диск Д2 на

рис.1.21, в));

28

• диск Д1 прикреплён к основанию в точках A и F (см. рис.1.21, в) тремя не-

параллельными и не сходящимися в одной точке связями, следовательно, явля-

ется геометрически неизменяемым;

• диск Д2 (см. рис.1.21, в) также прикреплён тремя связями – двумя (стержни С1 и С2) к неподвижному диску Д1 и одной опорной связью в точке С– к осно-

ванию;

• оси указанных связей диска Д2 сходятся в одной точке С, являющейся цен-

тром вращения для этого диска (рис.1.21, г).

Следовательно, диск Д2 является мгновенно изменяемым, и расчётная схема,

несмотря на выполнение условия (1.4), существовать не может.

Для того, чтобы расчётная схема была полностью геометрически неизменяе-

ма, достаточно удалить одну из вертикальных связей диска Д1, например, из точки F, и поставить дополнительный стержень фермы С между узлами D и K (

рис.1.21, д).

Пример 1.3. Требуется произвести анализ геометрической неизменяемости рамы, изображённой на рис. 1.22, а.

Решение. Расчётная схема рамы составлена из трёх дисков (Д = 3), два из которых (Д2 и Д3) соединены между собой жёстко (Ж=1 по рис. 1.22, б), имеет четыре опорных связи (Соп = 4). Диски соединены тремя простыми шарнирами

(Ш = 3). На основании условия (1.3) степень свободы расчётной схемы W = 3·3 − 2·3 − 3·1 − 4= −1, т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется, и расчётная схема имеет одну избыточную связь.

Анализируя образование расчётной схемы, устанавливаем:

• диск Д1 присоединён к основанию тремя связями (защемление) и является геометрически неизменяемым (неподвижным);

•диски Д2 и Д3 образуют геометрически неизменяемое соединение, которое можно считать одним жёстким диском Д;

•диск Д прикреплён двумя связями в точке А (рис. 1.22, в) к неподвижному диску Д1 и одной связью в точке С к основанию;

29

• оси указанных связей диска Д сходятся в точке А, являющейся центром вращения этого диска (рис. 1.22, г).

Следовательно, диск Д является мгновенно изменяемым, и расчётная схема,

несмотря на выполнение условия (1.3), существовать не может.

Для того чтобы расчётная схема была полностью геометрически неизменяема,

достаточно повернуть опорную связь в точке С на 90о (рис. 1.22, д).

1.5.3. Кинематический анализ пространственных расчётных схем

Рассмотрим пространственную расчётную схему, состоящую из Т тел. Каж-

дое тело, взятое отдельно имеет в пространстве шесть степеней свободы (см.

рис. 1.1, а). Пока тела не соединены между собой совокупная степень их свобо-

ды будет равна 6Т. Простой шаровой шарнир, соединяющий два тела, уничто-

жает три степени свободы. Если в расчётной схеме имеются тела, жёстко со-

единённые друг с другом, то жёсткое соединение этих уничтожает по шесть степеней свободы. Кроме того, по одной степени свободы уничтожает каждая простая линейная связь.

Тогда степень свободы анализируемой расчётной схемы будет

В том случае, если в расчётной схеме отсутствуют жёсткие соединения тел,

Если для данной расчётной схемы W > 0, система изменяема; если W = 0,

система неизменяема; если W < 0, система неизменяема, но имеет избыточные связи, не нужные для обеспечения геометрической неизменяемости.

Таким образом, для обеспечения геометрической неизменяемости необхо-

димо выполнение условия

30