Текст

30.Запишите матричную формулу определения усилий.

31.Что является элементами матриц S, b и P и каков их порядок?

111

Глава 3.

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ

3.1. Понятие о линиях влияния

Многие инженерные сооружения в процессе эксплуатации подвергаются воздействию подвижных нагрузок. К ним относится давление от автомоби-

лей, внутрицехового транспорта, подвесного перемещающегося оборудова-

ния, железнодорожного транспорта и т.д. Во всех этих случаях подвижная нагрузка состоит из системы вертикальных параллельных сил, расстояние между которыми при движении остается постоянным.

Подвижная нагрузка по своей природе является динамической, так как она меняет свое положение, а иногда и величину, во времени. Кроме этого она может перемещаться по сооружению с различными скоростями. Динамиче-

ские нагрузки при своем воздействии вызывают колебания сооружений, что приводит к необходимости учета возникающих при колебаниях инерционных сил (см. разд. 10).

Для упрощения в инженерных расчетах вводится допущение о том, что подвижная нагрузка перемещается медленно, без ускорения и толчков, не меняя своей величины. Такую нагрузку называют подвижной статической.

Особенностью воздействия подвижной нагрузки является то, что усилия,

напряжения и перемещения, вызываемые ею в элементах сооружений, явля-

ются переменными, зависящие от положения подвижной нагрузки. Следова-

тельно, чтобы запроектировать какой либо элемент конструкции, необходимо знать самое невыгодное положение нагрузки, при котором в расчетном сече-

нии элемента будут возникать наибольшие усилия. Нахождение этого поло-

жения путем подбора положения нагрузок, при их большом разнообразии,

представляется весьма трудоемкой процедурой, даже с использованием ЭВМ.

112

Поэтому для определения усилий о статической подвижной нагрузки ис-

пользуют в качестве своеобразного эталона единичный подвижный груз, пе-

ремещающийся по ездовому поясу сооружения.

Под ездовым поясом понимают ту часть расчетной схемы, на которой действуют подвижные нагрузки.

Перемещая единичный груз по ездовому поясу расчетной схемы, мы мо-

жем построить график изменения какого-либо усилия к заранее заданном се-

чении, опорной реакции и т.п., называемый линией влияния.

Как правило, для построения линий влияния используют статический спо-

соб, состоящий в следующем:

∙для ездового пояса устанавливается система координат;

∙единичный груз устанавливается в произвольное положение ( с абсцис-

сой x) на ездовом поясе;

∙ считая груз неподвижным, определяют из уравнений равновесия иско-

мую величину в виде функции с переменной x;

∙ задаваясь значениями x в пределах ездового пояса, строят график, кото-

рый и будет линией влияния.

Иногда, чтобы построить линию влияния для всего ездового пояса, необ-

ходимо поставить единичный груз поочередно на различных участках пояса и для каждой постановки составить уравнение равновесия. При построении линий влияния изложенный способ справедлив для любого типа расчетной схемы.

3.2. Линии влияния реакций и усилий в простых балках

Рассмотрим однопролетную балку с консолями (рис. 3.1, а). Штриховой линией покажем зону ездового пояса и на нем покажем произвольное поло-

жение единичного груза.

113

Л и н и и в л и я н и я о п о р н ы х р е а к ц и й

Зададимся направлением опорных реакций (рис. 3.1, б). Горизонтальная

опорная реакция в точке А при действии вертикального единичного груза равна нулю.

Выражения (3.1) показывают, что опорные реакции изменяются по линей-

ному закону, и для построения их линий влияния достаточно определить по две ординаты:

при x = 0 VA = 1, RB = 0;

при x = l VA = 0, RB = 1.

Линии влияния VA и RB показаны на рис. 3.1, в и г.

Полученные ординаты линий влияния позволяют построить линии влия-

ния опорных реакций без получения их аналитических выражений.

Например, для построения линии влияния левой вертикальной опорной

реакции необходимо отложить на левой опоре ординату равную единице, и

соединить ее с нулевой ординатой на правой опоре.

Ординаты линий влияния опорных реакций являются безразмерными.

Л и н и я в л и я н и я и з г и б а ю щ е г о м о м е н т а

в с е ч е н и и, р а с п о л о ж е н н о г о в п р о л е т е б а л к и

Рассмотрим сечение k в пролете балки, расположенное от опор на рас-

стояниях a и b (рис. 3.2, а).

Если единичный груз расположен слева от сечения k (см. рис. 3.2, а), т.е. 0 ≤ x ≤ a, значение изгибающего момента в этом сечении удобно определить

из выражения:

114

Как видно из выражения (3.2) ординаты линии влияния Mk могут быть легко получены простым умножением ординат линии влияния RB на величи-

ну b. Но это еще не вся линия влияния, а только ее левая ветвь (1 – на рис. 3.2, в), т.е. часть графика, соответствующая расположению груза слева от се-

чения.

Если единичный груз расположен справа от сечения k (см. рис. 3.2, б), т.е. a ≤ x ≤ b, значение изгибающего момента в этом сечении удобно определить из выражения:

жением ординат линии влияния VA на величину a. В результате получим пра-

вую ветвь (2 – на рис. 3.2, в) линии влияния изгибающего момента. Обе ветви линии влияния показаны на рис. 3.2, в, где заштрихованная часть представля-

ет собой полную линию влияния изгибающего момента. Из подобия тре-

угольников легко показать, что обе линии влияния пересекаются под сечени-

ем k, а ордината в точке пересечения равна ab/l.

Анализируя построенные ветви можно сделать следующий вывод: для по-

строения линии влияния изгибающего момента в пролетном сечении простой балки достаточно отложить на одной из опор ординату, равную расстоя-

нию от этой опоры до рассматриваемого сечения, и соединить ее с нулевой ординатой на противоположной опоре; затем снести на полученную пря-

мую положение сечения, и полученную ординату соединить с нулевой на пер-

вой опоре.

Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность в

метрах.

115

Л и н и я в л и я н и я п о п е р е ч н о й с и л ы в с е ч е н и и, р а с п о л о ж е н н о г о в п р о л е т е б а л к и

Построим линию влияния поперечной силы в том же сечении k (см. рис. 3.2, а).

Если единичный груз расположен слева от сечения k (см. рис. 3.2, а), т.е. 0 ≤ x ≤ a, значение поперечной силы в этом сечении удобно определить из выражения:

Следовательно, линия влияния RB с обратным знаком будет левой ветвью линии влияния Qk (1 – на рис. 3.2, г), действительной в пределах от левого конца балки до сечения k.

Если единичный груз расположен справа от сечения k (см. рис. 3.2, б), т.е. a ≤ x ≤ b, значение поперечной силы в этом сечении удобно определить из

Следовательно, линия влияния VA будет правой ветвью линии влияния Qk

(1 – на рис. 3.2, г), действительной в пределах от сечения k до правого конца балки.

Полная линия влияния поперечной силы Qk представлена заштрихованной частью на рис. 3.2, г.

Анализируя построенные ветви можно сделать следующий вывод: для по-

строения линии влияния поперечной силы в пролетном сечении простой бал-

ки достаточно отложить на левой опоре ординату, равную единице и со-

единить ее с нулевой ординатой на правой опоре; затем провести парал-

лельную построенной ветви прямую через нулевую ординату на левой опоре,

снести на обе прямые положение сечения и выделить правую и левую ветви.

Ординаты линий влияния поперечных сил являются безразмерными.

116

Л и н и и в л и я н и я у с и л и й

в с е ч е н и я х, р а с п о л о ж е н н ы х н а к о н с о л я х б а л к и

При построении линий влияния усилий в сечениях, расположенных на консолях балки, следует помнить, что усилия в этих сечениях возникают лишь тогда, когда консоль загружена со стороны своего свободного конца.

Поэтому в линиях влияния усилий в сечениях на консоли одна из ветвей за-

ведомо будет нулевой.

Рассмотрим сечение m, расположенное на консоли балки справа от опоры

B (рис. 3.3, а).

Если единичный груз перемещается по ездовому поясу слева от сечения

m, консоль остается свободной от загружения, и усилия Qm и Mт равны ну-

лю. Следовательно, левые ветви линий влияния Qm и Mт (1 – на рис. 3.3, б и

в) будут нулевыми. Если же груз перемещается справа от сечения m, то при-

няв начало координат в самом сечении можно записать:

Выражения (3.6) являются уравнениями правых ветвей линий влияния Mт

и Qm соответственно (2 – на рис. 3.3, б и в).

По аналогии для сечения n (рис. 3.3, г), расположенного слева от опоры A,

нулевыми ветвями линий влияния усилий будут правые, а уравнения левых

ветвей определяются выражениями

п р и м ы к а ю щ и х к о п о р а м с о с т о р о н ы п р о л е т а

Рассмотрим сечения t и s (рис. 3.4, а), примыкающие, соответственно, к

опорам A и B и являющиеся сечениями в пролете балки.

117

Для изгибающих моментов в этих сечениях из условий равновесия опор-

ных узлов должны выполняться условия: Mt = Mn, Ms = Mm, т.е. линии влия-

ния изгибающих моментов в этих сечениях будут точно такими же, как и для сечений n и m (рис. 3.4, б и в).

Для построения линий влияния поперечных сил воспользуемся правилом,

сформулированным при построении линии влияния Qk (см. рис. 3.2, г).

Рассмотрим одно из указанных сечений, например t. Для построения ли-

нии влияния Qt отложим ординату, равную единице, на левой опоре и соеди-

ним ее с нулевой ординатой на правой, т.е. построим график правой ветви.

Из нулевой точки на левой опоре проведем линию, параллельную правой ветви, т.е. построим график левой ветви. На полученные две параллельные прямые снесем положение сечения и отметим штриховкой рабочие зоны вет-

вей (рис. 3.4, г).

Для сечения s построение линии влияния Qs (рис. 3.4, д) производится аналогично.

Л и н и и в л и я н и я о п о р н ы х р е а к ц и й и у с и л и й в с е ч е н и я х к о н с о л ь н о й б а л к и

Рассмотрим консольную балку (рис. 3.5, а), по которой перемещается вер-

тикальный единичный груз. Отбросим опорные связи (рис. 3.5, б) и заменим их действие реакциями, направления которых примем за положительные. Го-

ризонтальная реакция в опоре A заведомо равна нулю, поэтому на рисунке не показана.

Из условий равновесия имеем:

118

Далее для той же балки рассмотрим сечение k (рис. 3.6, а). Построение линий влияния усилий в этом сечении производится точно также, как для се-

чений, расположенных на консолях простой балки (см. рис. 3.3, б и в), поэто-

му на рис. 3.6, в и г приведены готовые решения.

На основании рассмотренных примеров можно сделать сформулировать следующие основные закономерности при построении линий влияния реак-

ций и усилий в сечениях, расположенных на ездовом поясе расчетной схемы:

1.нулевые точки ветвей линий влияния располагаются в местах опорных связей, оси которых параллельны перемещающемуся единичному грузу;

2.левая и правая ветви линии влияния изгибающего момента в сечении пересекаются под сечением, и острие перелома направлено в сторону, проти-

воположную направлению единичного груза; 3. левая и правая ветви линии влияния поперечной параллельны, а в месте

расположения сечения линия влияния имеет скачок, равный единице.

Пример 3.1. Требуется построить линии влияния опорных реакций в бал-

ке с осью ломаного очертания (рис. 3.7, а) и усилий в сечениях k, m и n. Ездо-

вой пояс балки показан пунктиром.

Решение. 1. Удалим опорные связи балки (рис. 3.7, б), заменив их дейст-

вие опорными реакциями, выбранные направления которых примем за поло-

жительные. Начало координат ездового пояса для определения положения единичного груза раcположим в точке B.

Из уравнений равновесия определим выражения для построения линий влияния опорных реакций:

∑Y = −1+ RB = 0, RB = 1; ∑ X = -RC + RA = 0, RA = RC ;

∑ M B =1× x - RC × 4 = 0, RC = 0, 25x .

Следовательно, линия влияния RB будет постоянна (рис. 3.7, в), а линии влияния RA и RC будут одинаковы (рис. 3.7, г):

при x = 0 RA =RC = 0; при x = 6 RA =RC = 1,5; при x = – 2 RA =RC = – 0,5.

119

2. Рассмотрим сечение k, расположив единичный груз справа от этого се-

чения (рис. 3.8, а).

Выражения для правых ветвей линий влияния Mk и Qk получим из уравне-

ний:

M k = ∑ M kлев = RB ×2 = 2RB ; Qk = ∑ Fkлев = RB .

Следовательно, правые ветви линий влияния Mk и Qk ( 2 ≤ x ≤ 6) будут по-

стоянны (2 – на рис. 3.8, б и в). Левые ветви линий влияния (1 – на рис. 3.8, б

ив). достраиваем, исходя из выше сформулированных свойств:

–левая ветвь линии влияния Mk имеет нулевое значение под опорной точ-

кой B и должна пересекаться с правой ветвью под сечением k (см. рис. 3.8, б);

левая ветвь линии влияния Qk должна быть параллельна правой ветви и иметь скачок, равный единице, под сечением k; следовательно, левая ветвь будет нулевая (см. рис. 3.8, в).

3.3. Линии влияния реакций и усилий в шарнирно-консольных балках

Построение линий влияния для шарнирно-консольных балок основывает-

ся на тех же принципах, которые были сформулированы для простых балок,

но с учетом их образования и взаимодействия отдельных дисков расчетной схемы.

Анализ схем образования шарнирно-консольных балок (см. подразд. 2.4)

позволяет установить следующий порядок построения линий влияния для ее реакций и усилий в сечениях:

∙Построение искомой линии влияния начинают с того диска, которому принадлежит рассматриваемое сечение или опорная связь; линия влияния строится как для простой балки.

∙Построенную часть линии влияния распределяют из условий взаимо-

действия дисков на остальную часть балки, а именно, на вышележащие по

120