Текст

2.6.3. Распорные фермы

Особенностью расчета распорных ферм (рис. 1.12, н, о) является лишь оп-

ределение их реакций в связях. По аналогии с трехшарнирными арками и рамами (см. подразд. 2.5.1) они могут иметь как внешний распор, восприни-

маемый опорами, так и внутренний, воспринимаемый затяжками. Поэтому для определения вертикальных реакций и распора таких ферм используются уравнения (2.6…2.10), а для определения усилий в стержнях – способы выре-

зания узлов и сечений.

Пример 2.10. Требуется определить усилия в стержнях правой части рас-

порной фермы (рис. 2.43, а).

Решение. 1. Проверим геометрическую неизменяемость фермы.

Число узлов У = 9, число стержней фермы СФ = 14, число опорных связей

Соп = 4. Условие (2.1) выполняется, так как 2·9 = 14 + 4. Левая и правая части фермы образованы последовательным присоединением узлов способом триа-

ды, поэтому представляют собой геометрически неизменяемые диски АС и СВ. Присоединение этих дисков к основанию является неизменяемым (см.

подразд. 1.5.2, рис.1.19, в).

2. Определим реакции в связях, для чего удалим опорные связи в расчёт-

ной схеме и заменяем их действие реакциями (рис. 2.43, б). Поскольку по ус-

ловию задачи необходимо определить усилия в стержнях лишь правой части

фермы, достаточно определить реакции в опоре В.

Реакции в шарнире С определяют из равновесия правой части фермы из уравнений ∑ X = 0 и ∑ Y = 0 (рис. 2.44, а).

3. Определим усилия в стержнях.

Для определения усилий в стержнях правой части фермы (рис.2.43, в)

проведем два сквозных сечения и рассмотрим равновесие двух узлов.

91

Сечение I-I (рис. 2.44, б): рассматриваем равновесие верхней отсечённой части.

Для стержня 3-2 моментной точкой является узел 1 (плечо h32 = 2 sin 45º =

2 м), для стержня С-1 – узел 3 (плечо hС1 = h32 = 2 м), моментная точка для стержня 1-3 находится в бесконечности, так как стержни С-1 и 3-2 парал-

лельны. Для определения усилия в стержне 1-3 ось n принята перпендику-

лярной стержням С-1 и 3-2.

∑ X = 0; 12 + NС3 +4 2 cos 45º= 0, NС3 = – 16 кН.

Сечение II-II (рис. 2.44, г): рассматриваем равновесие нижней отсечённой части.

Для стержня 1-В моментной точкой является узел 2 (плечо h1В = 2 sin 45º =

2 м), моментная точка для стержня 1-2 находится в бесконечности, так как стержни 1-В и 3-2 параллельны.

Эпюра продольных сил N в стержнях правой части фермы, построенная по найденным значениям усилий, показана на рис.2.44, е.

2.6.4. Висячие и вантовые фермы

Стержни поясов распорных ферм работают преимущественно на сжатие,

что приводит к необходимости учета продольного изгиба при подборе их се-

92

чений. Как известно из курса сопротивления материалов, сечения сжатых стержней, подобранные с учетом продольного изгиба, больше сечений растя-

нутых стержней при действии той же нагрузки. Следовательно, растянутые стержни более экономичны. Это достигается в висячих системах.

Пример висячей системы приведен на рис. 2.45, представляющую собой опрокинутую трехшарнирную распорную ферму. Особенностью такой рас-

четной схемы является то, что при действии вертикальной нагрузки, распор будет направлен наружу. Грузовым поясом данной расчетной схемы является система шарнирных балок, подвешенных к распорной ферме. Пилоны, яв-

ляющиеся опорами фермы и воспринимающие значительные горизонтальные усилия, должны быть достаточно мощными.

Для уменьшения объема пилонов и восприятия распора в висячих систе-

мах применяют оттяжки, как показано на рис. 2.46, а. Здесь распорная ферма заменена обратной цепью, а элементы фермы перенесены вниз и являются грузовым поясом.

Рассмотрим принципы расчета показанной на рис. 2.46, а висячей фермы.

Для этого удалим опорные связи фермы стержни 1 – 2 и 6 -7 обратной це-

пи (рис. 2.46, б). Усилия N в этих стержнях разложим на горизонтальные и вертикальные составляющие: H = N·cosβ, V = N· sinβ, где β – угол наклона стержней 1 – 2 и 6 -7. Местом приложения усилий выберем точки А1 и В1,

находящиеся на одной вертикали, соответственно, с опорными точками фер-

мы А и В. Следует отметить, что усилия во всех стержнях цепи имеют одина-

ковую горизонтальную проекцию, равную распору H.

Для определения опорных реакций составим уравнения равновесия:

93

Для определения распора проведем сечение I – I через стержень цепи 3 –

4 и шарнир С и составим уравнение равновесия для правой отсеченной части

схемы (рис. 2.46, в):

∑M Cправ = -(V +VB )0,5l + H( f + h) - N34 ×hcosb34 =

После нахождения распора определяем вертикальные составляющие V

усилия N, вертикальные реакции фермы VA и VB. Последовательно вырезая узлы цепи, определяем усилия во всех ее стержнях, подвесках и оттяжках.

Иногда к цепи подвешивают не ферму, а балку (рис. 2.47), называемую балкой жесткости.

Итак, основной особенностью приведенных расчетных схем является то,

что наиболее напряженная часть – цепь – работает исключительно на растя-

жение. Лучшее использование материала приводит к значительной его эко-

номии, поэтому висячие системы отличаются малым собственным весом.

В приведенных выше расчетных схемах все же имеются стержни, испы-

тывающие сжимающие усилия. Если в расчетной схеме, изображенной на рис. 2.47, цепь заменить системой оттяжек (рис. 2.48), мы получим простей-

шую вантовую ферму, в которой все элементы, кроме балки жесткости, ра-

ботают на растяжение.

Вантовые фермы отличаются очень небольшим собственным весом, но небольшой жесткостью, поэтому применяются для перекрытия пролетов, в

которых, как правило, мала временная нагрузка (пешеходные мосты, пере-

крытия зданий и пр.)

2.6.5. Шпренгельные фермы

Шпренгельными называются фермы со шпренгельной решеткой. Они об-

разуются из ферм с простой решеткой путем добавления дополнительных

94

стержней с целью восприятия местной нагрузки и уменьшения расчетной длины стержней пояса фермы.

Получение схемы шпренгельной фермы (рис. 2.49, а) можно условно рас-

сматривать как конструктивное объединение основной фермы (рис. 2.49, б) и

дополнительных ферм (рис. 2.49, в), опирающихся на узлы грузового пояса основной фермы. Эти дополнительные фермы будем называть шпренгелями.

Стержни шпренгельных ферм можно разбить на три основных вида:

1.стержни, входящие в состав только основной фермы; усилия в них не меняются при включении шпренгелей в состав фермы;

2.стержни, входящие в состав только шпренгеля; усилия в них можно оп-

ределить, рассматривая шпренгель как независимую ферму; 3. стержни, одновременно принадлежащие как основной ферме. Так и

шпренгелю; усилия в них определяются как сумма усилий

N = Nо + Nш,

где Nо – усилие в стержне по схеме основной фермы (рис. 2.49, б); Nш –

усилие в стержне по схеме шпренгеля (рис. 2.49, в).

Например, для стержней первой панели рассматриваемой фермы можно записать:

• для стержней 1-го вида N18 = N18o , N39 = N39o , N89 = N89o , N59 = N19o ;

•для стержней 2-го вида N25 = N25ш , N53 = N53ш ;

•для стержней 3-го вида N12 = N13o + N12ш , N23 = N13o + N23ш , N15 = N19o + N15ш .

Конструктивные схемы шпренгелей зависят от двух условий: во-первых,

от того, на узлы какого пояса фермы необходимо передать нагрузку, воспри-

нимаемую шпренгелем; во-вторых, сколько дополнительных узлов необхо-

димо ввести в панели грузового пояса, т.е. во сколько раз уменьшить ее рас-

четную длину в плоскости фермы.

В зависимости от вида передачи нагрузки шпренгели делятся на одно-

ярусные и двухъярусные. Одноярусные шпренгели передают нагрузку на тот же пояс фермы, в котором они расположены; двухъярусные – на противопо-

ложный пояс. В зависимости от технологических условий передачи нагрузок

95

существует также смешанный тип шпренгеля, способный передавать нагруз-

ку на оба пояса фермы независимо от того, где он сам расположен.

На рис. 2.50 изображены различные наиболее часто встречающиеся виды шпренгелей: одноярусные – с введением одного (рис. 2.50, а) и двух (рис. 2.50, б) дополнительных узлов в панели грузового пояса; двухъярусные – с

введением одного (рис. 2.50, в) и двух (рис. 2.50, г) дополнительных узлов в панели грузового пояса; смешанный (рис. 2.50, д) – с введением двух допол-

нительных узлов.

2.6.6. Способы определения усилий в стержнях пространственных ферм.

В пространственных фермах число опорных связей, как правило, больше шести, и опорные реакции нельзя определить из условий равновесия всей расчётной схемы. Поэтому в пространственных фермах сначала определяют усилия в стержнях и только после этого – опорные реакции, рассматривая равновесие опорных узлов.

Усилия в стержнях пространственных ферм обычно находят при помощи способов вырезания узлов и разложения пространственной фермы на пло-

ские.

1. Способ вырезания узлов. Сущность способа та же, что и при расчёте плоских ферм. Рассматриваются условия равновесия (табл. 2.1, п. 8) выре-

занных узлов фермы как для пространственной системы сходящихся сил, со-

стоящей из узловой внешней нагрузки и усилий в примыкающих стержнях.

Расчёт начинают с рассмотрения узла, в котором сходятся не более трёх стержней с неизвестными усилиями при условии, что оси этих стержней не лежат в одной плоскости, далее последовательность рассмотрения узлов оп-

ределяется указанными условиями.

Так же, как и при расчёте плоских ферм, можно выделить частные случаи равновесия узлов и для пространственных ферм:

96

1. Трёхстержневой ненагруженный узел, в котором оси сходящихся стержней не лежат в одной плоскости (рис. 2.51, а).

Так как все стержни пересекаются в одной точке, то два из них всегда на-

ходятся в одной плоскости. Предположим, что в плоскости H лежат стержни

2 и 3. Из центра узла проводим ось n, перпендикулярную плоскости H и про-

ектируем на неё все силы, сходящиеся в узле:

∑ n = 0; N1cos α = 0, cos α ≠ 0, N1 = 0.

Аналогично доказывается N2 = 0 и N3 = 0.

Таким образом, если в ненагруженном узле сходятся три стержня, оси ко-

торых не лежат в одной плоскости, то усилия в этих стержнях равны нулю. 2. Ненагруженный узел, в котором оси всех сходящихся в нём стержней,

кроме одного, лежат в одной плоскости (рис. 2.51, б).

Так как все стержни, кроме 1, лежат в плоскости H, то доказательство ра-

венству нулю усилия N1 аналогично предыдущему пункту.

Следовательно, если в ненагруженном узле оси всех стержней, кроме од-

ного, лежат в одной плоскости, то усилие в единственном отходящем стерж-

не равно нулю.

3.Ненагруженный узел, в котором оси всех стержней кроме двух лежат

водной плоскости, а два оставшихся стержня направлены по одной прямой

(рис.2.51, в).

Предположим, что стержни 2, 3 и 4 лежат в плоскости H, а стержни 1 и 5,

направлены по одной прямой, которая составляет с нормалью n к плоскости

H угол α. Спроектировав на ось n все сходящиеся в узле силы, получим:

∑ n = 0; N1cos α – N5cos α = 0, cos α ≠ 0, N1 = N5.

Следовательно, если в ненагруженном узле оси двух стержней, не лежа-

щих в одной плоскости с остальными стержнями, находятся на одной пря-

мой, то усилия в этих стержнях одинаковы.

4. Загруженный узел, внешняя сила направлена по оси одного из стерж-

ней, сходящихся в нем, причём все стержни, кроме указанного, лежат в од-

ной плоскости (рис. 2.51, г).

97

Проведя доказательство, аналогичное указанному в п. 3, легко показать,

что N4 = – F.

Возможность определения усилий во всех стержнях фермы способом вы-

резания узлов зависит от структуры фермы. Основной недостаток этого спо-

соба (кроме громоздкости) состоит в том, что каждое последующее усилие выражается через ранее определённые из равновесия предыдущих узлов, что может привести к накоплению погрешности результатов расчёта.

2. Способ разложения пространственных ферм на плоские. Данный способ применяется в тех случаях, когда выделяемые из пространственной плоские фермы остаются геометрически неизменяемыми.

Внешняя нагрузка, приложенная к узлам, раскладывается на составляю-

щие, лежащие в плоскостях граней пространственной фермы. Используя ча-

стные случаи равновесия узлов, можно определить нулевые стержни и стержни с заведомо известными усилиями. Это даёт возможность выявить плоские фермы.

Для стержней, входящих в состав одной плоской фермы, найденные уси-

лия будут окончательными. Если же стержень расположен на ребре про-

странственной фермы (т.е. одновременно входит в состав двух плоских ферм), то результирующее усилие в нём равно алгебраической сумме усилий,

полученных при расчёте каждой из двух плоских ферм.

Применение данного способа покажем на примере пространственной фермы, изображённой на рис. 2.52, а.

Приложенную к узлу 1 внешнюю силу F по правилу параллелепипеда раз-

ложим на три составляющие: F1 – по направлению 1-9, F2 – по направлению

1-4 и F3 – по направлению 1-2.

Исключим нулевые стержни. В ненагруженном узле 2 три стержня 2-3, 2-7

и 2-6 лежат в одной плоскости. Стержень 2-1 по отношению к этой плоскости является отходящим, следовательно, усилие в нём равно нулю. Рассматривая узлы 3 и 4 и рассуждая аналогичным образом, доказываем, что усилия в стержнях 3-2, и 3-4 также равны нулю. После исключения нулевых стержней

98

узлы 2 и 3 представляют собой двухстержневые ненагруженные узлы. На ос-

новании частных случаев равновесия узлов плоских ферм доказываем, что усилия в стержнях 2-6, 2-7, 3-7 и 3-8 равны нулю. Отбрасывая вновь опреде-

лённые нулевые стержни и рассматривая равновесие узлов 7, 6 и 8, устанав-

ливаем, что нулевыми будут также стержни 7-6, 6-11, 8-7, 7-11 и 7-12. На рис. 2.47, б все нулевые стержни обозначены пунктирными линиями.

Таким образом, в пространственной ферме при заданной нагрузке F ока-

зались работающими лишь две плоские фермы, лежащие в плоскостях 1-4- 12-9 и 1-2-10-9 (рис. 2.52, в и г). Усилия в этих фермах определяются любым известным способом. Составляющую внешней нагрузки F1 можно отнести к любой из полученных плоских ферм. Так как стержни 1-5 и 5-9 являются общими для обеих ферм, полные усилия в них определяются алгебраическим суммированием результатов усилий, найденных для каждой фермы в отдель-

ности.

2.7.Многодисковые рамы и комбинированные системы

Рамой принято называть стержневую систему, стержни которой во всех или некоторых узлах жёстко соединены между собой, и которая теряет свою геометрическую неизменяемость, если все узлы заменить шарнирными.

В инженерной практике принято стержни рамы разделять на стойки вер-

тикальные – стойки, горизонтальные – ригели и подкосы наклонные – подко-

сы.

Если расчетная схема, кроме жёстко соединённых дисков, содержит пря-

молинейные стержни с шарнирами по концам и не загруженные поперечной нагрузкой, ее называют комбинированной.

В основу анализа образования статически определимых рам и комбиниро-

ванных систем положено выявление геометрически неизменяемых ее частей

(см. подразд. 1.5.2) и соединение их между собой. Наиболее простым явля-

ется способ образования, аналогичный способу образованию шарнирно-

99

консольных балок (см. подразд. 2.4.1), при котором прямолинейные стержни заменены стержнями с осью ломаного очертания.

Например, в раме, изображённой на рис. 2.53, а, диск Д1 является основ-

ным, к которому последовательно присоединены второстепенные диски Д2 и

Д3 (рис. 2.53, б).

Для этой рамы при Д = 3, Соп = 5 и Ш = 2 выполняется необходимое усло-

вие геометрической неизменяемости (1.4): 3·3 – 2·2 – 5 = 0, порядок образо-

вания, приведенный на рис. 2.53, б, в показывает, что расчётная схема дейст-

вительно геометрически неизменяема.

Порядок расчёта данной рамы показан на рис.3.23, г.

Другим простейшим образованием расчётной схемы рам (рис. 2.54, а) яв-

ляется последовательное присоединение триад, т.е. поэтажная установка трёхшарнирных рам (рис. 2.54, б). Порядок расчёта (рис. 2.54, г) будет об-

ратен порядку образования расчетной схемы (рис.2.54, в).

Аналогичная присоединение триады может быть произведено на любую часть или элементы расчётной схемы. Так, на рис. 2.55, а показано образова-

ние расчётной схемы путём установки триады (трёхшарнирной рамы) на кон-

сольные балки (рис. 2.55, б). Порядок расчёта такой расчетной схемы (рис. 2.55, г) будет обратен порядку ее образования (рис. 2.55, в), т.е. при расчёте сначала определяют реакции в трёхшарнирной отсечённой раме, а затем в консольных балках.

Присоединённая триада может быть как распорной (рис. 2.54 и 2.55), так и с затяжкой. На рис. 2.56, а показана расчётная схема, в которой геометриче-

ски неизменяемое образование Д2 – триада имеет к качестве одного из своих элементов прямолинейный стержень с шарнирами по концам (затяжку).

Произведём анализ данной расчётной схемы (рис. 2.56, б), в которой

Д = 4 (стержни: АВ, ВС, CD и ВD), Соп = 4 (три связи в опоре А и одна связь в опоре С) и Ш = 4 (два в кратном шарнире В и один в С, соединяющий стерж-

ни ВС и CD).

100