Текст

Окончание табл. 5.1

10. Произвести деформационную проверку расчета

11. Определить на основании дифференциальной зависимости Q = dM попереч- dx

ные силы на всех участках расчётной схемы и построить эпюру QF

12.Из условия равновесия узлов определить продольные силы во всех стержнях и построить эпюру NF

13.Произвести статические проверки равновесия:

при правильно произведённом расчёте любая отсечённая часть схемы или вся схема, отсечённая от опор, под действием внутренних и внешних сил должна удовлетворять условиям равновесия.

П р и м е ч а н и е. m – число участков интегрирования при изгибе; Cф – число стерж-

ней фермы.

Как видно из табл. 5.1 общая последовательность расчёта не зависит от типа расчётной схемы. Различия появляются лишь при определении коэффи-

циентов при неизвестных и свободных членов по формуле Максвелла – Мо-

ра.

При выполнении расчёта необходимо обратить внимание на следующие моменты.

1. Выполнение деформационной проверки расчёта (см. п. 10 табл. 5.1).

Смысл деформационной проверки такой же, как и у системы канонических уравнений: она отрицает перемещения в заданной расчётной схеме по на-

правлению удалённых связей. Для того, чтобы деформационная проверка

211

была более корректной, желательно выбрать новую основную систему мето-

да сил и построить в ней эпюры усилий от единичных сил, приложенных по

направлениям удалённых связей M i0 , Ni0 и их суммарные эпюры M s0 , Ns0 . В

связи с этим деформационные проверки могут быть локальными (использо-

вание эпюр M i0 , Ni0 ) или общими (использование эпюр M s0 , Ns0 ). Оценка по-

грешности расчёта производится по сравнению сумм положительных и отри-

цательных величин вычисленных интегралов и не должна превышать 1%.

2. Построение эпюры поперечных сил (см. п.11 табл.5.1). Определение поперечных сил на участках с прямолинейной эпюрой изгибающих моментов

(рис. 4.18) производят на основании дифференциальной зависимости Q =

Для участков, где действует равномерно распределённая нагрузка, фигуру эпюры изгибающих моментов можно разложить на две составляющие

(рис.5.19): прямолинейную и «балочную», и для каждой из них построить эпюры поперечных сил, а результаты сложить. Так как на рассматриваемом участке эпюра поперечных сил должна быть прямолинейной, ее ординаты по концам участка можно записать в виде

Для вертикальных и наклонных стержней расчётной схемы «верх» и «низ» рассматриваемого участка выбирается произвольно.

Рассмотрим несколько примеров расчёта статически неопределимых сис-

тем методом сил при действии внешней нагрузки.

Пример. 5.1. Требуется рассчитать неразрезную балку, показанную на

рис. 5.20, а.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при K =2, Ш = 4

212

nc = 3·2 – 4 = 2.

2. Система канонических уравнений имеет вид

3.Выбранная основная система показана на рис. 5.20, б.

4.Определим усилия в основной системе от единичных моментов, по-

следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис. 5.20, в, г), т.е. построим эпюры M10 и M 20 . Кроме того, воспользуемся про-

стотой задачи и построим деформированные схемы основной системы от единичных воздействий, на которых покажем возможные перемещения,

представляющие собой коэффициенты при неизвестных канонических урав-

нений.

5. Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и строим эпюру M F0 (рис. 5.20, д), покажем перемещения по направлению уда-

лённых связей, представляющие собой свободные члены канонических урав-

нений.

6. Определим коэффициенты при неизвестных канонических уравнений:

7. Определим свободные члены канонических уравнений:

8. Решим систему канонических уравнений:

213

Упростим полученную систему уравнений, умножив все его члены на

1,5EI:

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

(рис. 5.21, а):

M F = M10 X1 + M 20 X 2 + M F0 .

Для неразрезных балок указанное сложение производится достаточно просто: необходимо отложить на опорах найденные значения неизвестных и к полученной эпюре опорных изгибающих моментов «подвесить» эпюру M F0 .

10. Выполним деформационную проверку расчёта, для чего выберем но-

вую основную систему (рис. 5.21, б), в которой прикладываем сразу все еди-

ничные силы по направлению удалённых линейных связей и от их действия

строим эпюру M s0 . Сравнивая полученную эпюру M s0 с эпюрами M10 и M 20 ,

использованными в расчёте, видим, что она им не подобна, т.е. производимая проверка будет достаточно корректна.

= 1 (−1157,333+1157,333) = 0 .

EI

Таким образом, деформационная проверка выпоонена.

214

11. Построим эпюру QF на основании дифференциальной зависимости

Q = dM по участкам расчётной схемы.

dx

Участок 1 – левый пролёт балки. Загружен равномерно распределённой нагрузкой, поэтому для нахождения значений поперечных сил по концам участка используем приём, приведённый на рис. 5.19 и описанный формула-

ми (5.12):

Участок 2 – правый пролёт балки. Нагрузка в пролёте отсутствует, эпюра изгибающих моментов очерчена по наклонной прямой. Следовательно, попе-

речная сила по всему пролёту постоянна. Её значение вычисляем по формуле

(5.11):

= −30, 667 − (−4) = −

Q 4,444 кН . 6

Участок 3 – консоль балки.

Q = ∑Fправ = 15,333 кН.

Построенная по полученным значениям эпюра QF показана на рис. 5.21, а.

В левом пролёте эпюра QF имеет нулевое значение на расстоянии x0 от ле-

вой опоры. Находим экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении (рис. 5.21, в).

Q0 = ∑Fлев = 39,25 – 8 · x0 = 0, x0 = 4,97 м.

Mэкс = ∑Mлев = 39,25·4,97 – 8 ·4,97·0,5·4,97 = 36,63 кН·м.

12. Выполним статические проверки расчёта, для чего из условия равно-

весия опорных узлов по построенным эпюрам MF и QF определим опорные реакции (рис.5.21, г).

Для отсечённой от опор балки составляем уравнения равновесия:

∑Y = 39,25 + 20,36 + 19,777 – 8 ·8 – 15,333 = 79,333 – 79,333 = 0;

∑MA = – 62 – 20,306 ·8 – 19,777 ·14 + 15,333·16 + 8·8·4 = = – 501,326 + 501,328 ≈ 0.

215

Таким образом, проверки равновесия также выполняются. Следовательно,

расчёт неразрезной балки произведён правильно.

Пример. 5.2. Требуется рассчитать раму, показанную на рис. 5.22, а.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при K =2, Ш = 4

двух шарниров в средний узел рамы. При этом реакция в удалённой угловой связи между стойкой и ригелем рамы X2 может быть отнесена как в левое, так и в правое от узла сечение ригеля.

4. Определим усилия в основной системе от единичных моментов, по-

следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис. 5.22, в, г), для этого найдем реакции от указанных воздействий и построим эпюры M10 и M 20 .

5.Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и построим эпюру M F0 (рис. 5.22, д).

6.Определим коэффициенты при неизвестных:

216

= − 1377 (рад).

EI

8. Решим систему канонических уравнений:

Упростим полученную систему уравнений, умножив все его члены на

0,5EI:

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

M F = M10 X1 + M 20 X 2 + M F0 .

Все слагаемые приведённой формулы и результат сложения - эпюра MF

показаны на рис. 5.23, а.

10. Выполним деформационную проверку расчёта, для чего выберем но-

вую основную систему (рис. 5.23, б), для которой построим эпюры M10 , M 20 и

их сумму, эпюруM s0 . Сравнивая полученную эпюру M s0 с эпюрами M10 и M 20 ,

использованными в расчёте, видим, что она им не подобна, т.е. производимая проверка будет достаточно корректна.

Таким образом, деформационная проверка выполнена.

217

11. Построим эпюру QF на основании дифференциальной зависимости

Q = dM по участкам расчётной схемы (рис. 5.24, а).

dx

Построенная по полученным значениям эпюра QF показана на рис. 5.24, б.

В левом пролёте эпюра QF имеет нулевое значение на расстоянии x0 от ле-

вой опоры. Вырежем ригель рамы в левом пролёте рамы (рис. 5.24, в) и най-

дем экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении.

Q0 = ∑Fлев = 26,5 – 8 · x0 = 0, x0 = 3,31 м.

Mэкс = ∑Mлев = 26,5·3,31– 8 ·3,31·0,5·3,31 = 25,89 кН·м.

12. Определим продольные силы в стержнях рамы и построим эпюру NF,

для чего поочерёдно вырежем узлы D и E рамы (рис. 5.24, г) и из их равнове-

сия найдем продольные силы NAD , NDE и NBE. Построенная по полученным значениям эпюра показана на рис. 5.24, д.

13. Выполним статические проверки расчёта, для чего из равновесия опорных узлов по построенным эпюрам NF и QF определим опорные реакции

(рис. 5.24, е).

Для отсечённой от опор рамы составим уравнения равновесия:

∑Y = 26,5 + 48 + 19,777 – 8 ·9 – 2,5 = 74,5 – 74,5= 0;

∑X = 72 – 39 –33 – 8 ·9 – 2,5 = 72 – 72= 0;

∑MA = 72·3 + 8·9·4,5 – 48 ·9 – 39 ·3 + 2,5·18 – 36 = = – 585 + 585 = 0.

Таким образом, проверки равновесия также выполняются. Следовательно,

расчёт неразрезной балки произведён правильно.

218

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме и

определим продольные силы в стойке и подкосе

Результаты расчета показаны на эпюре MF (рис. 5.26, а).

Построение эпюры QF (рис. 5.26, б) выполняется так же, как и в преды-

дущих примерах.

10. Для выполнения статических проверок расчёта определим реакции в

опорных связях на основании принципа независимости действия сил.

Для отсечённой от опор комбинированной расчётной схемы составим уравнения равновесия (рис. 5.26, в).

∑Y = 170,559 – 10,559 – 40 ·4 = 0;

∑X = 92,588 – 92,588 = 0;

∑MB = 40·4·2 – 10,559 ·4 – 92,588 ·3 = 320 – 320 = 0.

Таким образом, проверки равновесия также выполняются. Следо-

вательно, расчёт произведён правильно.

220