Текст

расчётной схеме строится на основании принципа независимости действия сил по формуле (5.14).

Вывод, сделанный на примере анализа достаточно простой расчётной схемы, справедлив для любого типа расчетных схем с любой степенью ста-

тической неопределимости.

Подобный эффект «обнуления» побочных коэффициентов может быть по-

лучен при удалении избыточных связей непосредственно на оси симметрии расчетной схемы. Так, для той же рамы (рис. 5.38, а), основная система ко-

торой получена удалением связей центрального шарнира ригеля(рис. 5.38, б),

рассмотрев вспомогательные состояния (рис. 5.38, в, г) также получим сим-

метричную эпюруM10 и кососимметричную эпюруM 20 и, как следствие, δ12 =

δ21=0. Усилия грузового состояния основной системы определяются от за-

данного воздействия (рис. 5.38, д).

Рассмотренные способы использования симметрии для упрощения расче-

та статически неопределимых систем равнозначны. При этом последний не требует разложения внешнего воздействия, а первый – позволяет рассматри-

вать симметричную часть расчётной схемы, что уменьшает количество ис-

ходных данных при решении задачи.

Приведем несколько примеров..

Пример 5.8. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M F для трёхпролётной симметричной балки (рис. 5.39, а), загруженной симметрич-

ной нагрузкой.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 3, Ш = 8 nc = 3·3 – 8 = 1.

2. Каноническое уравнение имеет вид δ11X1 + 1F = 0.

3. Основную систему (рис. 5.39, б) получим, удалив вертикальную связь в шарнире С, расположенном на оси симметрии.

На основании следствия к свойству 1 неизвестное X1 = 0 как кососиммет-

ричный статический фактор, поэтому заданная схема балки рассчитывается

231

как статически определимая (рис. 5.39, в). Эпюра изгибающих моментов для неё представлена на рис. 5.39, г.

Пример 5.9. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M F для

рамы с затяжкой (рис. 5.40, а), загруженной кососимметричной нагрузкой.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 2, Ш = 4

nc = 3·2 – 4 = 2.

2. Система канонических уравнений имеет вид

3. Основную систему (рис. 5.40, б) получим, врезав шарнир в середине ри-

геля рамы и удалив затяжку.

На основании следствия к свойству 2 неизвестные X1 = X2 = 0 как симмет-

ричные статические факторы, поэтому заданная схема рамы рассчитывается как статически определимая (рис. 5.40, в). Эпюра изгибающих моментов для неё представлена на рис. 5.40, г.

Пример 5.10. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M F для

симметричной балки с осью ломаного очертания (рис. 5.41, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 3, Ш = 7

nc = 3·3 – 7 = 2.

2. Система канонических уравнений имеет вид

3. Основную систему (рис. 5.41, б) получим, удалив связи в опорах A и B.

Для неизвестных реакций в удалённых связях применим способ группиров-

ки.

4. Для определения усилий в основной системе от единичных сил, по-

следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис.

232

5.41, в, г), найдем реакции от указанных воздействий и построим эпюры M10

иM 20 .

5.Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и построим эпюру M F0 (рис. 5.41, д).

6.Определим коэффициенты при неизвестных:

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

M F = M10 X1 + M 20 X 2 + M F0 .

Все слагаемые приведённой формулы и результат сложения – эпюра MF

показаны на рис. 5.42.

Последующий ход расчёта см. пример 5.2.

Пример 5.11. Требуется построить эпюру изгибающих моментов M F для симметричной рамы (рис. 5.43, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 2, Ш = 4 nc = 3·2 – 4 = 2.

233

2. Система канонических уравнений имеет вид

3. Основную систему (рис. 5.43, б) получим, удалив связи в шарнире С. По-

скольку избыточные связи удалены на оси симметрии, группировки неиз-

вестных не требуется.

4. Определим усилия в основной системе от единичных сил, по-

следовательно прикладываемых по направлению удалённых связей (рис.5.43,

в, г), для чего определяем реакции от указанных воздействий и строим эпю-

ры M10 и M 20 .

5.Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и построим эпюру M F0 (рис. 5.43, д).

6.Определим коэффициенты при неизвестных:

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

M F = M10 X1 + M 20 X 2 + M F0 .

234

Все слагаемые приведённой формулы и результат сложения – эпюра MF

показаны на рис. 5.43, е – з.

Последующий ход расчёта см. пример 5.2.

5.6. Понятие о расчёте пространственных рам

Пространственные рамы – это стержневые системы, элементы которых

работают в условия сложного напряжённого состояния. Они, как правило,

многократно статически неопределимы.

Методы расчёта пространственных рам те же, что и для плоских статиче-

ски неопределимых рам. В то же время расчёт пространственных рам значи-

тельно сложнее как за счёт значительно бó льшей статической неопределимо-

сти, так и большим числом силовых факторов, действующих в элементах та-

ких расчётных схем.

В ряде случаев при расчёте пространственную раму заменяют нескольки-

ми плоскими рамами. Это осуществимо, если основные несущие элементы и

действующие нагрузки находятся в параллельных плоскостях.

Для пространственных систем, как и для плоских справедлива зависи-

мость (5.1). Тогда на основании (1.7) степень статической неопределимости

Степень статической неопределимости бесшарнирных пространственных рам удобнее определять по числу разрезов nр, которые необходимо произве-

сти, чтобы превратить пространственную раму в набор статически определи-

Основная система метода сил при расчёте пространственных рам выбира-

ется так же, как и для плоских, т.е. путём удаления избыточных связей в эле-

ментах, узлах или на опорах расчётной схемы. При этом могут быть исполь-

зованы все использованные ранее приёмы выбора рациональной основной

235

системы, приводящие к обращению в нуль как можно большего числа по-

бочных коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений.

Как и при расчёте плоских рам в пространственных рамах при определе-

нии перемещений пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил,

т.е. используют формулу (4.29). Выражения для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов на основании указанной формулы бу-

дут следующими:

Здесь My, Mz – изгибающие, а Mx = Mк – крутящий моменты, отнесённые к местной системе координат поперечного сечения.

Определение усилий в заданной расчётной схеме и построение эпюр MxF,

MyF, MzF осуществляется на основании принципа независимости действия сил по аналогии с формулой (5.8):

Поперечные силы, как и при расчёте плоских рам, находятся на основании дифференциальных зависимостей:

Продольные силы в стержнях пространственных рам находятся из условия равновесия узлов по найденным значениям поперечных сил. Узлы следует вырезать в такой последовательности, чтобы в каждом было не более трёх неизвестных продольных сил в сходящихся в рассматриваемом узле стерж-

нях.

236

Основными проверками расчёта являются деформационная и статические.

Все выше перечисленные эпюры в процессе расчёта могут строиться как по отдельности, так и объединятся в один чертёж (если позволяет его нагляд-

ность) по типу рассматриваемого состояния.

Пример 5.12. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рамы, показанной на рис. 5.44, а, при следующих данных: GIк = EIz = EIy

= EI.

Решение. 1. Для представления расчётной схемы в виде пространственных статически определимых консолей достаточно одного разреза, например,

разрезая ригель рамы посередине.

Следовательно, степень статической неопределимости на основании

(5.18) nc = 6·1= 6.

Поэтому основную систему выбираем, разрезав ригель по вертикальной плоскости симметрии схемы. В проведённом разрезе в общем случае дейст-

вуют шесть внутренних сил.

Так как действующая нагрузка перпендикулярна плоскости рамы то в проведённом сечении Nx = 0, Qz= 0 и My = 0. В силу симметрии заданной схе-

мы относительно вертикальной плоскости в сечении, принадлежащем этой плоскости должны равняться при симметричной нагрузке кососимметричные статические факторы, т.е. Qy = 0 и Mx = 0. Таким образом, из всех возможных усилий в рассматриваемом сечении остаётся только изгибающий момент Mz=

X1 (рис. 5.44, б).

2. Каноническое уравнение имеет вид

δ11X1 + 1F = 0.

3. Определим усилия в основной системе от единичного момента, прило-

женной по направлению удалённой связи и построим эпюру M10 (рис. 5.44, в),

объединяя в ней изгибающие моменты в вертикальной плоскости и крутящие моменты.

237

4. Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и посстроим эпюру M F0 (рис. 5.44, д), также как и в предыдущем случае объе-

диняя на одном чертеже изгибающие и крутящие моменты.

5. Определим коэффициент при неизвестном канонического уравнения.

7. Найдем неизвестное канонического уравнения:

X1 = – 1F/δ11 = – 373,33/12 = – 31,11 кН·м.

8. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчётной схеме

(рис. 5.44, д).

M F = M10 X1 + M F0 .

9. На основании дифференциальных зависимостей определим попереч-

ные силы в стержнях рамы и построим эпюру QF (рис. 5.44, е).

5.7.Матричная форма метода сил

Систему канонических уравнений метода сил (5.13) можно представить в матричной форме:

где: D11 – матрица коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений метода сил порядка (n x n); X – матрица неизвестных порядка (n x

238

На основании выражений (5.26 – 5.29) можно записать общий алгоритм расчета методом сил:

В случае необходимости произвести расчет при многовариантном загру-

жении в соответствии с (2.23) матрица усилий в основной системе S0 = b0P, и

алгоритм (5.30) примет вид:

где b0 – матрица усилий в основной системе от единичных значений внешних нагрузок.

Деформационная проверка расчета по аналогии с п. 10 табл. 5.1 в матрич-

Здесь: b1 – матрица усилий в новой основной системе метода сил.

Дальнейший ход расчета производится согласно п.п. 11 – 13 табл. 5.1.

2. Расчет при наличии начальных деформаций. В этом случае элемен-

ты матрицы свободных членов определяются:

∙при тепловом воздействии – по выражению (4.41);

∙при неравномерной осадке опор – по выражению (4.42);

∙при неточном изготовлении стержней – по выражению (4.43).

Так как начальные деформации не вызывают появление усилий в статиче-

ски определимой основной системе метода сил, то усилия в заданной расчет-

ной схеме, по аналогии с выражениями (5.14 – 5.16) будут определяться по формуле:

Пример 5.13. Требуется произвести расчет методом сил в матричной форме рамы, приведенной в примере 5.2, с использованием построенных эпюр усилий в основной системе (см. рис. 5.22).

240