Текст

сти. Поэтому, если степень кинематической неопределимости nк = n, то сис-

тема канонических уравнений будет иметь вид:

r11Z1 + r12 Z2 + ... + r1i Zi + ... + r1n Zn + R1F = 0, r21Z1 + r22 Z2 + ... + r2i Zi + ... + r2n Zn + R2F = 0,

...................................................................

..................................................................

rn1Z1 + rn2Z2 + ... + rni Zi + ... + rnn Zn + RnF = 0.

Всистеме канонических уравнений (6.5) коэффициенты при неизвестных

содинаковыми индексами называются главными коэффициентами и они все-

гда положительны rii > 0. Остальные коэффициенты называются побочными,

и для них выполняется теорема о взаимности возможных реакций rik = rki.

Размерности коэффициентов при неизвестных и свободных членов сис-

темы канонических уравнений легко определяются на основании их статиче-

ского смысла, сформулированного ранее.

Так, для рамы, использованной при выводе системы канонических урав-

нений (см. рис. 6.4, а), неизвестными метода перемещений являются углы поворота (единицы измерения – рад), а реакциями в угловых связях (защем-

лениях) по направлению углов – пары сил (единицы измерения – кН·м). Сле-

довательно, размерность свободных членов системы уравнений, являющиеся реакциями от действующей нагрузки, – кН·м, а всех коэффициентов при не-

известных – кН·м / рад.

Если основная система метода перемещений получена введение и угло-

вых, и линейных дополнительных связей (рис. 6.5), рассуждая аналогично,

получим следующее.

В направлении первого неизвестного отрицается сумма реакций в угловой связи, единица измерения которых – кН·м. Так как единица измерения Z1 –

рад, а Z2 – м, то единицами измерения коэффициентов при неизвестных пер-

вого уравнения будут: для r11 – кН·м/ рад, для r12 – кН, а для свободного чле-

на R1F – кН·м.

261

Аналогично, второе уравнение отрицает в направлении второго неиз-

вестного сумму линейных реакций, единица измерения которых – кН. Зна-

чит, для второго уравнения единицами измерения коэффициентов при неиз-

вестных будут: для r21 – кН / рад, для r22 – кН /м, а для R2F – кН.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канони-

ческих уравнений метода перемещений при расчёте ортогональных рам, как правило, определяются:

∙ реакции в угловых связях – из условия равновесия узла, в который вве-

дена дополнительная связь;

∙ реакции в линейных связях – способом сечений, которые проводят па-

раллельно оси связи через все стержни схемы, деформируемые при прину-

дительном смещении этой связи.

Существуют также аналитические способы определения реакций в свя-

зях, применяемые при машинном счете.

В подразд. 4.4.2. была доказана теорема о взаимности возможных реак-

ций (4.23). Если при этом возможную работу внешних сил заменить числен-

но равной ей возможной работой внутренних сил, пренебрегая продольными и поперечными деформациями при изгибе, то получим

где – эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных сме-

щений дополнительных связей; m – число участков интегрирования.

Для определения свободных членов системы канонических уравнений рассмотрим два состояния основной системы: грузовое F и одно из вспомо-

гательных – от единичного смещения связи i. На основании теоремы о вза-

имности возможных работ (4.19) TiF = TFi. Но работа внешних сил состояния i на перемещениях грузового состояния TFi = 0, следовательно, можем запи-

сать, что работа сил грузового состояния на задаваемых перемещениях со-

стояния i равна

262

где RiF – реакция в дополнительной связи i от внешней нагрузки; n – количе-

ство нагрузок в грузовом состоянии; δj – перемещения во вспомогательном состоянии по направлению действующих нагрузок.

Как будет показано позже (см. подразд. 6.9, выражение 6.56) при опреде-

лении перемещений одно из состояний может быть выбрана в любой стати-

чески определимой основной системе. Поэтому работу внешних сил в (6.7)

на основании (4.19) заменим работой численно ей равной работой внутрен-

них сил

6.3.Последовательность расчёта при действии внешней нагрузки

1.Определение степени кинематической неопределимости расчётной

схемы nк = nу + nл.

2.Составление системы канонических уравнений в общем виде.

3.Получение основной системы метода перемещений путём введения дополнительных связей по направлению возможных смещений узлов расчёт-

ной схемы.

4. Получение деформированных схем и определение усилий в основной системе (построение эпюрM i0 ) от последовательного принудительного сме-

щения дополнительных связей (i = 1… n = nк) с использованием приложения

1.

263

i =1

9. Первая статическая проверка расчёта, целью которой является проверка равновесия жёстких узлов расчётной схемы по значениям изгибающих мо-

ментов, полученных по эпюре MF [см. (4.6)]. При правильном расчёте для каждого жёсткого узла должно выполняться условие ∑Mузл = 0.

10. Деформационная проверка расчёта. Для её проведения выбирается любая основная статически определимая система, в которой от последова-

тельного приложения единичных сил строятся эпюры M i0 (при i = 1… n=nc) и

их сумма M s0 . При правильном расчёте должны выполняться условия

11. Построение эпюры поперечных сил QF на основании дифференциаль-

ной зависимости Q = dM с использованием формул (5.11) и (5.12).

dx

12.Определение продольных сил в стержнях расчётной схемы из условия равновесия её узлов и построение эпюры NF.

13.Статически проверки расчёта: при правильном расчёте любая отсе-

ченная часть расчётной схемы или вся схема, отсечённая от опор, под дей-

ствием внутренних и внешних сил должна находиться в равновесии.

Как видно из выше приведённого п.п. 10 – 13 настоящей последователь-

ности ничем не отличаются от п.п. 11 – 14 табл. 5.1 последовательности рас-

264

чёта методом сил, т.е. независимо от метода расчёта указанные пункты вы-

полняются одинаково.

Рассмотрим несколько примеров расчёта рам методом перемещений.

Пример 6.1. Требуется построить эпюры усилий в раме, показанной на рис. 6.6, а. Относительные жёсткости стержней рамы, приведённые к едино-

му множителю, следующие:

∙правой стойки – i1 = EI/4 = i;

∙левой стойки – i2 = 1,5EI/4 = 1,5i;

∙ригеля – i3 = 2EI/4 = 2i.

Решение. 1. Рама имеет один жёсткий узел, и два её узла могут совместно перемещаться по горизонтали. Следовательно, степень кинематической не-

определимости рамы nк = 2.

дительные единичные смещения, покажем деформированные схемы основ-

ной системы от этих смещений (рис. 6.6, в и г) и, используя приложение 1,

построим в основной системе эпюры M10 и M 20 .

5. Приложив к стержням основной системы заданную нагрузку с исполь-

зованием приложения 2 построим эпюру M F0 (рис. 6.6, д).

6. Определим реакции в дополнительных связях в следующем порядке.

Сначала найдем реакции первого канонического уравнения, описывающе-

го статическое условие равенства нулю суммы реакций в угловой дополни-

тельной связи. Для этого вырежем узел вместе со связью (рис. 6.7, а), после-

довательно прикладывая к нему изгибающие моменты с эпюр M10 , M 20 и M F0 ,

265

соответствующих трём расчётным состояниям. Из условий равновесия полу-

чим:

r11 = 9i (кН·м/рад), r12 = – 9 i/4 (кН), R1F = –72 ( кН·м).

Для определения реакций второго канонического уравнения, описываю-

щего статическое условие равенства нулю суммы реакций в линейной связи,

Все слагаемые данной формулы приведены на рис. 6.8, а, а результат сложения – эпюра MF на рис. 6.8, б.

9. Проверку равновесия жёсткого узла по полученной эпюре MF в данной задаче можно выполнить визуально, так как в узле сходится всего два стерж-

ня.

10. Проведем деформационную проверку, для чего определим степень статической неопределимости рамы. При К =1, Ш =1 nc = 3·1 – 1 = 2. Стати-

чески определимая основная система для рамы показана на рис. 6.9, а. В при-

ведённой основной системе построим вспомогательную эпюра M s0 от дейст-

вия сразу двух единичных моментов, приложенных по направлениям удалён-

ных связей. Тогда

следовательно, деформационная проверка выполняется.

266

11. Эпюры QF и NF, строим по методике, приведенной в п.п. 11 и 12 при-

мера 5.2, п.п. 11 и 12 (см. рис. 6.8, б).

12. Выполним статические проверки расчёта, рассмотрев равновесие всей рамы, предварительно определив по построенным эпюрам все опорные реак-

ции (рис. 6.9, б).

∑X = 0, 15,75 + 32,25 – 48 = 0;

∑Y = 0, 41,625 + 30,375 – 9 ·8 = 0;

∑MA = 0, 18 + 9·8·4 – 48 ·2 + 33 – 30,375 ·8 = 339 – 339 = 0.

Таким образом, статические проверки также выполняются, следовательно,

расчёт произведён правильно.

Пример 6.2. Требуется построить эпюру изгибающих моментов MF в ра-

ме, показанной на рис. 6.10, а.

Относительные жёсткости стержней рамы одинаковы, так как 1,25EI/5 =

EI/4 = i.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу ли-

нейной неподвижности её узлов nк = nу = 1. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным r11Z1 + R1F = 0.

2.Основную систему получим введением одной дополнительной угловой связи (рис. 6.10, б).

3.Деформированную схему основной системы от принудительного пово-

рота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующую ей эпюруM10 (рис. 6.10, в) строим с помощью приложения 1.

4. Так как внешняя действующая нагрузка является узловой и непосред-

ственно воспринимается введённой дополнительной угловой связью, стерж-

ни основной системы не загружены, и, следовательно, в грузовом состоянии эпюра M F0 = 0.

5. Реакции в дополнительной связи определим из условий равновесия

(рис. 6.10, г): r11 = 7i (кН·м/рад), R1F = 56 (кН·м).

6. Запишем каноническое уравнение в численном виде 7iZ1 + 56 = 0,

267

откуда Z1 = – 56/7 i = – 8/ i (рад).

Пример 6.3. Требуется построить эпюру изгибающих моментов MF в ра-

ме, показанной на рис.6. 11, а.

Относительные жёсткости стержней рамы следующие:

∙левой стойки – i1 = EI/4 = i;

∙правых стоек – i2 = 2EI/4 = 2i.

Ригель рамы имеет бесконечную жёсткость при изгибе, поэтому узлы ра-

мы неспособны к повороту.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы nк = nл = 1.

т.к. узлы рамы поворачиваться не могут, а для ригеля за счёт изгиба стоек рамы возможно только одно горизонтальное линейное смещение. Следова-

тельно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным

r11Z1 + R1F = 0.

2. Основную систему получим введением одной дополнительной линей-

ной связи (рис. 6.11, б).

3. Деформированную схему основной системы от принудительного сме-

щения дополнительной связи на величину, равную единице, и соответст-

вующую ей эпюру M10 , строим с помощью приложения 1 (рис. 6.11, в).

4. Так как внешняя действующая нагрузка является узловой и непосред-

ственно, через ригель, воспринимается введённой дополнительной линейной связью, стержни основной системы не загружены, и, следовательно, в грузо-

вом состоянии (рис. 6.11, г) эпюра M F0 = 0.

5. Реакции в дополнительной связи в обоих расчётных состояниях опре-

делим из условий равновесия вырезанного замкнутыми сечениями ригеля

(рис. 6.11, д): r11 = 2,625i (кН/м), R1F = – 63 ( кН).

6. Запишем каноническое уравнение в численном виде: 2,625iZ1 – 63 = 0,

откуда Z1 = 63/2,625i = 24/i (м).

268

7. Эпюру изгибающих моментов в заданной схеме рамы строим по фор-

муле (6.6) при M F0 = 0, т.е. M F = M10 Z1 (рис. 6.11, е). При этом эпюру изги-

бающих моментов на абсолютно жёстком ригеле достраиваем по значениям в крайних сечениях, определённых из условий равновесия узлов.

Пример 6.4. Требуется построить эпюру изгибающих моментов MF в раме с наклонной стойкой, показанной на рис.6. 12, а.

Относительные жёсткости стержней рамы следующие:

∙левой наклонной стойки – i1 = 1,25EI/5 = 1,5i;

∙ригеля – i2 = EI/6 = i.

∙правой стойки – i3 = 0,5EI/3 = i.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы nк = nу + nл = 1 + 1 = 2. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет второго порядка

r11Z1 + r12Z2 + R1F = 0;

r21Z1 + r22Z2 + R2F = 0.

2. Основную систему получим введением одной дополнительной линей-

ной связи и одной – угловой. При этом для данной рамы дополнительная ли-

нейная связь может быть поставлена либо по направлению возможного пе-

ремещения узла С (рис. 6.12, б)., либо по направлению возможного переме-

щения узла В перпендикулярно наклонной стойке (рис. 6.12, в). Для расчета примем первый вариант основной системы.

3. Деформированную схему основной системы от принудительного пово-

рота дополнительной угловой связи на величину, равную единице, и соответ-

ствующую ей эпюруM10 , строим с помощью приложения 1 (рис. 6.12, г). Де-

формированную схему основной системы от принудительного единичного смещения дополнительной линейной связи построим в следующей последо-

вательности. Сначала определим узловые перемещения шарнирной схемы,

затем по известным положениям узлов с помощью приложения 1 строим де-

формированную схему и соответствующую ей эпюруM10 (рис. 6.12, д), ум-

269

ножая значения таблиц реакций на полученные при построении значения от-

носительных смещений концов стержней основной системы.

4. Приложив к стержням основной системы заданную нагрузку с исполь-

зованием приложения 2 построим эпюру M F0 (рис. 6.12, е).

5. Определим реакции в дополнительных связях в следующем порядке.

Сначала найдем реакции первого канонического уравнения, описывающе-

го статическое условие равенства нулю суммы реакций в угловой дополни-

тельной связи. Для этого вырежем узел вместе со связью (рис. 6.12, ж), по-

следовательно прикладывая к нему изгибающие моменты с эпюр M10 , M 20 и

M F0 , соответствующих трём расчётным состояниям. Из условий равновесия получим:

r11 = 9i (кН·м|рад); r12 = – 1,875 i| (кН); R1F = –36 ( кН·м).

Для определения реакций второго канонического уравнения, описываю-

щего статическое условие равенства нулю суммы реакций в линейной связи,

воспользуемся:

теоремой о взаимности возможных реакций, на основании которой r21 = r12 = – 1,875 i| (кН);

способом «давлений», при котором действие стержня на узлы основной системы, превращенной в шарнирную схему, представляется в виде линей-

ных реакций изгибаемого стержня, приложенных с обратным знаком на ос-

новании принципа действие равно противодействию.

Для определения коэффициента r22 к шарнирной схеме (рис. 6.12, з) при-

кладываем «давления» от изгибаемых стержней на эпюре M 20 .

На основании принципа возможных перемещений (см. подразд. 4.3)

ΣT2 2 = r22 ·1– 0,9 i·1,25– 0,0625 i·0,75– 0,333 i ·1 = 0,

откуда r22= 1,506i (кн/м).

Для определения коэффициента R2F к шарнирной схеме (рис. 6.12, и) при-

кладываем «давления» от действующей нагрузки.

ΣT2F = R2F ·1+40·1+30·0,75 = 0,откуда R2F = – 62, 5 ( кН).

6. Система канонических уравнений в численном виде будет иметь вид:

270