Текст

• Равновесие диска Д2. На диск Д2 действует вертикальная реакция VD = 12

=38 – 38 = 0.

•Равновесие диска Д1. На диск Д1 действует вертикальная реакция VB = – 7

кН.

Для проверки правильности определения реакций в связях рассмотренной балки составляем уравнения равновесия для всей расчётной схемы (рис. 2.16,

в).

∑MА = 0; 12 + 20·5 +16 – 31·8 + 24·12 +8·14 – 38·16 + 16·18 + 2·20 = = 856 – 856 = 0.

∑Y = 0; 1 – 20 + 31 – 24 – 8 – 16 + 38 – 2 = 70 – 70 = 0.

Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, определение реак-

ций произведено верно.

3. Построим эпюры M и Q. С этой целью покажем схему взаимодействия отдельных дисков балки с определенными в п. 2 реакциями в связях (рис. 2.17.

а). По данной схеме построим эпюры M и Q для каждого отдельного диска и объединим их для всей схемы балки (рис. 2.17, а, б).

Определение положения и величины Mэкс на диске Д1 произведем по анало-

гии с примером 2.2.

61

2.5.Трёхшарнирные арки и рамы

2.5.1.Классификация арок и рам

Трёхшарнирные системы (см. рис.1.19, а и б) состоят из двух дисков, соеди-

нённых между собой одним шарниром и двумя шарнирами с основанием. Если диски представляют собой стержни с криволинейной осью, то система называ-

ется трёхшарнирной аркой (рис. 2.18, а). Если дисками являются прямолиней-

ные стержни или стержни с осью ломаного очертания, то в этом случае расчёт-

ная схема носит название трёхшарнирной рамы (рис. 2,18 , в).

Отличительной особенностью трёхшарнирной системы является то, что в обеих её опорах при любой нагрузке возникают две опорные реакции – верти-

кальная и горизонтальная (рис. 2.18, б, г). При действии только вертикальной нагрузки горизонтальные реакции в обеих опорах будут равны и направлены в противоположные стороны (на основании уравнения равновесия ∑X = 0) и на-

зываются распором. Поэтому трёхшарнирные системы часто называют распор-

ными. При этом распор при действии вертикальной нагрузки, направленной вниз, всегда направлен внутрь трёхшарнирной арки или рамы.

Арочные системы на протяжении многих веков были одной из основных ар-

хитектурно – строительных форм при возведении мостов, акведуков, перекры-

тий дворцов и соборов.

Элементами арки являются (см. рис. 2.18, а):

• пролёт – расстояние l между опорами);

•стрела подъёма – расстояние f от шарнира С до линии, соединяющей опорные точки арки;

•пята – опора арки;

•ключ (замок) – наиболее высокая точка арки, обычно шарнир;

•левая и правая полуарки – криволинейные стержни арки.

Основной геометрической характеристикой арки является отношение стрелы подъёма арки f к пролёту арки l. Это отношение колеблется в очень широких

62

пределах f/l= (1/2…1/20). В зависимости от этого отношения арки подразделя-

ются следующим образом: f/l= (1/5…1/20) – пологие; f/l= (1/3…1/5) – нор-

мальные; f/l > 1/3 – подъёмистые.

Оси арок могут быть очерчены по окружности (рис. 2.19, а), параболе (рис. 2.19, б), эллипсу (рис. 2.19, в), коробовой кривой, состоящей из дуг окружно-

стей разных радиусов.

Арки, очерченные по половине окружности (см. рис.2.19, а), называют полу-

циркульными. При значительном подъеме средней части, характерном для готи-

ческого стиля, получают стрельчатую арку (рис. 2.19, д).

Опоры арок обычно располагают на одном уровне. Если же опоры располо-

жены на разной высоте, что на практике встречается редко, то арка называется

ползучей (рис. 2.19, г).

При невозможности передачи распора трёхшарнирной системы на основа-

ние, применяют статически эквивалентную расчётную схему: трёхшарнирную арку или раму с затяжкой, которой и воспринимается распор. Затяжки могут быть прямолинейными и расположенными в одном уровне с опорами (рис. 2.20,

а) или выше их (рис. 2.20, б), а также ломаного очертания, поддерживаемые подвесками – повышенными (рис. 2.20, в) или пониженными (рис. 2.20, г).

2.5.2. Принципы определения реакций в связях

При определении опорных реакций в трёхшарнирных системах использу-

ются, в зависимости от условий задачи, уравнения равновесия, приведённые в

табл. 2.1 и дополнительная форма уравнения равновесия

Выражения (2.5) представляют собой отражение равенства нулю изгибаю-

щих моментов в сечениях, примыкающих к ключевому шарниру С распорной системы.

63

Порядок составления уравнений равновесия в трёхшарнирных системах при определении опорных реакций может быть различен в зависимости от уровня расположения опор и направления действующей нагрузки.

1. Трёхшарнирная система с опорами на одном уровне при действии произ-

вольной нагрузки (рис. 2.21, а).

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений равновесия для

2. Трёхшарнирная система с опорами на одном уровне при действии верти-

кальной нагрузки (рис. 2.21, б).

В этом случае порядок определения опорных реакций упрощается, так как

HA = HB = H.

Проверки: ∑Y=0, ∑MCправ = 0 (либо ∑MCлев = 0 ).

3. Трёхшарнирная система с опорами на разных уровнях при действии про-

извольной нагрузки (рис. 2.22, а).

При общепринятых направлениях опорных реакций в пятах трёхшарнирной системы (по вертикали и горизонтали) не удаётся составить такие уравнения равновесия, чтобы в каждое из них входило лишь по одному неизвестному. По-

этому для их определения приходится решать системы алгебраических уравне-

ний.

64

Первая система уравнений

∑MA = 0,

∑MCправ = 0, определяются VB и HB.

∑MB = 0,

∑MCлев = 0 определяются VА и HА.

Проверки: ∑X=0, ∑Y=0.

4. Трёхшарнирная система с опорами на разных уровнях при действии вер-

тикальной нагрузки (рис. 2.21, б).

В этом случае порядок определения опорных реакций упрощается, так как

Вторая вертикальная реакция определяется из дополнительного уравнения

равновесия ∑MCлев = 0 (либо ∑MCправ = 0).

Проверки: ∑Y=0 и любое из неиспользованных уравнений равновесия. Примечание. При действии вертикальной нагрузки необходимость решения

системы алгебраических уравнений можно исключить, если реакции в опорных связях направить, как показано на рис. 2.22,в. В этом случае порядок определе-

ния опорных реакций ничем не будет отличаться от их определения в трёхшар-

нирной системе с опорами на одном уровне (2.7). Переход к общепринятым направлениям опорных реакций можно осуществить по зависимостям:

где α – угол наклона прямой, соединяющей опоры А и В, к горизонту.

5. Трёхшарнирная арка с затяжкой и подвесками (рис. 2.23, а).

65

Вертикальные опорные реакции в такой арке определяется как в простой

трёхшарнирной системе с опорами на одном уровне (см. 3.8).

Стержни затяжки и подвески рассматриваются как линейные связи. Тогда реакция (усилие) Nзат в горизонтальном стержне затяжки (рис. 2.23, б) может

быть определена аналогично определению распора из уравнения

∑MCправ = 0 (либо ∑MCлев = 0 ).

Вырезая узел D (рис. 2.23, в) и составляя уравнения равновесия для сходя-

щихся сил N1, N2 и Nзат, получим усилия в элементах 1 и 2:

Если необходимо определить реакции в ключе трёхшарнирной системы, то

после определения опорных реакций по уравнениям 2.6 – 2.10 достаточно уда-

лить связи в шарнире и рассмотреть равновесие любой части расчётной схемы

(левой или правой).

Пример 2.4. Требуется определить реакции в связях трёхшарнирной арки

(рис. 2.24), загруженной вертикальной нагрузкой.

Решение.

В трёхшарнирной арке с опорами на одном уровне левая полуарка загружена

треугольной распределённой нагрузкой, правая – сосредоточенной силой (рис. 2.24, а).

Удалив связи в пятах арки, заменим их действие вертикальными реакциями

и распором. Треугольную распределённую нагрузку на левой полуарке приве-

дем к равнодействующей.

Для определения реакций в связях используем порядок расчёта (2.7):

66

Реализация записанного уравнения показана пунктиром на рис. 2.24, б с

указанием номера уравнения. Результат определения опорных реакций в арке

приведен на рис. 2.24, в.

Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, определение реак-

ций произведено верно.

Для определения реакций в ключе арки (рис. 2.24, г) после удаления связей удобно рассмотреть равновесие правой полуарки. Из уравнений равновесия ∑X=0 и ∑Y=0 находим, что Cx = H = 48 кН, Cy = 6 кН.

Пример 2.5. Требуется определить реакции в связях трёхшарнирной рамы с опорами, расположенных в разных уровнях (рис. 2.25, а), и построить эпюры усилий M, Q и N.

Решение. 1. Определим реакции в связях заданной расчетной схемы.

Для этого, удалив связи в пятах арки, заменим их действие вертикальными и горизонтальными реакциями. Равномерно распределённую нагрузку на правой части рамы приведем к равнодействующей (рис. 2.25, б).

Для определения реакций в связях используем порядок расчёта (2.10):

∑MA = 0; 16·2 + 8·2 + 40 +16·6 – VB ·8 – HВ·2 = 0.

= 0; 16·2 – VB ·4 + HВ·2 = 0.

Решая эти уравнения совместно как систему алгебраических уравнений, на-

ходим VB = 18 кН, HВ= 20 кН.

∑MB = 0; VА ·8 + HА·2 – 8·6 + 40 – 16·2 = 0.

= 0 ; VА ·4 + HА·4 – 16·2 – 8·2 + 40 = 0.

Решая данные уравнения совместно как систему алгебраических уравнений,

находим VА = 6 кН, HА= – 4 кН.

67

Реализации уравнений ∑MCправ = 0 и ∑MCлев = 0 соответственно показаны

пунктиром на рис. 2.25, б пунктиром. Результат определения опорных реакций

в арке приведен на рис. 2.25, в.

Проверка:

Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, реакции определе-

ны верно.

Для определения реакций в ключе С (рис.2.25, г) после удаления связей удобно рассмотреть равновесие правой части рамы. Из уравнений равновесия

∑X=0 и ∑Y=0 находим, что Cx = 20 кН, Cy = 2 кН.

2. Определим значения M, Q и N на участках и в расчетных сечениях рамы,

проставленных на рис. 2.25, г. В силу того, что связи в шарнире С удалены,

значения усилий определяем из равновесия каждого диска рамы по-

отдельности.

Значения поперечных сил на участках и в расчётных сечениях:

• для диска AC

кон);

M4 = ∑ M низ = –4 ·4– 16 ·2 = – 48 кН·м (растяжение левых волокон);

M5 = M4 = – 48 кН·м (растяжение верхних волокон);

M6 = M7 = ∑ M прав = 40 – 2 ·2= 36 кН·м (растяжение верхних волокон);

68

M9 = M10 = ∑ M прав = 40 = 36 кН·м (растяжение верхних волокон);

• для диска CВ

M11 = 0; M12 = ∑ M верх = 20·2 = 40 кН·м (растяжение левых волокон);

M13 =M12 = ∑ M верх = 20·2 = 40 кН·м (растяжение нижних волокон);

M14 = 0.

Значения продольных сил в расчётных сечениях:

• для диска AC

3.Произведем визуальную проверку правильности построения эпюр усилий на основании правил, сформулированных в подразд. 2.1.

4.Производим проверку равновесия верхнего и нижнего жестких узлов расчетной схемы (рис. 2.26, г).

Пример 2.6. Требуется определить реакции в связях трёхшарнирной арки с

повышенной затяжкой ломаного очертания (рис. 2.27).

Решение. Арка с повышенной затяжкой ломаного очертания и подвесками загружена на левой полуарке равномерно распределённой нагрузкой (рис. 2.27,

а), которая для расчёта приведена к равнодействующей (рис. 2.27, б).

Так как распор в арке воспринимается затяжкой, вертикальные опорные ре-

акции в опорах А и В определяются как в простой балке (рис. 2.27, б):

69

Определение усилия в горизонтальном элементе затяжки определим из уравнения;

∑MCправ = 0; – VB ·8 + Nзат·5 = – 24 ·8 + Nзат·5 = 0, Nзат = 38,4 кН.

Усилия в подвеске 1 и наклонной части затяжки определим из равновесия

Силы, действующие на стержни арки, показаны на рис. 2.27, г.

2.5.3. Расчет трехшарнирных арок на действие вертикальных нагрузок

Аналитический расчёт арок включает в себя определение опорных реакций и вычисление усилий в сечениях арки. Определение опорных реакций было под-

робно описано в подразд. 2.5.2. Поэтому задачей данного параграфа является,

главным образом, определение усилий.

Рассмотрим трёхшарнирную арку с опорами на одном уровне и для сравне-

ния – простую балку того же пролёта и загруженную той же нагрузкой, что и арка (рис. 2.28, а).

При определении вертикальных опорных реакций в арке и балке при помо-

щи уравнений равновесия ∑MA =0 и ∑MB =0 легко убедиться в том, что верти-

кальные реакции в балке и арке одинаковы

Для определения распора воспользуемся одним из уравнений (2.8), а именно

∑ MCлев = VA·l1 – F1(l1– a1) – F2(l1– a2) – F3(l1– a3) – H·f = 0.

Первые четыре слагаемых в полученном выражении, с учётом (2.11), пред-

70