Точечная оценка непараметрическим методом

Точечные оценки вычисляют при r > 5. При меньших значениях используют нижние доверительные границы показателей надежности. Для планов без восстановления и замены объектов последовательность вычисления показателей следующая: полученные экспериментально наработки до отказов и до цензурирования выстраивают в вариационный ряд в порядке возрастания. Вычисляют оценку интегральной функции распределения:

где Nj – количество работоспособных изделий до j-го отказа в вариационном ряду.

Для планов [NUT], [NUN], [NUr]:

Здесь m=d для планов [NUT], [NMT] и [NRT]и m=r для планов [NUr], [NMr] и [NRr].

Формулывычисления точечных оценок показателей надёжности для некоторых планов испытаний приведены в табл. 13.

Таблица 13

Формулы для вычисления значений точечных оценок показателей надежности

План испытаний	Средняя наработка до отказа, средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, времени восстановления)	Гамма – процентная наработка, гамма – процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)	Вероятность безотказной работы за наработку t
[NUN]		где 1-γ/100 - регламентированная вероятность
[NUr] [NUT]
[NMT] [NMr]	, где S - суммарная наработка отказавших изделий

ПРИМЕР 23

Оценить среднюю наработку до отказа и вероятность безотказной работы за наработку 250 часов для следующих данных:

План испытаний [NUr];N=6;r=3; наработка отказавших изделийt_i=246, 253, 264 часа; испытания прекращены после 300 часов, отказов не было,t_r=300 часов.

Расчетные формулы для средней наработки:

Расчетные формулы для вероятности безотказной работы (формула для вероятности безотказной работы при наработке t– это формула интерполяции ступенчатой функции в интервале наработки (t_i,t_i-1)– см. рис. ниже) следуют из табл. 13:

Средняя наработка до отказа равна 554 час, вероятность безотказной работы при наработке 250 часов равна 0,738.

Точечная оценка параметрическим методом

Формулы для вычисления точечных оценок показателей надёжности для некоторых законов распределения приведены в табл. 14.

Таблица 14

Формулы для вычисления значений точечных оценок показателей надежности при известном законе распределения

Закон распределения	Средняя наработка до отказа, средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)	Гамма – процентная наработка, гамма – процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)	Вероятность безотказной работы за наработку t
Экспоненциальный
Нормальный
Вейбулла

Для оценки показателя надежности необходимо вычислить точечные оценки параметров распределения. Формулы вычисления точечной оценки параметра λэкспоненциального распределения приведены в табл. 15.

Таблица 15

Точечные оценки параметра λ экспоненциального распределения

План испытаний	Оценка параметра λ
[NUN]
[NUr]
[NUT],
[NUz]
[NMr]
[NMT]

ПРИМЕР 24

Проведены испытания 20-и образцов. План испытаний [NUr],r=5. Наработки до отказа составили: 100, 120, 130, 140 и 150 часов. После 5-го отказа испытания были прекращены. Определить среднюю наработку до отказа, если закон распределения наработки экспоненциальный.

При экспоненциальном законе распределения средняя наработка до отказа равна:

Т=1/λ, гдеλ- интенсивность отказов. При избранном плане испытаний:

.

Тогда:

.

Средняя наработка до отказа равна 722,5 часа.

ПРИМЕР 25

Проведены испытания 50-и изделий, не ремонтировавшихся и не заменявшихся. При наработке 3600 ч 25 работоспособных изделий были сняты с испытаний для исследования их технического состояния. Оставшиеся испытывались до наработки 25000 ч. В процессе испытаний зафиксированы отказы после наработок: 2292, 356, 5440, 2996, 1711, 14610, 10806, 4652, 1638, 1287, 2850, 4830, 2700, 755, 3438, 581, 1904, 23289, 12036, 8550, 742, 1064 и 2640 ч. Оценить параметры наработки при экспоненциальном распределении.

Строим вариационный ряд для наработок изделий: 356, 581, 742, 755, 1064, 1287, 1638, 1711, 1904, 2292, 2640, 2700, 2850, 2996, 3438, 3600* (25), 4652, 4830, 5440, 8550, 10806, 12036, 14610, 23289, 25000* (2).

По формулам табл. 15 для плана [NUz] рассчитываем:

Σti=356+......+23289=111691, Στ_i=25*3600+2*25000=140000, s=111691+140000=251691.

Точечная оценка интенсивности отказов при экспоненциальном её распределении

23*50/251691*49=0,0000932 ч^-1.

Для нормального закона распределения лишь при плане [NUN] формулы вычисления параметров относительно простые:

.

ПРИМЕР 26

Испытано 20 изделий. Испытания прекращены по выходе из строя последнего изделия. Наработки до отказов составляют вариационный ряд:100, 110, 120, 130, 135, 140, 143, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 155, 160, 165, 170, 180, 190 и 200 часов.

Оценить параметры средней наработки до отказа при нормальном законе ее распределения.

По формулам для плана [NUN] находим математическое ожидание средней наработки до отказа и ее СКО:

(100+...+200)/20=2983/20=149,15 ч,

24,7 ч.

Формулы вычислений параметров для других законов распределения можно найти в рекомендованной литературе.