книги из ГПНТБ / Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов

разом

обозначены векторы погрешностей

Aqj2 )

(т =

1, 2,

. . .,

т),

А0р2 )

(р

=

1, 2,

. . ., s),

отнесенные

к звену 2.

Вследствие

погрешностей

поверхности

2 Х

и 2 2

уже не могут

вступать в касание друг с другом, если углы

поворота

q>! и ф 2

будут связаны друг с другом теоретической

функцией

положе­

ния ф 2

(фі). При такой зависимости между

Фі и ф 2

поверхности 2 Х

и 2 2

не

касаются

друг

друга;

между

ними

образуется

зазор,

как это изображено

на

рис. 3.2, б,

либо

они внедряются

друг

в друга.

Обозначим через

М ( 1 )

и

М ( 2

) — точки

поверхностей,

в которых они коснулись бы друг друга при фиксированном

зна­

чении угла поворота ф : звена / и отвечающем ему значении

ф 2

,

если бы механизм был идеальным. Вследствие погрешностей

ока­

зывается, что радиусы-векторы

г ( 1 ) — 0 М ( 1 )

и г ( 2 ) =

0 М ( 2

) не

равны

(рис. 3.2, б);

не

равны

и

орты

нормалей

в

точках

М ( 1

)

и М (

2 ) ; касательная плоскость

П к поверхности 2 !

в точке

М ( 1

>

не

является

касательной

плоскостью

к

поверхности

2 2

в точке М < 2 ) . Поверхности 2Х

и 2 2

можно

снова

ввести

в

каса­

ние друг с другом,

если

хотя

бы одному

из звеньев

/ или 2 сооб­

Условие

касания

поверхностей

2 Х и 2 2

при наличии

погреш­

ностей

определяется

следующими

уравнениями:

г ( 1 Ч « ь

* ь

Фь

. . . . А ^ ; Дві»

Дві»

Д в і » ) -

= r<2 ) («2 , * 2 , ф 2 ,

Ьд?\

. . . .

A?<2>;

A 9 | 2 \ ДЄ<2>

ДЄ<2>);

(3.18)

e( 1 )

(«і, К

ФЬ ДбГ1 , Д Э ^ ,

. . . ,

Д9І1 ') =

= е ( 2 ) («2 ,

К Ф 2 , Д 0 Р \

Д 9 | 2

\ . . . , Д9<2 ) ).

(3.19)

том его погрешностей. Разность функций положения

идеального

и реального механизмов представляет функцию

Д ф 2 (фх )

ошибок

положения реального механизма. Функции

ut (q>x)

и

(фх )

такта по этой поверхности. Сравнение действительной

и идеаль­

ной траекторий

позволяет найти смещение точки контакта по

поверхности 2 f ,

вызванное

погрешностями.

Значительные труд­

ности, возникающие, как

правило, при

определении

функций

и (3.23) можно

придать

следующую

форму:

v i 1 }

+

+

V*1» =

v<2 )

+

v<2> +

v f >;

(3.24)

de^

+

de^>

+

d41} =

de<2)

- f de<2)

+

dt(e2).

(3.25)

Разъясним

принятые

обозначения:

Vg ' = д

dq>i

(і =

1, 2) — перемещение

точки

контакта

< - w d q [

+ - - + w d 4 " + w d e l + • • • + w > x

v » =

^

+

. . . +

^ >

+

| j > +

: . . +

| £ x

X d6s2) — перемещение

точки

по

верхности 2 2

в неподвижном

пространстве,

обусловленное

действием

погрешностей

afq|2 ) ,

. . .,

d ^

и

dQ?\

...,

dBja>.

Аналогично,

dt{e

—

—

d(pc (і

~

1,2)

— перемещение

конца

орта

нормали е( £ )

в

переносном

движении

при

вращении

вместе

с поверхностью

2t-

относительно стойки;

m

бе'1 '

де О

<іег

=

д и

dut

-\—d'&t

— перемещение конца орта нор­

мали е ( , )

в относительном движении

при

перемещении

точки

по

поверхности

2,.;

,Q

(i) .

,аП)

,

(1)

de( 1 )

,

д е ( 1 )

— перемещение

конца

dee

= — п Г "«і

+

• • • + — п г

дщ '

dQjf'

действием

погрешностей

dei1 ',

. . .,

dbi1};

ае9 = — d Q [ ' +

• • • + — T ^ r d Q i ' — перемещение конца

д в р

дв{/>

орта нормали е<2> в неподвижном

пространстве, обусловленое

действием

погрешностей

dei1 ',

. . .,

d6s2 ) .

ный по величине и обратный по знаку

нормальному

зазору Asnt

создаваемому

перемещениями v^2 ) — v^1 '. Следовательно,

—As„ =

vi 2 ) e ( 1 ) .

-(3.31)

Рассмотрев

совместно выражения

(3.30) и (3.31), придем

к уравнению (3.27).

Рассмотрим

более подробно,

как

используется

уравнение

тарного

перемещения

v f определится

уравнением

v f ) = A p < 2 > x ( r ( 1 ) - R < 0

° ) ) ,

(3.32)

где c?q>s2) — вектор элементарного поворота,

линия действия

ко­

торого совпадает с осью вращения звена

2;

г( 1 ) = г( 2 )

— радиус-

вектор

теоретической

точки контакта

поверхностей

2 Х и

2 2 ,

связанной

со

стойкой;

R( °2 > — радиус-вектор

произвольной

точки 02

оси

вращения

звена

2.

Подставив

выражение

(3.32)

в

уравнение (3.29),

получим

[ачр<2> х ( r ( 1 ) -

R(0*>) +

v<2> - v ' 1 ' ] п ( 1 ) =

0.

(3.33)

Отметим

особенность использования

уравнения

(3.27)

или

(3.29),

если

первоначальное

касание

поверхностей 2 І

и

2 2

является линейным. В этом случае при

фиксированном

значе­

нии ф х

существует множество

точек,

образующих

мгновенную

линию

контакта поверхностей

2 Г и

2 2 .

Уравнение

(3.27)

или

(3.29) нужно испытать для всех точек мгновенной линии

кон­

такта и найти ту из них, для которой ошибка положения

ока­

жется

минимальной.

v<2> — у*1 ' + v = 0,

(3.34)

где

v = v < 2 » 4 - v f > - v < 1 ) ;

fi)Xe M

+ dt™-dtp

= 0,

(3.35)

где

to = м<,2) + « є 2 ' — «є1 *.

Вектор v можно уподобить

вектору элементарного перемещения

теоретиче­

ской точки

контакта

М 2 поверхности 2 2 относительно точки Мх поверхности Хг.

Аналогично

вектор

to можно рассматривать как вектор

элементарного угла

поворота в относительном движении звена

2 по отношению

к звену

Векторы v^1 ', v( 2 £, v, dt^\ dt^}\ и Х е ( 1

) принадлежат касательной плоскости

к поверхностям в точке их касания. Векторные уравнения

(3.34) и (3.35) экви­

векторы v j 2 ' и v'1 ^; эти векторы определяют перемещения точки

контакта по

поверхностям 2 г и 2 2 , обусловленные погрешностями механизма.

В системе

поверхностей 2 Х и 2 2 в точке контакта. Следовательно,

система

уравнений

(3.34)

и (3.35) позволяет определить искомые векторы v^1* и \ ^

перемещений

точки

контакта по поверхностям 2 j

и 2 а .

Полезно отметить, что разность

v j 2 ' — vj.1 ' векторов

перемещений может

низма является звено 1, в уравнении (3.34) нужно принять v^1 ' = 0 и определить

из него v j 2 ' . Для раздельного определения v*.1' и v*2*

нужно использовать оба

векторных уравнения (3.34) и (3.35).

Рассмотрим подробнее, как определяются векторы

vj.1 ' и v*2 ' раздельно.

Будем считать известными в теоретической точке контакта главные кривизны х\

и Кц поверхности 2 1 ( главные кривизны и щ и щу поверхности 2 2 )

орты \\

и in главных направлений поверхности 2 1 ; угол а между ортами \\ и іц.

Спроек­

v?\

=v?m c o s а —vr2\V s i n 0 ;

vr2)n

= "ми s i

n a

+v?\v c

o s °:

! cos a — de^y sin a;

de^u = de(^ni

sin a +

de^\v

cos

a.

Учтем

также, что на главных

направлениях deffl

= —

'

(т =

1 при

i = I , I I ; т =

2 при i — I I I , IV). Напомним, что знак

кривизны считается по­

ложительным,

если радиус кривизны и орт нормали совпадают по направлению.

Используя

векторные уравнения (3.34) и (3.35), получим систему из четырех

скалярных

уравнений:

и'1 /

— cos av<2}u

f

sin at)<2 ) v

— v{;

(3.36)

° м і

-

> i n avr2ui

~ c o s "»fiv

=

«и!

(3-3 7 )

« i i i c o

s a o M H + X i v s i n a o M V =

( e ( 1 ) >

'і) ;

(З-3 8 )

*uvrlh — * n i s

i n

— x I v cosay< 2 ) v

=

(e ( 1 ) , to, i „ ) .

(З.ЗЭ)

Исключив из уравнения (3.36)—(3.39) v^u

и v^v,

получим

систему из двух

линейных уравнений

« Ц І Ї +

«12І2 =

Ьі,

1

«21І1 +

«22І2 =

Ь„

J

( 3 - 4 0 )

где

T К х ш + x i v ) + ( х ш - x i v ) c o s 2aY<

a i 2 = a 2 i = - 2 - ( x i n - x i v ) s i n 2 a ;

.0)

h) + ~T К х

ш + x i v ) + ( х ш - x i v ) c o s

2 ° ] +

+ -f- ( х ш —

x i v ) s i n

2 o ;

~22 ~ X I I +

" Г K X 1I1 + X 1V ) -

( X l l l -

X 1 V ) C 0 S

•o

, ) + - £ - s i n 2 a ( x U I - x I V )

K x m + x i v ) - ( x m -

x i v ) c o s 2 о Ъ

51 =

^

;

І2

' v i r

Искомые значения

и і>Ш определяются

из следующих

уравнений:

«12

h

«И

&2

«22

•

V I I —

&2

«22

(3.41)

«11

«12

«11

«12

«21

«22

«21

«22

„(2)

=

V

(1)

(3.42)

V I I

/•11

Пример 3.1. Определим ошибку положения

кулачкового механизма

кулачка

/ и погрешностью v(2)

изменением

радиуса

ролика толкателя 2.

Направление нормали п—п к профилю кулачка

и ролика в изображенном по­

ложении

звеньев определяется углом давления

ос12. Для

определения ошибки

торого представлен

на рис. 3.2, б. Построив в выбранном масштабе векторы v*2*

и — v l 1 ' , находим

искомый вектор

из условия, что вектор pt=\^

—

— vq ~Ь V А о л ж е н быть коллинеарен вектору касательной t — t к

профилю

кулачка. У вектора

v£2 )

линия действия совпадает с направляющими

толкателя,

а модуль определяется

в результате

выполненного построения. Спроектировав

векторы

— v^

'

и v£

на направление

нормали (рис. 3.2, б), получим

1

(2)2 )

V(2)

„(2)

(3.43)

cos а 1 2

V«<2

>

,(2)

M

0 ( 2 ) М

0 ( 2 ) р •

v ? ) = ^ tg <*•

(3.45)

Рис. 3.5

Представим сначала, что эксцентриситет шкалы

равен

нулю

и центром вращения является точка

0 г . После поворота

шкалы

на угол ц>т к индексу подойдет точка

М с делением

ф т . При от­

круг

О, а не вокруг 0Х.

Дл я того

чтобы

к индексу а

подошла

точка

М шкалы,

нужно

повернуть

шкалу

вокруг О на угол ф =

= (МйОМ).

Против индекса а установится, как уже упоминалось,

деление ф т

ф ф;

появится

ошибка

отсчета

Дф = Фт — ф-

(3.48)

Из

построений

рис. 3.5, а следует

4>т =

Ф — Афг + Дфі,

(3.49)

где А Ф І = (а[моУ, Аф 2

= ( о 5 е д .

В

результате

получим

Аф =

Афл — Аф2 .

(3.50)