Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

27.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 6815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

					cosy2	0	sinv2	О
	м 2 6		=		0	1	0	О	(5.65)
	м 2 6		=		-sinY2	О COSV2 —d			(5.65)
					-sinY2	О COSV2 —d
					О	О	О	1
					О		О	Ь
	М02		=		COS ф2		sin ф2	-А	(5.66)
	М02		=		-sin ф2		COS ф2	а	(5.66)
					-sin ф2		COS ф2	а
					О		О	1
Умножив матрицы				по правилу «строка на столбец», получим
	COS фхС05 Ух				Sin фх	COS фх sin Ух		С COS фх
М 0а	—ЗІПфіСОБУі				COS (fx	—ЗІПфіЗІПУі		—СЭШф!	(5.67)
М 0а	—sinYi				0	cosyx		0	(5.67)
	—sinYi				0	cosyx		0
	О			О	О			1
	cosy2				0	siny2		b
М оь	-sin ф2	sin y2			cos ф2 sin ф2		cos Y2 — ( A -f- d sin ф2 )		(5.68)
М оь	- С 0 8 ф 2	5 Ш у 2		—Sin ф2		С05ф2С08 72		CL — d COS ф2	(5.68)
	- С 0 8 ф 2	5 Ш у 2		—Sin ф2		С05ф2С08 72		CL — d COS ф2
	0				0	0		1

Проекции ортов нормалей в системе s определяются с помощью матричных равенств

			— L0xLlaea		= L0aea-			(5.69)
			е<2> =	LQ2L2beb	= Lobeb.			(5.70)
Матрицы		L 0	1 , Lia, L 0 2 , L 2 b можно получить из				матриц		М01,
М1а,	М02, М2ь, если зачеркнуть в них четвертую строку и							четвер
тый	столбец	[72]. После		преобразований		поверхности		2Х ,	Ё 2
и орты нормалей представим в системе следующими							уравнениями:
		=	wx cos фх cos ух +		Pi sin	sin фх	+
		+	Pi cos flx cos фх sin Yi + с cos фх ;
	і/1	=	—Ui sin фі cos Yi -f- Pi sin $x cos фх				— }	(5.71)
		— Px cos Фх sin фх sin Yi — с sin фх ;
		z( 1 ) = — u t sin Yi +			Pi cos •&! cos Yl-

є *'

sin

sin фі

cos 'б'і cos фі sin Yb

,(1)

sin

§ 1 COS фі

cos •&! sin ф х

sin Yb

(5.72)

„0>

COS t>! COS Yb

X(2)

— РгC

S ^2 C 0

Ї 2

W 2

Ї 2

г/<2>

— p 2

cos # 2

sin ф 2

sin Y2 +

P2 sin ^2 C

0 S

Ф2

— ы 2 sin Ф2c

s Y2 — (A +

d sin ф 2 ) ;

(5.73)

z<2 )

— p 2

cos

ft2

c o

Ф2 s i n

Ї 2 — P2 sin ^2 s

i n

Ф2

—

«2 c

o s

Ф2 c

o s

V2 +

— d cos ф 2 .

e(P

= —COS &2 cos Y2;

cos $2

sin ф 2

sin Y2 — sin 0 2

cos ф 2 ;

(5.74)

2 )

cos #

cos ф

sin Y2 +

sin тЭsin ф

точке

к а с а н и я

поверхностей

2 Х

и 2 2

г*1» ( " і ,

Фі) -

г(2> («2 )

К Ф

) ;

(5.75)

e(i)

(0l t

Ф і

) =

е<2> (*а ,-ф а ).

(5.76)

В е к т о р н ое

равенство

(5.75) э к в и в а л е н т н о

трем

н е з а в и с и м ы м

с к а л я р н ы м

у р а в н е н и я м ,

(5.76)

— т о л ь к о

д в у м

независимым

с к а л я р н ы м у р а в н е н и я м , т а к к а к | е*1* | = | е ( 2 )

|. И с п о л ь з у я п я т ь

независимых

с к а л я р н ы х

у р а в н е н и й , м о ж н о найти

их

(фх ), Фх (фх ),

« 2

(фі),

(Фі)

ф 2

(Фі).

(5.70)—(5.76)

u l t

Н а

основании

у р а в н е н и й

после

исключения

•&2

иг

получим

sin tpj sin ф2

sin Yi — cos ф2 cos Yi — cos фх sin Yi tg Y 2

(5.77)

cos ф! sin фа

sin фх

tg Y 2

& sin ц>х — Л cos ф! — (Pi 4- P2) sin bx

— d cos фх sin ф2

sin

Y 2

s i

n Фі

o s

Фі

s i n

Ф 2

o s

Y 2

k [b sin Yi — (Pi +

p2 ) (sin ЇЗІ sin фх sin Yx +

cos $ г

cos фх) -f-

-f- CL cos фх cos Yx — с cos фх sin Yx — d cos ф х

cos ф 2 cos

Yx],

(5.78)

где

sin Y 2 s i n

Yi +

cos фх cos ф2 cos Y 2

cos Yi

ЛеГКО удостовериться,

ЧТО ЄСЛИ А — Рх + р 2

ТО При фг =

имеем: T3J =

—2~ ,

# j

(fj =

0 (см. рис . 5.19).

Д л я

определения

табличном

виде

ф у н к ц и и

перемещений

Фг — Фг (фі)

н у ж н о

рассмотреть

совместно

у р а в н е н и я

(5.77)

(5.78).

П р и этом,

ф и к с и р у я

з н а ч е н и я

ф ь

н у ж н о

найти

т а к и е

з н а

чения

•&! и

ф 2 , пр и

которых

будут

у д о в л е т в о р я т ь с я

у р а в н е н и я

(5.77) и (5.78). Дл я этого необходимо воспользоваться методом последовательных приближений. В частных случаях, рассматривае мых ниже, функцию положения удается представить в явном виде.

Для определения передаточного отношения поводкового меха низма (см. ниже) нам понадобятся координаты точки контакта поверхностей цилиндров и проекции орта нормали. Д л я этого помимо уравнений (5.77) и (5.78) нужно воспользоваться следую щими зависимостями:

b sin фі — A cos фх

— (рх - f р2 ) sin •&1 — dcos фх

sin ф2 .

,r 7 C j ^

W 2

sin фх sin у2

+ COS фх

sin ф2

COS Y 2

cos ft =

s i " ^

s i

ф і + c

o s Q l

o s ф і s

i n

Y l

•

(5 80)

cos Y 2

—

(Pi + Pa) c

o s

Yi — a

+ ( " 2

cos Y 2 4- d) cos ф2

(5 81)

sin Yi

При Л == Pt + p 2

и значениях ф х = ф 2

0 для определения

ы2

следует воспользоваться

вместо

зависимости

(5.79)

формулой

(« —d

) cos Yi +

(6 — с) sin Yi

/5 g 2 \

cos(Y! — Y«)

Подставив

значения

ф ь

« 1 (

ftj

выражения

(5.71)

(5.72)

либо ф2 , ы 2

и Ф 2 в (5.73) и (5.74), найдем

проекции

г( ( )

и e('> (/ =

1, 2).

Функция передаточного отношения. В рассматриваемом меха

низме передаточное отношение является переменным, т. е.

Функцию

/ 2 1 (фх )

можно

определить,

если

продифференци

ровать функцию перемещения ф 2 (фх ), однако этот способ

является

громоздким. Более целесообразно воспользоваться для

этого од

ним

из следующих

уравнений:

(і =

П Ш У ( 1 2 ) =

e<"v<12> = 0

1, 2),

(5.83)

где

v ( 1 2 ) — скорость относительного движения; п('> и е ( 1 )

— вектор

орт нормали.

Это уравнение

вытекает

из основного

положения теории

оги

бающих поверхностей, согласно которому в точке

контакта

поверх

ностей вектор

скорости

относительного движения должен

лежать

касательной

плоскости

поверхностям.

В развернутом виде уравнение (5.83) можно записать в такой

форме

„(О [(e)(1)

_ о)(2))Х

r (0 _ RХ

а ( 2 ) ] =

о .

(5.84)

В этом скалярном уравнении со( 1 ) и © ( 2 ) скоростей вращения звеньев 1 и 2 (см. рис. вектор точки М контакта поверхностей;

— векторы угловых 5.22); r ( t , ) — радиус- R — ООа — радиус-

10 ф. Л . Литвин

145

вектор текущей		точки линии действия <Й(2). Радиусы-векторы		г(1>
и R проведены		из точки О, принадлежащей линии действия		век
тора	При выводе уравнения		(5.84) принято, что
v ( 1 2)	_ у ( 1 )	_ у(2) _ ш ( 1 ) х Г (і) _	[(^(2) х r (0) + R X (0(2)]. ( 5 - 8 5 )

При определении скорости точки v ( 2 ) скользящий вектор ©<2> приведен к точке О, в результате чего и появляется вектор-момент RXCO<2>.

Удостоверимся теперь, что уравнение (5.84) действительно позволяет определить мгновенное передаточное отношение i21.

После решения системы уравнений (5.75) и (5.76) становятся известны координаты точки контакта и проекции вектора нормали (орта нормали) в этой точке. Следовательно, в уравнении (5.84) известны векторы п<1) и г( '>. Радиус-вектор R известен, поскольку заданы линии действия векторов ю*1* и ш ( 2 ) , направленных по осям вращения звеньев. У вектора со( 1 ) известны не только направление, но и величина, так как мы можем назначить любую скорость вра щения звена / . У вектора о)( 2 ) известно только направление, вели чина же этого вектора должна быть найдена из скалярного урав нения (5.84). Это и позволяет определить мгновенное передаточное

ш ( 2 )

отношение i21 — —rjT-. В рассматриваемом примере целесообразно воспользоваться такой формой записи уравнения (5.84):


" п[Чх12)	+ п<<41 2 ) +			п №		= 0	(г =	1, 2).		(5.86)
Проекции орта нормали были ранее представлены									выражениями
(5.72) и (5.74). Проекции вектора скорости имеют такие выражения:
t,<12) =	co(1 V;	v(yl2)		= - о ) ( 1		) х -	о><2) (г -	а);
	v ^	=		^ ( y	+	A).				(5.87) *
Д л я упрощения	записей положим					в выражениях			(5.87)	со*1) =
= 1 рад/с. Тогда	со*2) =	/ 2 1	рад/к.
Используя зависимости			(5.86),		(5.87)		и (5.72)		либо	(5.74),

найдем / 2 1 (фл).

Частные случаи поводкового механизма. Довольно широкое распространение получили поводковые механизмы, у которых оси цилиндров кинематической пары перпендикулярны осям вра

щения звеньев. Положив в уравнениях (5.77) и (5.78) у І =							у2 = О,
получим
		ctg	=	—cos фі tg ф2 ;			(5.88)
	tg 2	ф 2 [(Pi +		Pa)2 — a2] cos2	<pt —
—	2a (A cos ф х — b sin фх ) cos ^				tg ф 2	+
+	(Pi +	Pa)2	— (A cos q>t — b sin фі)2 =			0.	(5.89)

Выражение (5.89) определяет искомую функцию перемещения. Продифференцировав зависимость (5.89), найдем функцию пере

даточного отношения i n =

= f (фі)-

Если пренебречь радиусами цилиндров, получим следующие приближенные зависимости для функций перемещения и переда точного отношения:

ЧЩ=	Ь * Ъ - А	;	(5.90)
,	J c o * ^		( 5 9 1 )
Перейдем теперь к рассмотрению		поводкового	механизма,

у которого оси цилиндров параллельны осям вращения звеньев^

Такой механизм применен в измерительной головке						[12]. Положив
в зависимостях	(5.77) и (5.78) vx =				^ - , у 2 =	, получим
		*і	=	- х - - Ф і ;		(5.92)
		8 І П ф 2 = " t a i f a - m ^				( 5 9 3 )
где m = A — (pi +		pa );
		#2 =		- J - +	ф 2 -
Передаточное отношение
.	=	CCOSTt	_		С COS (ft	Q .
Д л я случая,	когда А = р х			+ р 2 , в зависимостях		(5.93) и (5.94)

нужно положить т = 0.

5.8. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ Ш А Р Н И Р

Схема механизма. Из пространственных механизмов в прибо ростроении помимо поводкового механизма нашел довольно широкое применение универсальный шарнир, известный также под названием шарнира Гука, карданова шарнира. Такой шарнир является четырехзвенным механизмом, используемым для пере

дачи	вращения между	пересекающимися осями (рис. 5.23).
Звенья	1 я 3 механизма,	называемые	вилками (рис. 5.23, г) со
единяются между собой крестовиной 2			(рис. 5.23, в). Вилки J и 3,

имеющие одну и ту же конструкцию, вращаются вокруг осей O t и 0 3 . Ниже будет показано, что, если звенья механизма будут соеди нены посредством одной вращательной пары (класса V) и трех ци линдрических пар (класса IV), в механизме не будет пассивных связей и определение реакций в парах будет статически определи мой задачей.

10*

147

Кинематике и статике универсального шарнира посвящены работы М. И. Лысова [82], 3. Ш. Блоха [14], Н. Ф. Утехина [120] и другие [135, 148].

Функции перемещения и передаточного отношения. Зависи мость между углами поворота ведущего и ведомого звеньев уни версального шарнира — нелинейная, а отношение их угловых

скоростей — переменное! Функцию перемещения механизма можно определить, используя построения рис. 5.23, б.

Выберем на крестовине 2 и вилках /, 3 точки Л и В, одинаково

удаленные от точки О пересечения осей Ох		и 0 3 (рис. 5.23,		а).
Свяжем СО СТОЙКОЙ	ЗВеНЬЯМИ / И 2 СИСТеМЫ КООрДИНаТ		S, St и	s2 .
В начале движения	систем кооординат s, st	и s2 совпадают друг
с другом, точки Л и В занимают положения		Л 0 и В0	(рис. 5.24).
Разъединим мысленно крестовину 2 (рис. 5.23, а) с звеном				3,

оставив его соединенным с звеном / . Крестовина 2 совершает пере носное вращение вместе с звеном 1 вокруг оси z и относительное вращение вокруг оси OA, совпадающей с осью хг. Перемещение точки В в абсолютном движении Asa = Ase + As,, где Asa =

= В0В, Ase = В0В' — перемещение в переносном и As, = В'В — перемещение в относительном движении (рис. 5.24). Проекцией

точки В на плоскость D (на плоскость х, у) является точка В", принадлежащая-оси ух. Отметим, что лучи OA и ОВ" образуют угол в 90°, что будет использовано в последующих рассуждениях.

Обратимся теперь к рис. 5.23, б, на котором изображены тра ектория точки А звена / на плоскость D, проекция траектории

точки В звена 3 на ту же плоскость. В плоскости D

траектория

точки А представляет окружность радиуса

ОА0.

В плоскости

Я ,

перпендикулярной

оси вращения

г р

звена 3 (рис. 5.23, а),

траек

тория

точки

представляет

окружность

радиуса

ОВ0

ОА0.

Проекция

этой

траектории

на

плоскость

представляет

эллипс. Точка

В — общая

точ

ка

крестовины

вилки

Перемещение

точки В

вилки

в абсолютном

движении

(отно

сительно

стойки)

совпадает

перемещением

абсолютном

движении

точки

крестови

ны

2.Z,

Представим,

что

звену

сообщен

поворот

на

угол

ф 1 0

(рис. 5.23,

б) и точка А0

заняла

положение

А.

Звено

повер

нется

на

угол

фзо и

точка

В0

займет в плоскости Я положе

ние В. Проекцией точки В на

плоскость

является

В".

Как Ц2А

уже было

установлено

выше,

угол между лучами OA и ОВ",

измеренный

плоскости

Рис.

5.24

является

прямым.

Д л я

того

чтобы

найти

угол

поворота

ф з 0

звена

повернем

плоскость Я

вокруг прямой

ОВ0

(рис. 5.23, б) до совмещения ее с

плоскостью

Тогда

на

рис. 5.23,

эллипс

совместится

окружностью

и точка

В" перейдет

положение

В.

Угол В0ОВ

представит

истинный

угол

-поворота ф 3 0

вилки 3.

Учитывая,

что

СВ" —

СВ cos а,

где а — угол

между плоскостями D и Я , получим

tg<P3Q

СВ

Следовательно,

tg Фю

СВ"

cos а

tg<P3o

tg Фю

(5.95)

cos а

на

График

функции

перемещения

ф 3 0

ф 3 0 (фю)

представлен

рис.

5.25.

. Найдем

выражение для

/ 3 1 =

, для чего

продифференци

руем

(5.95).

0 ) 3 1

cos2 фзо ( ° 3 0

cos a cos2 фю < ° 1 0 '

После преобразования			получим
		'зі —	cos а							(5.96)
		'зі —	1 — cos2	ф 1 0	sin2 а
При этом	/:	cos а	при	ф 1 0	=	0, я ,	2я;	/	3 1 m l n	= cos	а
	31 max	cos а				л	Зя
			П р и ф ю = -2- И				- 2 ~ .
				Переменность				передаточного
			отношения — недостаток							универ
			сального			шарнира,		его преимуще
			ство— возможность						регулирова
			ния при сборке и даже изменения
			в процессе движения						угла а между
			осями		вращения.
				Применение			двойного			универ
			сального			шарнира		позволяет до
			биться			постоянства			отношения
			%о угловых			скоростей			ведомого		и
			ведущего звеньев. На рис. 5.26, а, б
			представлен двойной						универсаль
ный шарнир	с промежуточной осью вращения						0 2 . В таком меха

низме имеются четыре вилки (/, 2, 3, 4) и две крестовины (5 и 6).

При	равномерном				вращении		оси Ох будет		осуществляться	равно
мерное		вращение			оси	03 с	передаточным		отношением	i31	— 1.
Промежуточный					валик	с
осью О2 будет при этом
вращаться			неравномерно.
Передача				равномерного
вращательного движения
оси 03		становится			возмож
ной, если при сборке двой
ного универсального шар
нира		будут		соблюдены
следующие			требования: а)
ось О2 должна образовы
вать с		осями		Ох и 03 рав
ные по величине углы а;
б) вилки 2 я 3 должны
быть в одной плоскости.
Покажем,				что	указан
ные	требования				вытекают
из	анализа			выражений		функций		перемещения в двойном			уни
версальном				шарнире.
Аналогично выражению (5.95) зависимость между углами по
ворота осей Ох и О г, 0 3						и О г определится так:					(5 97)
							Л_Фіо_.				(5 97)
						tgq>20		cos а
								tgфзo			(5.98)
						tg Ф20 = cos а					(5.98)

При записи указанных выражений предполагается, что веду

щей осью является Ох или 03 ,	ведомой о с ь ю — 0 2 .			Угол	ф а о ,
определяемый из зависимостей	(5.97)	и (5.98),	будет	иметь	одно
и то же значение, если между	осями	О г и 0 2	образуется угол а,
равный углу между осями 03 и 0 2 . Кроме того, необходимо,					чтобы
углы ф 1 0 и ф 3 0 были равны по величине и отсчитывались от					одной

и той же плоскости. Последнее требование будет удовлетворено, если вилки 2 и 3 будут находиться в одной плоскости.

Двойной универсальный шарнир позволяет передавать вра щение между параллельными осями (рис. 5.26, б).

Кинематический и структурный анализ. Универсальный шарнир предназна чается для передачи вращения между пересекающимися осями звеньев. Однако вследствие погрешностей сборки может оказаться, что оси z и zp вращения звеньев 1 и 3 (рис. 5.23, а) не пересекаются, а скрещиваются. При соединении звеньев шарнира посредством одной вращательной и трех цилиндрических пар передача движения возможна и при скрещивающихся осях. В этом можно удо стовериться, используя матричное уравнение (5.14) замкнутости контура, кото рое представим в таком виде:

(5.99)

При записи

матричного равенства

(5.99) предполагается,

что с

звеньями

механизма

1, 2, 3 к 0 (0 — стойка) жестко связаны системы координат st , s2, s3

и s (индекс 0 в обозначении s для краткости опущен); Мтп

— матрица

перехода

от системы координат sn (я = 1, 2, 3) к системе sm

(т — 0, 1,3). При составле

нии выражений для матриц Мтп

воспользуемся правилами, указанными

в [72],

учтя

при этом

характер

относительных

перемещений,

допускаемых

каждой

кинематической

парой.

Звенья

1 и 0 соединяются вращательной

парой класса

V, допускающей

вращение вокруг

оси г (рис. 5.23, а и 5.27, а). Матрица

перехода М01

имеет

следующий вид:

COS ф 1

—sin ф 1

sin ф 1

cos Ф1 0

(5.100)

где ф 1

0 — угол поворота звена

1 вокруг

оси z стойки.

вращение

Звенья

и 2 соединяются

цилиндрической

парой, допускающей

вокруг оси хх

и поступательное перемещение вдоль этой же оси. Матрица пере

хода М12 на основании построений рис. 5.27, б определится так:

М 1 2 =

cos ф а 1

sm ф 2

(5.101)

—sin ф а |

COS фз !

где ф 2 1 —угол поворота звена 2 вокруг оси хх звена

1; (х[0^;

0; 0) —коорди

наты, определяющие положение

начала Оа

системы s2 в системе sx.

При составлении

матрицы

М03

введем в

рассмотрение

вспомогательную

неподвижную

систему

координат sp (рис. 5.27, в), что позволит

воспользоваться

матричным

равенством

Мп = МорМР9.

(5.102)

Матрица Мор (рис. 5.27, в) определится так:

	cos а		0	— sin	а
Мор =	0		1	0	„<°Р>	(5.103)
Мор =					Z(°P)	(5.103)
	sin	а	0	cos а	Z(°P)
	0		0	0	1
Здесь а — угол между осями г и zp		вращения звеньев / и 3 (рис. 5.23, а); (х^°р\

у( р)( г (°р)) —координаты, определяющие в системе s смещение начала Ор

Рис. 5.27

по отношению к началу^О системы s. Смещение Ор вызвано погрешностями сборки, вследствие которых оси вращения z и zp звеньев / и 3 не пересекаются, а скрещи ваются.

Звенья 3 и стойка связаны цилиндрической парой, допускающей поворот и поступательное перемещение вдоль оси гр.

Матрица

" cos фзо	—sin фзо	0	О
sin фзо	cos фзо	0	(5.104)
0	0	1	(5.104)
0	0	1

О0

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 6815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ