Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

27.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Наличие двух решений для ср3 и ср2 следует из того, что при одном и том же значении ц>г звенья АВ и 02В могут занимать два различных положения, как это изображено на рис. 5.1, а и 5.1, б.

Д л я определения траектории точки М нужно, как это было упомянуто выше, воспользоваться выражениями (5.3); эти выра

жения	получены	при		проектировании				векторов			уравнения (5.2)
на оси х и у.						М имеют
Уравнения траектории					точки				такой		вид:
	хм	=	1г	cos	ср! +	lAM	cos	(ср2	+	а);	(5.11)
	ум	=	/І	sin	срх +	lAM	sin	(cp2	+	a),

где а—	жесткий	угол		МАВ.

При численном расчете в уравнения (5.11) необходимо под ставлять значения ср2, соответствующие задаваемым значениям срх.

Это позволяет	найти функции хм =	хм(ц>1); Ум — Ум(Ч>і)-
Определение	функции положения	для трехзвенного механизма

с высшей парой. К механизмам такого вида относятся: рычаж ный поводковый механизм, зубчатые и кулачковые механизмы. Определение функции положения основывается на том, что в точке касания поверхностей, образующих высшую пару, равны их радиусы-векторы и орты нормалей. Сущность метода была отчасти

изложена в	п. 3.3; подробнее его применение	будет рассмотрено
на примере	поводкового механизма (п. 5.7).

Матричный метод является разновидностью тензорных мето дов, применение которых в теории механизмов связано с работами


С Г.	Кислицына	[35],	Ф. М. Диментберга			[26],	Ю. Ф. Морош-
кина	[87], Денавита		[149],	Гартенберга		[149],	Бейера		[144],
Беггза	[143 ], Манжерона и Дрэгана [154], Г. С.						Калицына		[33],
Чжан	Цы-сяня [132],		П. А. Лебедева		[57—59],		автора	[70, 72]
и др. Однородные координаты и матрицы четвёртого порядка									были
введены в теорию		зубчатых		зацеплений	автором		в 1955	г.	[66].

Затем это было использовано в работах Чжан Цы-сяня, выпол ненных им под руководством автора.

Для определения функции положения звеньев матричным методом используется матричное уравнение замкнутости контура, впервые примененное С. Г. Кислицыным [35]. Механизм рассма тривается при этом как замкнутая кинематическая цепь с одним или несколькими изменяемыми контурами. Положения звеньев должны определяться раздельно в каждом контуре, если в со став механизма входят несколько контуров.

На рис. 5.2 схематически изображен подвижный замкнутый контур, содержащий звенья 1, 2, . . ., т . . ., п, соединенные между собою кинематическими парами. С каждым звеном номера і жестко связана соответствующая система координат sr

Пусть в системе, например, sm задан радиус-вектор точки гт звена т. Координаты этой же точки в системе sn получим,

используя	матричное равенство
											(5.12)
либо матричное		равенство
		гп = Мп1М1гМ23		- • М (		т _ . . 1 ) ш		г т .			(5.13)
В выражениях (5.12) и (5.13)				гт	и гп		столбцевые матрицы ра
диусов-векторов		r m и г„ одной и той же точки в системах									коорди
		Sm-i	нат	sm	и s„ [72]. При этом
		Sm-i								хп
										хп
							г/т	г	—	Уп
								' п —		*п
							1			1
			Матричные					равенства		(5.12) и
			(5.13)		соответствуют				двум		случаям
			обхода		замкнутого контура от звена
Рис. 5.2			т	к звену			п: по часовой				стрелке;
Рис. 5.2			против часовой стрелки. Сопоставив
			против часовой стрелки. Сопоставив
указанные	матричные		равенства,			получим
Мп ( п _ 1 ) М ( п _ 1 ) (п—2) •			•М{т+1)т=МпХМпМп-					• -М(т_і)т.			(5.14)

Выражение (5.14) является матричным уравнением замкну тости контура. Это уравнение можно записать и в другой форме, если представить, что мы совершаем полный обход звеньев кон тура, начиная этот обход с какого-нибудь звена, например т. Тогда можно записать

	(m—l) (т—2) • •
или	• • -Л1(т+2) (т _\|_1)М(		(5.15)
или
Мт	( т - 1 ) М ( т _ 1 )	( т _ 2 ) • • • М з 2 М 2 і М і л М „ ( „ _ і ) • • •
	• • -М(т+2)	(т+1)Л!(m+i) т =Е,	(5.16)
где Е — единичная матрица.
Матричное	равенство	(5.16) получено в предположении, что
обход звеньев	контура совершается по часовой стрелке.		Анало

гичное равенство можно получить, совершая обход звеньев против часовой стрелки. При этом получим .

Мт ( m + i ) M ( m + i ) ( m + 2 ) -	• -Min-DnMniMi^M-		• •
• • •М(т^2)(т-ї)М(т^\)т—Е.			(5.17)
При определении положений звеньев предпочтительнее поль
зоваться выражением (5.14).
Поясним теперь, как воспользоваться		матричным уравнением
замкнутости для определения	положения	звеньев.

Пусть после перемножения матриц, содержащихся в левой части равенства (5.14), получена матрица со следующими элемен тами:

						« 1 1	« 1 2	« 1 3	а 1 4
		Мп	(,г _1) • • • М ( е т + і ) т		=	« 2 1	« 2 2	« 2 3	« 2 4	(5.18)
		Мп	(,г _1) • • • М ( е т + і ) т		=	« 3 1		« 3 3	« 3 4	(5.18)
						« 3 1		« 3 3	« 3 4
						0	о"	0	1
	После перемножения матриц правой части равенства (5-14)
получена		матрица
						Рп	Pl2	Різ	Pl4
		Мп1М1гМ23-		• -М(		021	Р22	Ргз	Рг4	(5.19)
				[т—\) т		Рзі	Рз2	Рзз	Рз4
						Рзі	Рз2	Рзз	Рз4
						0	0	0	1
	Элементы		матриц	(5.18) и	(5.19) должны быть равны, т. е.
akl	=	(k =	1, 2, 3, 4; / = 1 , 2 , 3, 4). Это означает,							что матрич
ное	уравнение (5.14) позволяет получить двенадцать									уравнений

связи между параметрами, определяющими положения звеньев

контура. Из них три

уравнения

« 14 — Pl4;

а24 =

Р24;

«34 = Рз4

(5.20)

выражают

равенство

проекций

начала

координат системы

на оси координат системы sn при

переходе от sm

к sn

по часовой

или против часовой стрелки.

В остальных девяти уравнениях

« « =

P*z (k=

2, 3;

/ =

1, 2, 3).

(5.21)

akl

или p w равен

косинусу

угла,

образуемого

осью номера

системы s„ с осью

номера / системы

'sm. Осям хт, ут,

гт и

хп,

уп, zn

присвоены

соответственно

номера

1, 2, 3.

Так,

например,

«32 =

Рзг=

c o s (гп> Ут)- Известно,

что из этих девяти

уравнений

независимыми являются только три [72]. Поэтому из двенадцати

уравнений (5.20) и (5.21) независимыми являются только	шесть.
Из этого следует, что матричное уравнение замкнутости	контура

позволяет получить большее число уравнений, чем это требуется для определения положений звеньев механизма. Наличие избы точных уравнений можно отчасти отнести к преимуществам ме тода, а не к его недостаткам. Выбрав из двенадцати уравнений шесть независимых, остальные шесть уравнений можно исполь зовать как контрольные.

Применение матричного метода уравнения замкнутости по яснено на примере универсального шарнира (см. п. 5.8).

5.2. УСЛОВИЯ С У Щ Е С Т В О В А Н И Я К Р И В О Ш И П А

Четырехшарнирный механизм. Условия существования криво шипа в четырехшарнирном механизме определяются теоремой Грассгофа [44], однако ее доказательство довольно громоздкое. В настоящей книге для определения условий существования кри вошипа в четырехшарнирном механизме используется способ вывода, предложенный Э. Е. Пейсахом. Аналогичные способы вывода были ранее применены Г. Г. Барановым [11] и С Н. Ко жевниковым [41 ] .

На рис. 5.3, а изображен механизм

с звеньями l v

/ 2 ,

/ 3 и

/4 ,

в котором стойкой является звено 1Г

Звено 1г

явится кривошипом

лишь в том случае, если при значениях ц>г в промежутке 0 ^

ф г

==£ 2я значения

угла

у 2 з =

I Фз — Фг I

будут

удовлетворять не

равенству 0 <

7 2 3 < я .

Легко

установить,

что

при

значениях

у23 = О и Угз —л звено l v

если оно является

ведущим,

не может

привести в движение звенья

/ 2

и / 3 , так как наступает

заклинива

ние механизма

(см. п. 5.4). На рис. 5.3,

б изображены

положения

звеньев четырехшарнирного механизма при значении

Y2 3 =

(соотношения

длин звеньев

механизма

изменены по

сравнению

с соотношениями, принятыми на рис. 5.3, а).

Рассмотрев

косоугольный треугольник

АВОг,

найдем,

что

1\ + 1\-

І1

1\ -|-

1\-

2 / Л cosq>,)

c ° s v s 3 -

2 / ; / з

(5.22)

Если звено 1Х будет кривошипом, то при 0

ф! ^

2я должны

соблюдаться

неравенства:

—1 < cos у 2 3

< Ч ;

ЭТИ неравенства

можно представить в

виде

+ II — (/? + l\ — 2LL cosф,)

2/1

± -

(5.23)

Учитывая,

что экстремальные

значения cos срх

промежутке

[О, 2я ] равны

± 1, неравенства (5.23) будут соблюдаться,

если

W +

h < h

— U\ > \ h ~

lz\-

(5-24)

Для того чтобы звено 13 было кривошипом, должны соблю

даться

неравенства

О < 7 І 2

<Сп

при изменении

ср3

промежутке

[О, 2л].

Из этого

следует, что

l \ I

Из-i-2/3 /4 cos<fe) < 1 .

(5.25)

2lxl

Основываясь

на выражениях

(5.25), получим,

что звено / 3

будет

кривошипом

при соблюдении

неравенств

\h—h\>\h-li\-

(5-26)

Звено

1Х будет

криво

шипом,

— коромыс

лом,

если

при

соблюде

нии

неравенств

(5.24)

окажется,

что не удовлет

воряется

хотя

бы одно из

Рис. 5.4

неравенств

(5.26). Из ана

следует, что 1Х

лиза неравенств (5.24) и (5.26)

будет

кривоши

пом, а / 3 — коромыслом,

если

будут соблюдаться

неравенства

такого

вида:

—h + / а + / 3 — / 4 > 0 ; — 1Х + /2 — 13 + / 4 > 0 ;

— / х — / 2

+ / 3

+ / 4

> 0.

(5.27)

Из

неравенств

(5.27)

следует,

что при их соблюдении 1г

ока

зывается

наименьшим звеном.

В механизме

1г

и / 3

будут одновременно кривошипами,

если

одновременно будут удовлетворяться неравенства (5.24) и (5.26).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы соблюдались										такие
неравенства:
		— h + /2		+ /3 — U > 0;		+ / 2 — / 3 — U > 0;
				/і — / а +		— / 4 >	0.			(5.28)
	Из	выражений		(5.28) следует,		что если	1Х и / 3 — кривошипы,
/4	— наименьшее			звено.
	При обращении в равенства одного из неравенств (5.23) и
одного из неравенств (5.25)					образуется так называемый				предель
ный механизм, в котором все звенья вытягиваются в одну									прямую
линию		в одном положении. На рис. 5.4 изображен						предельный
механизм, в котором все звенья						располагаются на одной			прямой
линии		при ф х	=	я . При этом оказывается, что ф 3 =				я , у23		= я ,
а	у12	— 0- Этому случаю			соответствует		соблюдение	равенства
		12	/і -

На рис. 5.5 изображены	механизмы, у которых	/ 2 + /4 — / 2 +
+ / 3 и, кроме того, 1г = 13,	/ 2 — /4 . При указанных	соотношениях

все три неравенства (5.28) переходят в равенства; в механизме одновременно существуют два кривошипа. Такие механизмы

известны под названием: механизма с				параллельными кривоши
пами (рис. 5.5,		а) и антипараллельными		кривошипами (рис. 5.5, б).
Звенья 1г	и / 2	механизма с параллельными кривошипами вра-
а)	А	>>2	В	V А

щаются с одинаковой угловой скоростью, шатун / 2 совершает криволинейное поступательное движение. Из положения, когда звенья предельного механизма вытягиваются в одну прямую линию, ведомое звено может выйти, изменив направление своего движения, хотя направление вращения ведущего звена не изме-

Рис. 5.6

нится. Так, в частности, механизм с параллельными кривошипами может превратиться в механизм с антипараллельными кривоши пами.

Определенность движения ведомого звена предельного меха низма при переходе его звеньев через указанные выше положения достигается: а) за счет инерции звеньев, стремящихся продолжать движение в прежнем направлении; б) соединением двух однород ных механизмов, у которых положения ведомых звеньев смещены по фазе (не наступают одновременно).

Кривошипно-ползунный механизм. На рис. 5.6 изображен внецентренный кривошипно-ползунный механизм. Внецентренным механизм назван потому, что траектория точки В ползуна сме щена на величину е. Точки Вх и В2— крайние положения пол-

зуна,		определяемые		из следующих соотношений: ОВх					— I + г;
0В2	=	I — г,	где I и г — длины шатуна			и кривошипа.				воз
	Изображенные на рис. 5.6 положения					звеньев		механизма
можны, если			звено	OA совершает полное			вращение вокруг			оси
О	стойки. Существование				треугольника	0СВ2		становится		воз
можным, если			ОС < ОВ2,		т. е. если
					I— г > е .				(5.29)
	У центрального кривошипно-ползунного						механизма		е =	0 и
		/	> г.		(5.30)

Неравенства (5.29) и (5.30) определяют условия существо вания кривошипа в кривошипноползунном механизме.

Кулисный механизм. В ку лисном механизме (рис. 5.7) звено О И совершает полное вращательное движение (О И — кривошип). Кулиса 3 будет совершать вращательное или качательное движение в зави симости от соотношения длин звеньев. Примем в целях общ ности, что подвижные направ ляющие кулисы, по которым перемещается камень 2, смеще ны по отношению к О2 на вели чину е. Вершина С прямого

угла 02СА опишет при вращении кулисы окружность радиуса е. Если кулиса механизма совершает полное вращательное дви жение, его звенья смогут занять положения, изображенные на рис. 5.7 пунктиром. Существование треугольника 0 2 C H J ста

новится возможным, если

			г — d >> е,		(5.31)
где г =	О И ,	d =	Ох02.
При	е — 0	(направляющие		камня проходят через 02)	кулиса
будет совершать			вращательное	движение, если
			г	> й.	(5.32)

Если неравенство (5.31) [или (5.32) для центрального кулис ного механизма] не будет соблюдаться, кулиса 3 механизма будет совершать не вращательное, а качательное движение.

9 Ф. Л . Литвин

129

б.З. УГОЛ ДАВЛЕНИЯ И УГОЛ ПЕРЕДАЧИ

Для определения реакций в кинематических парах рычажного механизма его звенья нагружаются не только всеми задаваемыми силами, но и силами инерции звеньев. Это позволяет определить полную величину реакций в кинематических парах, но в ходе ре шения из-за сложности используемых зависимостей трудно выяс нить значение геометрических параметров механизма. Это затруд нение можно устранить, если ввести в рассмотрение упрощенную схему передачи сил.

Обратимся	сначала	к	четырехшарнирному	механизму
(рис. 5.8, а).	Примем, что	ведущее и ведомое звенья^механизма

Рис. 5.8

нагружены моментами М і и М3, а остальные силы, в том числе и силы инерции, исключим из рассмотрения. Так как к шатуну 2 не

приложены внешние силы, он должен

находиться в равновесии под

действием реакций

R 1 2

R 3 2

(рис. 5.8, б),

причем

R 1 2

R 3 2

(5.33)

Векторы R i 2 и

R 3 2

коллинеарны,

и их линия действия

совпа

дает

с направлением

шатуна

АВ

(силами трения в парах

пренебрегаем). Следовательно,

от звена 2 к звену 3 давление

будет

передаваться

по АВ.

Угол, образуемый

шатуном АВ

(направле

нием реакции

R 2 3 ) со скоростью V B точки В звена 3, представляет

угол

давления а 2 3 .

Вместо угла

давления

вводят в рассмотрение

угол

передачи

Y 2 3 , образованный

векторами скоростей

\ в

и \ В А ,

где

\ в — скорость

точки

ведомого

звена, a \ В А

—

скорость

точки В в относительном движении при вращении вокруг полюса

А.

Влияние угла передачи (или угла давления) на передачу сил

можно выяснить,

рассмотрев

уравнения кинетостатики

звена

К звену 3 приложен

момент М3

и реакции

R 2 3 , R4 3 ,

образующие

пару сил; прочими силами, действующими

на звено 3,

пренебре-

гаем. При этом

		ЛІ,		(5.34)
	/вс	'во, sin	Y2S

Очевидно, что при	значениях Y 2 3 ,	близких к	нулю и к 180°,
R 2 S —* 00 (возникает	заклинивание механизма).

Угол передачи (угол давления) изменяется в процессе передачи движения. При проектировании четырехшарнирного механизма нужно предусмотреть, чтобы угол передачи v 2 3 не достигал значе ний, близких к нулю и к 180°.

Рис. 5.9

Обратимся к кривошипно-ползунному механизму (рис. 5.9, а). При упрощенной схеме передачи сил линия действия реакции R 1 2 , R23 ( и R32) совпадает с АВ (рис. 5.9, б). Из условий равновесия ползуна 3 (рис. 5.9, е) получим

^ 2	3	=	- Д — •	(5.35)
4 2	3		sm Y23	'

Рассмотрим упрощенную схему передачи сил в кулисном ме ханизме (рис. 5.10, а). Из условия равновесия камня (рис. 5.10, б) следует:

				R12 + R32 =		0.			(5.36)
Реакции R i 2 и R 3 2			проходят через точку Л, а их линии действия
перпендикулярны 0 2 Л .				К	кулисе	3	приложен	момент	М3
(рис. 5.10,	в)	и реакции		R 2 3	и R4 3 , линия		действия	которых	пер
пендикулярна		0 2 Л .
Легко	установить,		что в		кулисном .механизме			угол передачи
Y 2 3 ; = 9 0 °	и
				А 2 3 —					(5.37)

В рассмотренном случае угол		передачи	у 2 3	нельзя считать
полной характеристикой условий		передачи сил. В процессе дви
жения реакция R 2 3	и равные ей по величине реакции в других кине
матических парах	изменяются по	величине,	так	как расстояние

1О2А	камня от центра вращения 0 2				кулисы является			переменным.
Наибольшему значению				R 2 3 (без	учета	сил	инерции		звеньев)
отвечает крайнее нижнее положение А г						камня	2 (рис.		5.10,		а).
5.4. КРАЙНИЕ И МЕРТВЫЕ					П О Л О Ж Е Н И Я			З В Е Н Ь Е В
	В механизмах определенной структуры					ведомое звено			при		не
прерывном вращении ведущего часто совершает реверсивное										дви
жение — возвратно-поступательное					или	качательное.			Крайним
называется положение ведомого звена, в котором его								перемещение
достигает экстремального значения, после чего изменяется											на
правление движения. Скорость ведомого						звена	рычажного			меха
низма		в момент	реверса	равна нулю.
	На	рис. 5.11	приведены построения, позволяющие определить
крайние положения ведомых звеньев четырехзвенных								механизмов.
В	случае четырехшарнирного механизма					используется			условие,
что в крайнем положении коромысла 3 (рис. 5.11, а) кривошип											/
и шатун 2 находятся на одной прямой. Крайние положения											OiBl

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 6813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ