Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf230 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
п (1 - W") = |
п (1 - №.)") = |
П (1 |
- */••)• |
(5.6.9) |
л=1 |
п=1 |
л=1 |
|
Таким образом, функция распределения теперь записана через набо проективных преобразований Р*. ^
Затем мы можем выразить через проективные преобразования под. ынтегральное выражение для импульсов. Ранее мы показали, что ком. бинация
(5.6.10)
i<j
легко преобразуется под действием проективного отображения из-за сохранения импульса и того факта, что внешние линии лежат на массовой поверхности. Теперь нам надо показать, что однопетлевос подынтегральное выражение может быть записано как инвариантное:
d\i П |
(Zi-w'zj^A^dix П (zi-pnzj)kikj А'. |
(5.6.11) |
п = 1, i < j |
п = 1. i < j |
|
Поэтому интеграл для однопетлевой диаграммы можно записать как
J dp П (Zi ~ PnZj)ki'kt(\ - ХГГ2* А. |
(5.6.12) |
п= 1 |
|
i<j
Совершенно обязательно нужно определить, по какой области комплексной плоскости производится интегрирование. На рис. 5.10 показано,
как верхняя полуплоскость разбивается на эквивалентные секторы под действием оператора Р. Заметим, что проективное преобразование отображает окружности в окружности. Поэтому точка, расположенная вблизи от одной неподвижной точки, в результате повторных действий на нее оператора Р постепенно перемещается к другой неподвижной точке. В ходе этого процесса верхняя полуплоскость разбивается на
Рис. 5.10. Действие проективного преобразования. В результате последоват^ ного применения одного и того же проективного преобразования окружное^* окружающие одну неподвижную точку, отображаются в окружности, щие другую неподвижную точку. После бесконечного числа проективных ЯР*
образований произвольная точка любой из этих окружностей оказывается сК угодно близкой к неподвижной точке.
§ 5.6. Многопетлевые амплитуды |
231 |
пресекающиеся области. Мы можем выбрать в качестве области 1дегр0рования любую из этих непересекающихся областей. На этом всунке мы выбрали область, лежащую на полпути между двумя этими Подвижными точками. Стрелки показывают, как некая точка переедается под действием Р, т.е. мы видим идентификацию точек на поверхности. Если добавить внешние линии, они будут лежать только на ^ х и смогут двигаться лишь к краю области, ограниченной этими окружностями.
Такая процедура легко обобщается на многопетлевые амплитуды, потребуем выполнения следующих условий:
(1)Проективной инвариантности относительно преобразований группы SL (2, R). Для N-петлевой амплитуды должно быть N проективных операторов.
(2)Модулярной инвариантности для замкнутой струны, чтобы интегрирование проводилось по одной фундаментальной области в пространстве параметров.
Одних этих соображений инвариантности почти достаточно, чтобы однозначно записать многопетлевую амплитуду.
Сначала найдем многопетлевую расходимость. Пусть набор
(5.6.13)
представляет N вещественных проективных отображений, таких что их неподвижные точки последовательно расположены на вещественной оси. Пусть {Р} обозначает множество всех несовпадающих между собой произведений различных преобразований Р, возведенных в произвольные положительные или отрицательные степени. (На рис. 5.11 видно, что неподвижные точки все лежат на вещественной оси.) Множество {Р} образует группу. Наша область интегрирования представляет собой врезок вещественной оси, находящийся между предельными точками элементов группы {Р}. Если предельные точки всех элементов группы {?} заполняют всю комплексную плоскость, то этот случай нам неин-
jjjV^l- Представление Шоттки двухпетлевой диаграммы открытой струны. ctjJJ!?*031 Два набора неподвижных точек, лежащих на вещественной оси, соответЩих каждому из двух проективных преобразований. Окружности, окружаю-
неподвижные точки, должны быть отождествлены между собой.
232 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
тересен. Тогда области интегрирования для наших переменных ^ существует.
Нас интересуют такие группы {Р}, предельные точки которых обра зуют дискретное множество на вещественной оси, так что имеется
конечная область интегрирования. Группы, обладающие таким свойством, называются группами Шоттки.
Пусть {Р} представляет все различные произведения этих преобразований с точностью до циклических перестановок. Тогда расходящийся член для iV-петлевой амплитуды есть произведение по множеству {р\
[4, 5]: |
' |
П ( 1 - % ) ) - 2 4 . |
(5.6.14) |
Зависящий от импульсов член дается произведением по множеству {/>}:
П (ZI - {P}Zj)ki k\ |
(5.6.15) |
i<L {P} |
|
Поэтому подынтегральное выражение для iV-петлевой амплитуды выписывается удивительно просто. Единственная трудность состоит в том чтобы определить область интегрирования способом, сохраняющим проективную инвариантность. Окончательная формула для ЛГ-петлевой амплитуды с М внешними тахионными линиями есть [2-8]
а=1 |
|
|
{Р}{Р} |
|
|
|
х |
П |
|
(zt-{P}zj)klk< П |
dXfXf'W-1 |
|
|
\ = i < j)==M М |
|
Р, 3L = 1 |
|
|
||
М /т _ |
!Р\ V<2)N kt'kx |
Р * X |
|
|
||
|
|
|
||||
х п г ' - { / > м 2 1 |
|
|
|
|||
4 2 ) |
- |
{ / > } 4 1 ) 4 2 ) - |
{р}х{2) |
J |
(5.6.16) |
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
N |
|
|
С5-6.17) |
dn = П dzxdv;b\ |
П dx<»dx?4x™ ~ х™Г2. |
|||||
i — 1 |
|
|
а = 1 |
|
|
|
Здесь латинские индексы i и j |
представляют внешние тахионные линяя» |
|||||
а греческие индексы-только петлевые переменные. Каждое п р о е к т и в н о е преобразование Р имеет две неподвижные точки и множитель:
* < » ; |
( 5 - б Л 8 ) |
Произведение по группе {Р} берется по всем неэквивалентным произв^ дениям проективных операторов Ра . (Мы исключили те произведеня*
§ 5.6. Многопетлевые амплитуды |
233 |
TOpbie содержат повторный счет, т. е. если некоторый элемент группы /р) является произведением преобразований, приводящим к преобразован®0 70 он не должен действовать на неподвижную точку --собразования Ра, иначе получится повторный счет.)
^Важной стороной такой формы записи подынтегрального выражения лиляется область интегрирования, которая должна учитывать каждую
конформно неэквивалентную конфигурацию один и только один раз.
На вещественной оси мы всегда можем сделать такое проективное преобразование, которое соберет все внешние линии по одну сторону, а все неподвижные точки-по другую сторону от некой точки. (Если А)нка z лежит слева от неподвижных точек проективного преобразования Ра > 70 Л* (z) перемещает z через свои неподвижные точки направо. Таким образом, последовательными проективными преобразованиями мы можем сдвинуть все внешние линии на одну сторону вещественной оси, а все неподвижные точки-на другую ее сторону.) Нужно, однако, проявить осторожность, чтобы исключить такое проективное отображение, которое могло бы сдвинуть некую точку в обход всей диаграммы. Преобразование
P - I l P a |
(5-6.19) |
а= 1 |
|
обладает свойством сдвигать точки вдоль всей вещественной оси мимо всех неподвижных точек. Следовательно, необходимо извлечь периодичность, связанную с обходом вещественной оси произвольное число раз.
Пусть х1 их2 означают неподвижные точки этого произведения. Тогда получаем следующие пределы интегрирования:
х(1) < P(zx) < ZM < Zm-1 < ... |
< zx < x{2) < x[l) < x[2) < |
< |
(5.6.20)
Здесь наложено ограничение, что все множители для Ра, включая
произведение Р, остаются меньше или равны единице. Конечно, существуют другие эквивалентные выборы области интегрирования, поскольку мы приняли один конкретный способ обрезания этой области. В част- н°сти, можно было бы поместить внешние линии между неподвижными Точками разных проективных операторов. Поскольку множество являлось группой Шоттки, мы можем быть уверены, что область интегрирования для наших переменных конечна. (Нужно отметить, что вычис-
многопетлевых амплитуд было проведено в 1970 г. с применением ЧИ>ективных операторов, уничтожающих духи на ведущей траектории.
Духовых полей формализма BRST это вычисление можно проделать чтобы устранить все возможные духи. В силу единственности J^8*1®* Неймана на поверхности можно ожидать, что результат будет
Же.)
0 Д ° сюс пор мы обсудили лишь многопетлевые амплитуды для Ч*Итой струны. Теперь обобщим эти предыдущие выводы, непосред-
gj^^o выписав функцию Неймана для сферы с N |
ручками или |
^ ^ и я м и применительно к сектору замкнутых струн |
[21]. |
234 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
г
9 Q Q
6 I».
6
Рис. 5.12. Гомологические циклы на произвольной замкнутой римановой поверхности. Циклы а и b суть 2g замкнутых линий на поверхности рода g, которые невозможно непрерывными деформациями стянуть в точку. Разрезав поверхность вдоль я-циклов, можно развернуть ее в плоскость, на которой вырезано 20 отверстий. Заметим, что 6-циклы переходят при этом в линии, соединяющие пары
отверстий, определенные я-циклами.
Сначала рассмотрим комплексную плоскость с прорезанными в ней 2N отверстиями. Назовем область, лежащую вовне этих 2N отверстий, областью S. Назовем также эти пары отверстий «-циклами я, и а{, где / = 1 . Проективные преобразования, как мы видели, отображают окружности на окружности, поэтому можно определить N проективных преобразований Р{, переводящих каждый я-цикл в соответствующий еМУ я-цикл (см. рис. 5.12):
(5.6.21)
Эти проективные преобразования Р{, разумеется, могут в свою очередь быть параметризованы двумя неподвижными точками z\1] и z\2) и множителем Xi. Мы увидим, что эти неподвижные точки лежат внутр* соответствующих я-циклов, так что они не принадлежат к о м п л е к с н о й плоскости с вырезанными отверстиями. В общем случае точка, прй* надлежащая поверхности S (области, внешней относительно всех а-Д0**
§ 5.6. Многопетлевые амплитуды |
235 |
лов)* переводится преобразованием Р{ во внутренность одного из а-цик-
ЛОВ.
Кроме «-циклов, у нас имеются также 6-циклы, соответствующие -взрезам по линии, соединяющей а{ с а{. Поэтому эти &-циклы суть •дружности, окружающие /-е отверстие, если мы рассматриваем сферу с fl отверстиями. Заметим, что проективное преобразование z-+ wz на одиопетлевой диаграмме переводит внутренние радиусы соответствующего кольца в его внешние радиусы. Итак, проективные преобразования Pi порождают движение вдоль ^-циклов. В общем случае проективные преобразования Р{ отображают точки одного «-цикла в точки сопряженного ему «-цикла, так что мы движемся вдоль некоторого 6-цикла.
Теперь определим К, как произведение всех различных произведений
разных Pi. |
Заметим, |
что |
индекс |
/ |
меняется от |
1 до N, тогда как |
I пробегает по бесконечному набору индексов. Теперь определим функ- |
||||||
цию |
|
|
|
|
|
|
М П л - |
ь и - О |
+ Г b |
g l |
^ |
j f f i |
(5.6.22, |
Штрих у знака суммы означает, что мы включаем либо Vt, либо VT1, но не оба этих оператора. Казалось бы, функцию Неймана естественно определить выражением
tf(z,z') = ln|\|/(z, z')|. |
(5.6.23) |
Однако такая функция не обладает правильными свойствами. Мы стремимся определить автоморфные функции, изменяющиеся лишь на константу при обходе различных петель в плоскости z. Вышеприведенное выражение не обладает этим свойством периодичности, которое Шялось решающим критерием для функции Неймана. Поэтому такая функция не может быть автоморфной.
Однопетлевая функция, напротив, этим свойством обладает. Заметим, что функция z, например, изменяется на 2ni в результате обхода по
«•Циклу:
\n(ze2ni) = In z + 2ni. |
(5.6.24) |
При пересечении b-цикла она изменяется на w: |
|
Inwz = In w + In z. |
(5.6.25) |
величины называются периодами функции z. Отношение этих Диодов равно
In w
= t |
(5.6.26) |
® Называется матрицей периодов. Итак, т есть матрица периодов для "Петлевой функции.
^тим способом можно показать, что вся однопетлевая функция
236 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
Неймана изменяется лишь на постоянную при обходе вокруг а- ила ^-циклов.
Можно показать, что предложенная выше функция N (в качестве возможной N-петлевой функции Неймана) при обходе вокруг г-г0 я-цикла остается неизменной:
5or\|/(z, z') = 0. |
(5.6.27) |
Однако можно показать, что при обходе вокруг &-цикла, задаваемого преобразованием z Pr (z), она меняется. Она не является периодической, так как
5ы1п \|/(z, |
z') |
= |
-vr(z) |
+ vr{z') |
- -inxrr + |
-in- |
ln (crz |
+ |
dr), |
|
|
(5.6.28) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
_ |
V Z ( 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'Л*) |
= |
1 |
|
Г |
Ъ |
— |
. |
( |
5 |
. |
6 |
. |
2 |
9 |
) |
|
I |
|
Z |
~ V I Z R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(знак (г) у суммы просто означает, что с целью избежать двойного счета в комбинации V^i1,2) необходимо опускать любое преобразование Pri могущее подействовать на неподвижную точку z<1,2)); e n d соответствуют коэффициентам в исходном определении проективного отображения. Если вычислить функцию vr(z) и переместить z вокруг я- или &-цикла, получим
S„rr |
(z) = 27CI5„, |
|
|
|
|
(5.6.30) |
||
я |
• \ |
о • |
|
|
|
|
||
5 bsVr(z) |
= 2 nnrs, |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
_ V 7(1)Uz(2> - V г(2) |
|
|||
= _ |
|
у («> l n A£f |
V l Z ' |
y i r ' |
( 5 6 31) |
|||
|
|
|
|
|
||||
Матрица тг5, полученная вычислением изменения vr вследствие обхода s-то Ь-цикла, снова называется матрицей периодов и является естественным обобщением матрицы периодов т, найденной ранее для однопетлевой диаграммы в (5.5.2) и (5.6.25).
С помощью этого обобщенного определения матрицы периодов можно выписать полную функцию Неймана, обладающую правильными свойствами периодичности. Изменим ц/ так, чтобы выполнялось
ln\j/(z, z') = lni|/(z, z') - ^~Y,Re(vr(z) - |
^(z'Jjftlmx)-1 ^ |
2NR,S |
|
x Re(vs(z) — vs(z')). |
(5.6.32) |
Тогда функция Неймана примет вид |
|
N(z, z') = ln | \j/(z, z') |. |
(5.6.33) |
Собирая все вместе, мы можем записать ЛГ-петлевую амплитуду замкнутой струны. По сравнению с однопетлевой амплитудой имееМ следующие изменения:
§ 5.7. Римановы поверхности и пространства Тейхмюллера |
237 |
(1) Однопетлевая функция распределения принимает вид |
|
П И " * / Г 4 8 > |
(5.6.34) |
I |
|
где мы взяли кратное от произведения по всем неэквивалентным смежным классам выражения .
р) Фактор (In | и>|)-1, который был связан с матрицей периодов, теперь заменяется на детерминант ЛГ-петлевой матрицы периодов:
det |1шт|„. |
|
|
|
(5.6.35) |
(3) Другой множитель, а именно |
|
|||
nг i ^ ' - ^ T |
|
|
|
(5-6.36) |
появляется в выражении для амплитуды. |
||||
Окончательный результат поэтому имеет вид [21] |
||||
Jl |
Jl (1) J2 |
(2) J2 у |
|
|
^N-ioop = Ш |
' |
U * abc |
J |
'Ш хм» - &)| - |
F rs |
|
|
S |
|
х I lm X Г 1 3 П11 - X, I ~48 П IV - W ( 5 - 6 . 3 7 )
Здесь интегрирование проводится по фундаментальной области F поверхности с N отверстиями.
§5.7. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
ИПРОСТРАНСТВА ТЕЙХМЮЛЛЕРА
Хотя в результате предыдущих вычислений мы получили явную формулу, выражающую многопетлевые амплитуды через группы Шоттки, нам приходится быть осторожными при обрезании области интегрирования с целью избежать повторного счета. Это, по-видимому, трудность, внутренне присущая формализму Намбу-Гото, так как в нем континуальный интеграл не фиксирует область интегрирования однозначно.
Что же касается формализма Полякова, то он позволяет устранить Повторный счет с самого начала, используя мощные теоремы для РИМановых поверхностей. Одно из крупных преимуществ этого формализмавозможность в полной мере воспользоваться богатством результатов математических исследований римановых поверхностей, которые проводились в прошлом столетии. Особенно важен будет тот факт, что ^^енный ранее детерминант, содержащий в себе структуру особенностей JV-петлевой диаграммы, может быть выражен через дзета-функ-
^Зельберга.
Напомним, что действие Полякова дается формулой (2.1.35)
(5.7.1)
238 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
Порождающий функционал есть |
|
||
Z= I |
J Dgab |
J DX»e~s, |
{ 5 j 2 ) |
топологииТПППППГИИ метрикаuprnuirn |
annwpuniвложения |
|
|
и его нужно тщательно разделить на подходящий коэффициент, чтобы
не учитывать многократно вклад конформно эквивалентных римановых поверхностей. Мы будем следовать выводу Альвареса [22] для замкнутых струн.
Функциональный интеграл по струнной переменной X гауссов и поэтому легко вычисляется (см. (1.7.10)):
г — |
/ 2К |
^ J |
\ - d / 2 ) D |
D X exp ( - \ d 2 z J 7 g a b d a X » d b X » ) = [ j ^ y j d e t ' |
' (5-7.3) |
||
где |
|
|
|
V2 = —7= dm \foQmn^n |
|
|
(5.7.4) |
y/9 |
|
|
|
а штрих у детерминанта означает, что нулевая мода всегда будет отбрасываться.
Функция распределения (5.2.14), содержавшая расходимость одной петли, в этот детерминант не входит.
Однако выполнение континуального интегрирования по метрике оказывается намного более сложным из-за наличия калибровочных параметров и петель. Как было показано в (2.4.1), мера инвариантна относительно общековариантного преобразования в 2Ь-мерии и масштабного преобразования:
Ъдаь = gacdbbv2 + dabvcgcb - dcbvcgab + 26ogab. |
(5.7.5) |
Если ввести символы Кристоффеля, это выражение можно переписать в ковариантной форме:
ЪдаЬ = V > b + V > 0 + 25 ogab. |
(5.7.6) |
Здесь or является параметром вейлевского масштабного п р е о б р а з о в а н и я , a bva определяет репараметризацию двумерной поверхности. В общем случае это означает, что мера интегрирования по даЪ на самом деле является бесконечной. Заметим, что даЬ имеет три независимые компоненты и что bva и da также имеют три компоненты, так что и н т у и т и в н о можно ожидать, что допустимо положить все компоненты м е т р и ч е с к о г о тензора равными дельта-функции:
9аь = Ъаъ. |
(5.7.7) |
На интуитивном уровне выбор конформной калибровки э к в и в а л е н т е н факторизации континуального интеграла по бесконечному объему факторы, отвечающие вейлевскому масштабному преобразованию, с оД ной стороны, и двумерной репараметризации поверхности, с ДрУ1"0 ' Фиксация калибровки тогда означает, что континуальный и н т е г р а л
§ 5.7. Римановы поверхности и пространства Тейхмюллера |
239 |
и1етрйке заменяется согласно формуле
Dgab - Я Ы П о о т Г 1 (Oweyi), |
(5.7.8) |
«е бесконечный |
объем пространства может быть представлен в виде |
( i . (1-6.7)) |
|
flmff = SDv- |
|
flweil = SDa- |
(5.7.9) |
Для сфер и дисков без отверстий это действительно верно. Однако ддя поверхностей с большим числом петель или ручек это уже не так из-за осложнений, связанных с параметризацией петель.
В общем случае сфера с N отверстиями или ручками требует много параметров для описания расположения и размера каждого отверстия. В сущности, для диска с отверстиями нам нужны один параметр для задания радиуса каждого отверстия и еще два для задания координат центра каждого отверстия. Таким образом, для описания 3N отверстий нужно N параметров. (В случае сферы с ручками необходимо 3N
комплексных параметров для описания N пар отверстий.) Как мы видели ранее, три параметра можно зафиксировать в качестве общих (и взять их равными, скажем, 0, 1 и бесконечности), так что диск с отвер- стиями может быть описан
3 N - 3 |
(5.7.10) |
вещественными параметрами или вдвое большим 'их числом, если поверхность является сферой с N ручками. Итак, даЬ нельзя положить равным ЬаЬ для поверхностей с высоким родом (отверстиями). Однако всякая двумерная метрика конформно эквивалентна метрике с постоян- ной кривизной. Конформным преобразованием всегда можно сделать
кривизну постоянной. Поэтому пространство метрик, по которому мы котим интегрировать, это пространство метрик с постоянной кривизной,
Разбитое на классы с помощью диффеоморфизмов поверхности М. Пространство модулей есть пространство метрик с постоянной кривиз- ®>й, в котором устранен повторный учет, порождаемый репараметри-
зационной инвариантностью:
Пространство модулей = Din (М) . |
(5.7.11) |
ко, как было показано при обсуждении однопетлевых диаграмм Р^д. S.5, на самом деле существуют два класса репараметризаций: те, торые можно связать с тождественным преобразованием, и те, кото- ?®не могут быть с ним связаны. В предыдущем тождестве разбиение Г^есгвлялось посредством множества всех диффеоморфизмов поверхНо мы также могли осуществить его посредством лишь таких ^Ффеоморфизмов, которые связаны с тождественным преобразованазовем его Diff0 (М). Полученное пространство называется прост-