Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf300 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
«размазанное по струне» (которое представляет произвольную COBOKV
ность высших резонансов).
Отметим, что с этой амплитудой связаны две проблемы, требуюцп, безотлагательного решения.
(1)Функция Неймана встречается только с поперечными импульсными возбуждениями. Мы должны показать, что полное выражение является лоренц-инвариантным, включая и продольные импульсные торы.
(2)Переменные времени взаимодействия т,, найденные в полевой теории струн, должны быть преобразованы в обычные переменные г Кобы-Нильсена. Это требует якобиана, который в общем случае
довольно сложен.
Займемся решением первой проблемы. Кажущаяся нерелятивистская форма амплитуды с поперечными и продольными факторами, встречающимися в совершенно различном виде, является, однако, иллюзией. Существует трюк, который превращает это выражение в лоренц-инвари- антный интеграл. Дело в том, что переменная т является решением уравнения Лапласа с правильным граничным условием. Поэтому ее можно выразить через линейный интеграл по каждой внешней линии на бесконечности:
x = f l W i V ( a , x ; a ' , t r ) . |
(6.6.3) |
ZK r |
|
(Довольно странное тождество, выражающее т через нее же саму. Для его доказательства просто умножим обе части (2, 5, 6) на т' и выполним интегрирование по двумерной плоскости. Тщательно отбрасывая взаимно уничтожающиеся члены, интегрированием по частям получаем приведенное выше уравнение.) Итак, можно заменить переменную т ее функцией Неймана и написать
I Р7 тг = ^ I |
Р7 j d& N (а, тг; |
а', т.) |
|
|
= -I £ P£pI j |
J d& N |
^. ^ ^ |
(6 6 4) |
|
к |
r s ar as |
|
|
|
Добавляя этот продольный вклад функции Неймана, содержащий Р Р ' к поперечному вкладу, содержащему /?,/?,, мы получаем в результате общую инвариантность функции Неймана. Таким образом, члены вйД& Р~ т представляют собой то, чего нам не хватало для в о с с т а н о в л е н и я ковариантности членов вида A7V
Итак, первая задача установления лоренц-инвариантности интеграл оказалась тривиальным следствием теоремы единственности в электр0* статике. Вторая задача-превращение времен взаимодействия т, в пер6* менные Кобы-Нильсена-так же просто решается использованием те ремы единственности.
302 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Если вместо произвольных внешних резонансов мы берем внещНйе
тахионы, то находим
A* = \d\i П |
(6.6.Щ |
i<j |
' |
как и выше, т.е. восстанавливается N-точечная амплитуда. |
|
§ 6.7. ЧЕТЫРЕХСТРУННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Предшествующие интуитивные соображения привели нас к утверждению о существовании четырехструнного взаимодействия [1], в котором две струны могут взаимодействовать в своих внутренних точках и мгновенно изменять локальную топологию. На первый взгляд существование соответствующей диаграммы в рамках метода функций Неймана не представляется очевидным, так как верхняя полуплоскость всегда преобразовывалась в планарную конфигурацию. Однако присутствие членов четырехструнного взаимодействия в амплитуде Венециано можно увидеть, тщательно проверив область интегрирования переменных КобыНильсена.
Мы начинаем с четырехструнного отображения и полагаем хх = 1, х2 = оо, Хз = 0 и jc4 = л;. Тогда это отображение приобретает вид
р = at ln(z — 1) + a 3 l n z + a 4 l n ( z — л;). |
(6.7.1) |
Д Л Я ТОГО чтобы найти его сингулярность, положим |
|
? = 0. |
(6.7.2) |
dz |
|
Решение этого уравнения дает точки поворота для нашего преобразования:
z ± = |
2 ( 1 - Y i ) |
0 + ( Ъ ~ Ъ ) Х ± Д 1 / 2 } ' |
(6'?'3) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
у |
— |
|
<*i |
|
||
|
i |
|
||||
1 |
|
|
ax + а2 |
|
||
|
|
|
<*з |
|
|
|
У 2 = |
ах + а2 , |
|
||||
А |
= |
х2(у2 - ух)2 + 2х{2у, у2 - ух - у2) + 1. |
(б-?-4) |
|||
Как правило, два решения уравнения для точек поворота, о п р е д е л я е м ы е знаками ± квадратного корня, показывают, что на римановой повер^ ности существуют две точки поворота, обладающие по отношению ДРУ* к другу свободой движения. В s- и /-канальных диаграммах мир°вь1 поверхности струн гладко деформируются друг в друга. Однако, к0 в р-плоскости у двух точек взаимодействия совпадают мнимые част > происходит интересная вещь.
§ 6J. Четырехструнное взаимодействие |
303 |
i v
1 |
4 |
t »
I E
Рис. 6.5. Четырехструнное взаимодействие. Невозможно непрерывно продеформировать и м-канальные четырехструнные диаграммы рассеяния друг в друга, если использовать только трехструнные вершины. Непрерывность конформного преобразования означает наличие потерянного куска в области интегрирования, который обеспечивается только введением нового четырехструнного взаимо-
действия.
Изучим, например, фейнмановские диаграммы для t- и и-канального рассеяния четырех частиц (см. рис. 6.5). Видно, что эти две диаграммы ие могут быть переведены друг в друга гладким образом. Струны
сходятся или вблизи верхней, или вблизи нижней части диаграммы, поэтому не существует способа непрерывной деформации одной такой Диаграммы в другую. Но это невозможно. Конформное преобразование по определению было гладким, что позволило нам непрерывно перехо-
дить от t- к и-каналу и наоборот. Другими словами, часть области
интегрирования теряется. Чтобы увидить это, вычислим момент встре- 41 и и-канальных диаграмм. Положим А равным нулю и решим полученное уравнение для JC:
{У 1 + у2 - 2 у! У2 ± 2 [у! (У! - 1) У2 <У2 ~ ОТ1/2 }• (6.7.5)
Два решения отвечают t- и w-канальным точкам поворота. Интервал < х < оо) дает нам одну диаграмму, интервал (х_ > х > — оо)-дру-
но что можно сказать об области между ними? Это недостающий
Он соответствует непрерывному преобразованию от графа одного к графу другого канала, при котором происходит только мгно-
Деформация локальной топологии двух графов (см. рис. 6.6).
в указанной промежуточной области локальная топология четырех
^УН Изменяется так, что струны соединяются в другой последователь-
306 |
|
Гл. 6. Полевая теория в калибровке |
светового конуса |
|||
где [л-мера и |
|
|
|
|
||
51 2 3 4 |
= П 6 ( * 4 ( а 4 ) - |
£ * ^ ) 6 , ) П 6 ( * 3 ( а 3 |
) - £ ^(crJO,), |
|||
|
СТ4 |
|
|
i=l |
|
1=1 |
где |
|
|
|
|
|
|
I |
a i = 0, |
|
|
|
|
|
t=i |
|
|
|
|
|
|
а3 |
> 0 ; |
а4 |
> 0; |
|
|
|
ах |
<0; |
а2 |
< 0; |
|
|
|
|
= яа4 |
- сг4, |
если |
< сг4 < тса4, |
(6.7.7) |
|
сг2 |
= к I ах I — сг3, |
если |
0 < сг3 < х, |
|
||
(J2 = яа3 |
— сг3, если |
х < сг3 < яа3 , |
|
|||
сг2 |
= к | а21 — сг4, |
если |
0 < сг4 < |
|
||
;; = * + j c ( a 4 - | a i l )
и
01 |
= 0 ( а 4 - 7 ) , |
|
02 |
= 0(j>-G4 ), |
|
01 |
= |
О ( а 3 - х ) , |
02 |
= |
0 ( х _ а з ) . |
Хотя четырехструнное взаимодействие можно вычислить точно, попытки его обобщения к полной N-точечной амплитуде оказываются безнадежными. Кажется неизбежным проводить утомительную проверку сотен возможных диаграмм, составляющих амплитуду. Однако существует удобный прием, который резко упрощает эту проблему.
Сначала заметим, что если мы разместим внешние электрические заряды qt на круглом диске, то нарисовать эквипотенциальные линии в диске не составляет труда. Ключевое наблюдение, однако, состоит в том, что конформное отображение переводит эти эквипотенциальные линии в вертикальные линии на диаграмме светового конуса. Следовательно, топология эквипотенциальных линий должна воспроизводив точную топологию взаимодействующих открытых и замкнутых стрУн-
Это замечательное наблюдение сводит кажущуюся безнадежной зада^У к относительно простой проблеме изображения эквипотенциальны* линий для диска с внешними зарядами.
Например, мы знаем, что т = Re р (z) = £ ЩIn | z — zf |, но нам таК*в |
|
1 |
^ |
известно, что электростатический потенциал в двумерии в точке > создаваемый совокупностью точечных зарядов в q{, определяется к
Потенциал = £ <?f In | г — г,-1,
308 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
уравнением
5L |
л |
|
= |
|
(6-8.2) |
Таким образом, |
|
|
{ 0 1 в ( а ) , |
0 1 Ь ( а ' ) } = {02°(от), 0 2 » ( а ' ) } - 5 о Ь 5 ( а - а'), |
(6.8.3) |
{ 0 1 а ( а ) , 0 2 Ь ( а ' ) } = О.
Эти поля являются самосопряженными, и перестановочные соотношения не имеют канонической формы. Фермионные поля образуют алгебру Клиффорда, тогда как мы предпочли бы иметь грассмановы состояния без дельта-функции в правой части (6.8.3). Простейший выход из этой ситуации состоит в разбиении 8-ми состояний спинора на 4 + 4 состояния таким образом, что один ряд из четырех состояний является сопряженным к другому. Один из таких способов использует подгруппу SU(4) группы SO(8):
SO(8) з SO(6) ® 0 ( 2 ) = SU(4) ® U(l). |
(6.8.4) |
При таком разложении представление 8 группы SO(8) разбивается так: |
|
8 = 4 © 4. |
(6.8.5) |
Теперь восемь компонент спинора разложим в виде |
|
0i« = (0M? х1В), |
(6.8.6) |
=(02Л9
Аи В изменяются от 1 до 4. Мы используем обозначения
4:в* = вЛ,
4: ХА = ХЛ. |
(6.8.7) |
Приняв эти новые определения, мы имеем новые независимые переменные 0^, которые все взаимно антикоммутируют без какой-либо дельтафункции, как в (6.8.3). Желаемые антикоммутационные соотношения этих переменных с канонически сопряженными суть
{в'^(а)Д^(а / )} = 6(а - |
(6ЛЛ |
В процессе редукции дираковского спинора с 32 комплексными компонентами имеется множество ступеней, поэтому подведем итог тому, каким образом мы пришли только к четырем независимы*1 состояниям:
Дирак = 32 комплексных компоненты, Майорана = 32 вещественных компоненты,
МайоранаВейль = 16 вещественных компонент, Световой конус = 8 вещественных компонент,
Канонический = 4 вещественных компоненты.
Разложив спиноры в соответствии с подгруппой SU(4) группы SOf®*
§ 6.8. Полевая теория суперструн |
309 |
^ должны провести такое же разложение для векторов по этой под-
jpynne. Разобьем векторы А1, |
где I = 1, 2,..., 8, следующим |
образом: |
||
А1 В1 |
= А1 В* + ALBR + ARBL |
, |
(6.8.9) |
|
где |
|
|
|
|
AR |
= |
2-ll2(X7 + iX8), |
|
|
Al |
=2-l,2(X7 -iX8). |
|
(6.8.10) |
|
Окончательно, действие свободной теории имеет вид |
|
|||
S = $D16zld+ Ч*д_ Ч* + Тг(д+ Фд_ Ф)], |
(6.8.11) |
|||
где независимый набор переменных интегрирования есть |
|
|||
. D16 z = D8 X1 D4 0а D4 в2Я, |
|
(6.8.12) |
||
я где Ф-поля открытых струн, а Ч'-поля замкнутых струн.
Наш основной полевой функционал определяется теперь (мы приписали полю изоспиновые индексы) формулой
ФвЧАГ(а),О1(ог),02(а)] = -ФЬа1Х(ка - сг),02(тш - а)9Их(па - а)], (6.8.13)
где роль переменной а чисто символическая. Она была добавлена для того, чтобы показать, как поле преобразуется под действием твиста.
Следуя соотношениям (6.3.44), полученным для бозонного случая,
можно построить канонические соотношения квантования: |
|
|
[#*(l)f |
ф" (2)] = -L 5 (а, + а2 ) {5ос 5Ьс A16 [zx (а) - z2 (а)] |
|
где |
- bad5Ьс A1 6 [zj (а) — z2 (я | а21 — а)]}, |
(6.8.14) |
|
|
|
* = |
0, л , 02Л). |
(6.8.15) |
Сейчас, когда мы сформулировали свободную теорию суперструн,
займемся трудной задачей построения вершин взаимодействия для ЧИерструн. Мы обнаружим несколько сложностей:
О) Теперь будут не один, а два набора осцилляторов и раздельные
условия непрерывности, возникающие из перекрывающихся дельта- Функций. К счастью, два набора осцилляторов коммутируют друг
,с Другом и не смешиваются.
I' Возникнут дополнительные члены, определенные в точке соединения "Фех струн. Вообще говоря, на струне нельзя ввести дополнительные Поля, так как они нарушат лоренц-инвариантность и конформную ^вариантность. Тем не менее поля можно разместить точно в той точке, в которой струна разрывается. При этом следует проявлять
(3^ ? Т о Р о ж н о с т ь из-за сингулярностей, существующих в этой точке. Сильнейшим ограничением будет суперсимметрия, которая полностью определит природу этих вставок в точках разрыва.