Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

220 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

Как и ожидалось, он погашается другим вкладом, происходящим и бозонной петли. Таким образом, окончательная однопетлевая амплит^ да открытой суперструны есть

где К-тот же самый кинематический фактор (3.9.11), который бьщ найден для древесных диаграмм с внешними линиями безмассовых бозонов. Как и ожидалось, порядок расходимости этой диаграммы есть всего лишь q~ поскольку теория не содержит тахионов, которые могли

бы дать расходимости порядка q~3.

Извлечем теперь бесконечную часть этой диаграммы. Тщательно

Чтобы показать, что на этой диаграмме можно выполнить перенормировку угла наклона, действительно осуществим интегрирование по v2

иv3 . Определим

^^ sin n(v2 - Vj) sin kv3 sin k(v3 — ) sin kv2

ипосле интегрирования получим

с производной от борновского члена по углу наклона. Поэтому

Заметим, что эту расходимость можно устранить перенормировкой угла наклона. Это именно тот результат, который мы стремились получить.

переопределение угла наклона реджевской траектории может сделав теорию суперструн типа I перенормируемой для однопетлевых диаграмм-

Рассмотрим теперь амплитуду замкнутой струны; в этом случае наС ждут еще более удивительные вещи.

§ 5.5. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ДИАГРАММЫ ЗАМКНУТЫХ СТРУН

Вычисление однопетлевых амплитуд замкнутых бозонных стрУ0 также проводится непосредственно. Подчеркнем лишь различия.

(1)Мировая поверхность струны, которая для случая открытой с Т Р ^ была топологически эквивалентна верхней полуплоскости, тепер превращается в полную комплексную плоскость.

Рис. 5.8. Конформная поверхность для однопетлевой диаграммы замкнутой

В плоскости z эта поверхность соответствует тору. Внешние линии могут прикрепляться к любой точке внутри поверхности.

(2)Пропагатор должен содержать интегрирование по от, чтобы он был независим от положения начала координат в сг-пространстве.

(3)Мы должны просуммировать по различным упорядочениям вершинных функций.

№ Внешние линии, которые были прежде прикрепленными к границе полосы, теперь прикрепляются к внутренним точкам комплексной поверхности.

На рис. 5.8 показана горизонтальная полоса, простирающаяся от q • 0 до а = 2я, верхний и нижний края которой отождествлены. Чтобы получихь однопетлевую диаграмму, мы должны теперь отождествить jj®**1® и правый края полосы. Экспоненциальное отображение тогда ^Ййюдит конечную горизонтальную полосу во всю комплексную

, При помощи обычных методов когерентных состояний находим [20] угол наклона а' = 1/4)

Ш Рл. §. Мштштш атмтуёы и щттрштё Тштмлёрв

m

.$ М §ёишттш штмж зёммтт ттц_

# шё ш в&шт й t i f o p m тмушт mpmmtm-

рМаПГГЛ ТТПйткиГТ Т Т Г НГ1ДетГТТУТТДО111инГ! Iн

т* т -

224 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

этому мы простодушно ожидаем, что интегрирование по т автомата чески даст нам интеграл по всем конформно неэквивалентным поверх* ностям. Однако в действительности это не так.

На самом деле существуют два типа репараметризации поверхности которые необходимо тщательно различать. К первому типу относятся такие репараметризации, которые можно гладким образом вернуТь к тождественному отображению, т.е. множество гладких репараметрц. заций, содержащее тождественное преобразование. Ко второму типу относятся репараметризации, которые невозможно гладко перевести обратно к тождественному преобразованию. Глобальные диффеоморфизмы именно таковы. Возьмем, к примеру, один параллелограмм и отождествим лишь одну пару противоположных его краев. У нас получится трубка. Обычно мы свели бы друг с другом ее концы, чтобы

получить тор. Теперь, однако, закрутим один из ее концов на 2я, прежде чем склеить их. Изучив эту поверхность, видим, что эта процедура порождает настоящую репараметризацию поверхности, но этим способом нельзя представить тождественное преобразование. Такое кручение («твист») называется твистом Дена, и он порождает некую дискретную группу. Можно показать, что для тора группа, порожденная твистами Дена, есть модулярная группа Sp(2, Z).

Конкретизируя, мы видели, что интеграл инвариантен относительно преобразований т-> — 1/т и т - > т + 1. Можно показать, что последовательное применение этих двух преобразований порождает всю модулярную группу. Но тщательное рассмотрение действия этих преобразований показывает, что они просто меняют местами части границы параллелограмма, порождая твисты Дена.

Итак, эта вторая симметрия, называемая модулярной инвариантностью, возникает в силу того факта, что мы должны фиксировать калибровкой не только репараметризации, гладко сводимые к тождественному преобразованию, но и глобальные диффеоморфизмы, не связанные с последним. Поэтому мы должны разбить комплексную т-плос-

на бесконечное число лишних копий. Чтобы устранить этот бесконечный повторный счет, выберем следующую фундаментальную область интегрирования (см. рис. 5.9):

Мы вскоре убедимся, что эта модулярная инвариантность являете*» вероятно, одним из самых мощных инструментов, которыми мы pacfl°* лагаем, для проверки непротиворечивости новых струнных компакт0 фикаций.

ЙЮ. 5.9. Фундаментальная область для однопетлевой амплитуды замкнутых струн. Модулярная инвариантность амплитуды разбивает комплексную плоскость на бесконечное число эквивалентных областей. Поэтому мы должны выбрать только одну такую область, в противном случае амплитуда будет бесконечной. Наиболее удобная область лежит между прямыми Rex = — 1 / 2

и Rex = +1/2, причем |т| > 1.

Как мы уже сказали, модулярное преобразование осуществляет твист Дена, т. е. перетасовку граничных условий для параллелограмма. Например, если у нас имеется струна, определенная на параллелограмме, маркированном ЛГ(а1 ,а2 ), то модулярное преобразование заменит граничные условия согласно формуле

В частности, можно проверить, что преобразования т - > х + 1 и х - > - 1 / х заменяют граничные условия следующим образом:

Теперь проанализируем структуру расходимостей амплитуды замк-

Ори v 0. Как и ожидалось, амплитуда имеет полюсы в тех точках, * которых внешние линии совпадают. Они встречаются при s = —8, 0, 8, *Ит»Д. Эту расходимость можно считать происходящей из диаграммы

самодействия на внешней линии, которая, к сожалению, оказалежащей на массовой поверхности.

Теперь обобщим это вычисление на суперструны типа II; его легко Р°вести тем же методом. Все вершины имеют вид

226 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

импульсом) для двух наборов осцилляторов. Снова вклады двух- и трех точечных петель обращаются в нуль, так как след берется по модам S * Этот след можно вычислить точно так же, как и в случае открыт^ струн, но теперь осцилляторов вдвое больше. Результат для амплитуд^ рассеяния бозонов дается формулой

Заметим, что фактор С(х) теперь отсутствует и степень, с которой входит х, изменилась. Замечательный факт состоит в том, что эта амплитуда вполне конечна! Это объясняется несколькими причинами, перечисленными ниже.

(1)Отсутствие двух- и трехточечных амплитуд делает невозможным помещение головастиков или вставок энергии самодействия на внешних линиях. Поэтому не будет полюсов, которые были обнаружены ранее для замкнутых бозонных струн.

(2)Можно уменьшить расходимость диаграммы, выбирая фундаментальную область интегрирования, свободную от расходимостей.

(3)Нет вкладов от тахионов, исчезающих в вакуум, поскольку нет тахионов.

(4)Фермионные внутренние линии сокращаются с бозонными внутренними линиями, что уменьшает расходимость диаграммы.

§ 5.6. МНОГОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ

Многопетлевую функцию также можно выписать в явном виде через континуальные интегралы по римановым поверхностям с отверстиями. Главная трудность при построении этих амплитуд-это выбор параметризации римановой поверхности. Для многопетлевых амплитуд было разработано четыре типа параметризаций.

(1)Группы Шоттки. Многопетлевые амплитуды, первоначально вычисленные в этом формализме [2-8], обсуждаются в настояшеМ разделе. Такая параметризация римановой поверхности облада^

несколькими преимуществами. Во-первых, она является явной. ДО приходится гадать о выборе переменных интегрирования, oflB известны точно. Фактически эти переменные наглядно связаны с Ф пологической структурой римановой поверхности. Во-вторых, аМВ литуды факторизуются (поскольку это представление исходно в числялось сшиванием многорезонансных вершинных функций). * этому можно показать унитарность. Недостаток этого формализ тот же, что и у других, а именно неочевидность модуляр® инвариантности. Область интегрирования приходится обрезать вр; ную.

Метрики с постоянной кривизной. Этот формализм, который будет рассмотрен в следующем разделе, основан на римановых поверхностях с постоянной гауссовой кривизной. Его преимущество в том, что он естественным образом возникает при квантовании действия Полякова. Другое его преимущество-наличие в математической литературе множества работ по римановым поверхностям постоянной кривизны. Его недостаток, как и представления Шоттки, в том, что модулярная инвариантность амплитуд для высших петель попрежнему неочевидна. Область интегрирования приходится обрезать вручную. В отличие от представления Шоттки, однако, явные представления 6N-6 модулярных параметров для произвольных поверхностей с постоянной метрикой встречаются редко. Кроме того, поскольку этот формализм не выведен сшиванием трехрезонансных вершинных функций, то факторизация, а следовательно, и унитарность неочевидны.

(3) Тэта-функции. Это, по-видимому, наиболее естественный формализм, поскольку модулярная инвариантность встроена в него с самого начала. Мы рассмотрим его в разд. 5.11. Этот метод основан на обобщении тэта-функций, введенных в (5.2.11) для однопетлевой амплитуды, включающем квазипериодические функции нескольких переменных. Естественной переменной интегрирования служит сама матрица периодов Пу , которую можно определить для всякой римановой поверхности. Этот формализм также легко обобщить, включив в него тэта-функции, определенные на различных спиновых структурах. Хотя этот формализм весьма перспективен и активно изучается, у него есть и серьезные недостатки. Например, если петель больше чем три, то пространство модулей становится очень неудобно параметризовать матрицей периодов. (Трудность параметризации пространства модулей матрицей периодов в случае большего, чем три, количества петель известна как «проблема Шоттки». Лишь недавно математикам удалось решить эту проблему. К сожалению, се решение сильно нелинейно, и еще многое предстоит сделать, чтобы развить этот формализм для случая, когда петель больше трех.) Как и в предыдущем формализме, факторизация (а следовательно, и унитарность) неочевидна. Тэта-функции для высших петель строятся посредством умелого угадывания и обращения к единственности окончательного результата, а не сшиванием вершинных

Функций.

I) Формализм светового конуса. Поскольку метод конусных координат °снован на использовании только физических переменных, без всяких Духов, то этот формализм обладает явной унитарностью, и поэтому естественно ожидать, что он автоматически обеспечивает одно Иокрьггие пространства модулей. Это предположение, которое никогда прежде не приходило в голову математикам, изучавшим ®Р°странства модулей, недавно было доказано во всех порядках. Мы

вкратце обсудим формализм светового конуса в конце этой Вы> поскольку он будет подробнее развит в следующей главе при л°яеении полевой теории струн. Преимущество конусного форма-

Р эллиптическое, | X | равен единице и X не равен единице.

/1) Р локсодромическое, если X комплексен и не относится ни к одному из перечисленных выше случаев.

Для вещественных проективных преобразований множитель может бить и меньше, и больше единицы в зависимости от того, выполняется ди условие хх < х2 или же верно противоположное. Поэтому мы вольны выбрать все наши проективные преобразования гиперболическими, чтобы множитель был меньше единицы. Для одной петли мы получим, что проективное отображение равно

P(z) = wz,

Таким образом, множитель однопетлевого преобразования-это просто само w.

Заметим, что с 3N проективными преобразованиями связано N параметров. Однако, как мы отметили ранее, 3 точки, лежащие на вещественной оси, всегда могут быть фиксированы вследствие проективной инвариантности. Поэтому у N-петлевой амплитуды будет 3N — 3 параметра, описывающих соответствующую риманову поверхность. Они называются параметрами Тейхмюллера и составляют наименьшее число параметров, необходимых для задания неэквивалентных римановых поверхностей с краем. Для замкнутой струны у нас будут сферы и комплексные проективные операторы, так что число параметров будет равно 6N - 6. Итак:

jjJJnj наглядности можно представить, что необходимы два параметра, °оы заДать положение центра отверстия, и еще один, чтобы задать его Всего потребуется 3N параметров для описания поверхности to А °Т в е РС т и я м и - Из этого числа нужно вычесть 3, чтобы устранить эквивалентные способы помещения внешних линий на ве-

^твенной оси. В итоге получим 3N — 3 параметров.)

Теперь перепишем подынтегральное выражение для однопетлевои ^ол®0 ' выразив ее через явно инвариантные функции. Из (5.6.4) видно,

Функцию распределения можно записать в виде