Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf160 |
Гл. 3. Суперструны |
где |
|
= даХ» - $ А Т » д У . |
(З.Ю.12) |
Это действие инвариантно относительно преобразований |
|
бе-4 = гА , |
|
ЬХ» = i t ' r W , |
(3.10.13) |
а также относительно преобразований |
|
50д = 2/Г Па хЛ а , |
|
8Х» = ЯАГ"8вл, |
(3.10.14) |
Преимущество этой формулировки Грина-Шварца состоит в том, что она обладает пространственно-временной суперсимметрией на всех уровнях. Однако цена, которую за это приходится платить,-то, что ковариантное квантование теории, как хорошо известно, очень трудно, поскольку система включает взаимодействия даже на уровне свободных частиц. Поэтому мы переходим к калибровке светового конуса, в которой теория становится линейной:
S = -Р^;{с1ос1т(даХ(даХ( |
- iSpbdbS). |
(3.10.15) |
4ка |
|
|
Это действие обладает также пространственно-временной суперсимметрией, генераторы которой даются выражениями
Qa = (2p+)1/2S°0, |
|
|
|
00 |
|
Q° = (Р+)~ |
112Уаа I S°-n Cd. |
(3.10.16) |
|
п = — 00 |
|
Антикоммутационные соотношения для этих генераторов даются формулами
{Q\ |
Qb} |
= 2p+ba\ |
|
{ й \ 0 " } = ^ а а Р \ |
(З.Ю.17) |
||
{Q\ Q*} = 2 НЪйЬ, |
|
||
где |
|
|
|
Я = |
£ |
[ a L ^ + n S ^ s a + ^ J . |
(З.Ю.18) |
Далее мы рассмотрим конформную теорию поля, сочетающую лучШ1*6 черты обоих ф о р м а л и з м о в - N S - R и Грина-Шварца.
|
§ 3.10. Резюме |
161 |
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
Ml |
Gervais J.L., Sakita В. Nucl. Phys. B34, 632 (1971). |
|
ril |
Siegel W. Phys. Lett. 128B, 397 (1983); Nucl. Phys. B263, 93 (1985); Class. Quant. |
|
L J |
Grav. 2, L95 (1985). |
|
rii |
Brink L., Schwarz J.H. Phys. Lett. 100B, 310 (1981). |
|
[41 |
Ramond P. Phys. Rev. D3, 2415 (1971). |
|
[51 Neveu A., Schwarz J.H. Nucl. Phys. B31, 86 (1971). |
|
|
rfl |
Neveu A., Schwarz J.H., Thorn C.B. Nucl. Phys. B31, 529 (1971). |
|
n] |
Wess J., Zumino B. Nucl. Phys. B70, 39 (1974). |
|
[8] |
См. также Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Письма в ЖЭТФ, 13, 323 (1971); |
|
|
Волков Д. В., Акулов В. П. Письма в ЖЭТФ, 16, 621 |
(1972). |
га] Virasoro М.А. (неопубликовано). |
|
|
ПО] Aharonov Y., Casher A., Susskind L. Phys. Rev. D5, 988 (1972). |
||
ГЦ] Brink L., Di Vecchia P., Howe P. Phys. Lett. 65B, 471 |
(1976). |
|
[12]Deser S., Zumino B. Phys. Lett. 65B, 369 (1976).
[13]Более ранняя попытка описана в Iwasaki Y., Kikkawa К. Phys. Rev. D8, 440 (1973).
[14]Ohta N. Phys. Rev. D33, 1681 (1986).
[15]Ito M., Morozumi S., Nojiri S., Uehara S. Prog. Theor. Phys. 75, 934 (1986).
[16]Schwarz J. Suppl. Prog. Theor. Phys. 86, 70 (1986).
[17]Gliozzi F., Scherk J., Olive D. Nucl Phys. B122, 253 (1977).
[18]Thorn C.B. Phys. Rev. D4, 1112 (1971).
[19]Brink L., Olive D., Rebbi C., Scherk J. Phys. Lett. 45B, 379 (1973).
[20]Mandelstam S. Phys. Lett. 46B, 447 (1973).
[21]Schwarz J.H., Wu C.C. Phys. Lett. 47B, 453 (1973).
[22]Bruce D., Corrigan E., Olive D. Nucl. Phys. B95, 427 (1975).
[23]Green M., Schwarz J.H. Phys. Lett. 136B, 367 (1984).
[24]Green M., Schwarz J.H. Nucl. Phys. B198, 252, 441 (1982).
[25]Hon Т., Kamimura K. Prog. Theor. Phys. 73, 476 (1985).
[26]Kaku M., Lykken J. In: Symposium on Anomalies, Geometry and Topology (edited by W.A. Bardeen and A. R. White). World Scientific, Singapore, 1986.
[27]См. также: Bengtsson I., Cederwall. Geteborg preprint 84-21.
[28]Allen T. J., Cal Tech preprint С ALT-68-1373.
[29]HoriT., Kamimura K., Tatewaki M. Phys. Lett. 185B, 367 (1987).
[30]Crnkovic C. Phys. Lett. 173B, 429 (1986).
PI] Каллош P. E. Письма в ЖЭТФ 45, 365 (1987); Phys. Lett. 195B, 369 (1987). L32] Batalin I.A., Kallosh R.E., Van Proeyen A. KUL-TF-87/17.
L«] Marcus N., Schwarz J.H. Phys. Lett. 115B, 111 (1982).
4-787
Глава 4 КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И АЛГЕБРЫ КАЦА-МУдц
§ 4.1. КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Одна из загадок теории суперструн-возможность сформулировать ее двумя способами. Первый из них-модель NS-R (после GSO-проек- ции), содержащая антикоммутирующие векторы, а второй-модель Грина-Шварца (GS) с настоящими антикоммутирующими спинорами, У каждой формулировки есть свои специфические достоинства а недостатки. В настоящей главе мы обсудим конформную теорию поля, которая позволит нам увидеть динамическую связь между этими двумя формулировками. Конформная теория поля Фридэна и Шенкера [1] сочетает лучшие черты обеих теорий. Конформная теория поля позволяет сделать следующее.
(1)Ввести ковариантные антикоммутирующие спинорные поля, исходя только из свободных полей. GS-формализм, напротив, основан на сложных взаимодействующих полях, что делает ковариантное квантование слишком трудным.
(2)Построить явным образом ковариантные древесные диаграммы для многофермионного рассеяния. В (NS-К)-формализме сделать это практически невозможно из-за необходимости вводить сложные операторы проектирования для устранения духов. Конформная теория поля заменяет эти неуклюжие операторы проектирования свободными духами Фаддеева-Попова, с которыми легко работать.
(3)Переходить от GS-формулировки к (NS-^-формулировке и обратно и установить связь между ними. Это позволяет выражать результаты, полученные с помощью одной из них, в терминах другой:
г„ , |
( |
GS-модель, |
Конформная теория поля |
<I |
(NS- К)-модель. |
(4)Построить ковариантные генераторы суперсимметрии. Это невоз-
можно сделать в (NS- ^-формулировке, а в GS-формулировке возможно лишь в калибровке светового конуса.
(5)Описать оба сектора теории, NS и R, с помощью одного и того вакуума вместо использования громоздкого формализма ДВУ* различных гильбертовых пространств, основанных на двух вакуума*'
|0>NS и |0)Rwa. Это осуществляется с помощью процесса, назЫ' ваемого бозонизацией, т. е. построения фермионов из бозонов в мерном пространстве.
§ 4.2. Суперконформная теория поля |
163 |
Однако за возможность построения такой конформной теории поля т о р у ю небольшую цену придется заплатить. В этом формализме ®*»ьма быстро размножаются духи и антидухи, особенно для супер- J!lyH) и необходимо ввести странное явление, называемое «сменой «яотйны» (см. (3.3.18), (3.3.19)). К счастью, эти духи и антидухи являются свободными полями и, следовательно, с ними легко работать. Кроме того, конформную теорию поля, по-видимому, нельзя вывести ни из gajoro действия, в отличие от формализмов GS и NS-R. Эта теория подчеркивает теоретико-групповое поведение полей вместо того, чтобы исходить из действия. Поэтому мы предполагаем, что существует еще не открытое первично квантованное действие более высокого порядка,
выходящее за рамки действий GS и NS-R.
(Мы должны подчеркнуть, что конформная теория поля не является теорией поля в смысле вторичного квантования, т.е. мы начинаем с формализма Швингера, Томонаги и Фейнмана. Вторично квантованная полевая теория струн будет рассмотрена в части II настоящей книги.)
Сущность конформной теории поля состоит в том, что в ней подчеркивается использование одной лишь конформной инвариантности для вычисления корреляционных функций, связывающих различные поля [2-6]. Весьма примечательно, что конформная инвариантность
сама по себе достаточна для почти полного определения |
структуры |
N-точечных амплитуд рассеяния. Например, в (2.6.9) нам встречались |
|
операторы, имеющие следующие матричные элементы: |
|
<Ф(*1 ) 9 ( z 2 ) 5 = / ( Z 1 - Z 2 ) . |
(4.1.1) |
Здесь функция / может быть степенью или логарифмом. Скажем, матричный элемент древесных амплитуд для двух бозонных струн есть
<X(w)X(z)}~\og(w-z),
тогда как матричный элемент для двух нормальных упорядоченных вершин есть
(eikxwe-ikx"y~(w-z)-k2.
До сих пор мы использовали для вычисления матричных элементов явные представления полей. Однако можно также обратить этот процесс. Если бы нам были полностью известны групповые свойства поля,
смогли бы вычислить его матричные элементы и даже восстановить ^ о поле.
Важнейшая идея, лежащая в основе конформной теории поля,-вос- льзоваться конформными свойствами поля ф для полного опре- g е н и я его матричных элементов и даже восстановления самого поля.
° конформной теории поля это достигается, если известно поведение на И»
164 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди
малых расстояниях полей, движущихся налево и направо:
9(zi)9(z2 ) ~ - —- + менее сингулярные члены. (4.1,2)
Итак, в принципе все возможные матричные элементы можно вычислить, исходя из конформных свойств самих полей.
В конформной теории поля мы, кроме того, строим спиновое поле S которое при пространственно-временных преобразованиях Лоренца преобразуется как настоящий спинор с конформным весом 5/8. Однако сектор духов Фаддеева-Попова порождает еще одно поле с конформным весом 3/8. Именно произведение этих двух полей, одно из которых спиновое, а другое духовое, позволяет построить полный фермионный вертекс с правильным весом единица. Этот вершинный оператор, хотя он и включает экспоненты от полей, определяется целиком через свободные поля и поэтому решает проблему построения фермионной вершинной функции.
Фактически это спиновое поле вводится с помощью процесса, который называется «бозонизацией» [7, 8], т.е. создания фермиона из бозона. Легко, разумеется, создать бозон из двух фермионов. Однако в двумерии у нас имеется конкретная возможность построения фермионов из бозонов, которая одно время считалась неосуществимой.
Вдействительности подсказка способа «бозонизации» уже приводилась
впредыдущей главе, когда мы ввели вершинную функцию
V = :eikX:. |
(4.1.3) |
В (2.6.22) было показано, что |
|
УгУ2 = V2V1eink>k2e. |
(4.1.4) |
Заметим, что, выбирая разные значения импульсов в показателе этой экспоненты, мы действительно можем построить операторы, удовлетворяющие соотношению
VlV2 = (±l)V2Vi- |
(4.1.5) |
Другими словами, мы можем построить поле с фермионными коммутационными соотношениями из бозонных гармонических осцилляторов. Ключ к этому построению-нормальное упорядочение осцилляторных мод в двумерном пространстве. Данное свойство не переносится на четырехмерные теории поля. (Задним числом можно увидеть, почему фермионы и бозоны так тесно связаны в двумерном пространстве, но не
в пространствах |
более |
высокой размерности. |
Для группы Лоренда |
О (1,1), у которой |
есть |
только один генератор, |
понятие, называемое |
«спин», не имеет большого смысла для одного пространственного измерения.)
Этот метод бозонизации посредством нормального у п о р я д о ч и в а н и я полей будет далее также ключом к построению конформной теорий
§4.1. Конформная теория поля |
165 |
доля. Мы построим фермионное спиновое поле Sa с помощью нормальйого упорядочивания показателей экспонент бозонных полей. Из этого С00йового поля мы построим ковариантный оператор суперсимметрии. дреимуЩество такого подхода-то, что теперь мы можем обсуждать Пространственно-временные спиноры, используя один общий вакуум
для бозонов, и для фермионов, а также то, что все построение основано на свободных полях.
Прежде чем обсуждать суперконформный случай, начнем с анализа конформной теории поля. Сделаем наиболее общее конформное преоб-
разование переменной мировой поверхности г. |
|
z->2(z). |
(4.1.6) |
Мы будем говорить, что первичная аналитическая функция преобразуется этим конформным преобразованием с конформным весом h, если она преобразуется по формуле
fdz\ h
ф ( г ) = ф ( 1 ) Ы - ( 4 Л Л )
(Вторичные поля преобразуются как производные от cp(z).) Этот конформный вес представляет собой то же понятие, которое мы ввели ранее в выражении (2.7.6) при обсуждении конформных свойств вершин. Теперь мы видим, что математически конформный вес есть индекс, нумерующий неприводимые представления конформной группы, порожденной алгеброй Вирасоро.
Теперь мы мож^м построить объекты, инвариантные относительно
конформного преобразования: |
|
Ф(г)<Ь* = ф(2)</2*. |
(4.1.8) |
Раз мы уже определили, как поля преобразуются под действием конформного преобразования, мы должны затем проверить, что две та*ие конформные операции дают замыкание группы. Пусть мы сделали Два последовательных конформных преобразования:
z-*i(z)->z2[z1(z)]. |
|
(4.1.9) |
Тогда поле преобразуется по формулам |
|
|
U M ^ W V = |
, |
(4.1.10) |
= |
|
(4.1.11) |
ЙТак> к°нформные преобразования образуют группу с законом компоследующего вида:
V^U2U19 |
z3 = z2(z1(z)). |
(4.1.12) |
166 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры КацаМуди
Замыкание алгебры легче всего увидеть, взяв инфинитезимальное конформное преобразование. Рассмотрим бесконечно малую вариации координаты:
5Z = S(2). |
(4.1.13) |
Под действием преобразования (4.1.7) мы получим инфинитезимальное преобразование
5ф е = [гд + /*(де)]ф. |
(4.1.14) |
(Мы для краткости будем обозначать д2 через д.) Взяв коммутатор двух таких вериаций, получим
^ e . e J ^ ' S J ' |
(4.1.15) |
где |
|
^2] = e i^e 2 - е2дгх. |
(4.1.16) |
(Сравните это соотношение с (2.1.30).)
Мы снова показали, что группа замыкается при произвольном весе h. Чтобы лучше понять смысл конформного веса h, вычислим конформный вес струны. При бесконечно малой вариации координаты мы применим цепное правило с целью показать, что струна преобразуется по формуле
ЪХ^) = гдХ^) . |
(4.1.17) |
Итак, поле струны имеет вес 0. Аналогично, легко показать, что производная поля струны имеет вес 1:
SdX^z) = Led + (dsftdX^z). |
(4.1.18) |
Приведем сводку весов некоторых часто встречающихся струнных полей:
Поле |
Вес |
|
|
1 |
1л " |
дХ-дХ |
2 |
|
В частности, это означает, что тензор энергии-импульса или генераторы алгебры Вирасоро имеют вес 2.
Веса аддитивны. Произведение полей, одно из которых имеет вес hv
а другое вес h2, дает поле с весом hx + h2 в той же точке: |
|
<p<hi\z)q>ih2\z) = ф(Л1 + й2 \z). |
(4.1.20) |
Обратите внимание на важный факт, который будет использовать^ неоднократно в этой книге: интеграл от объекта с весом 1 являете*
§ 4.1. Конформная теория поля |
167 |
вариантным, т. е. |
|
5|фa)(z)dz = §[vd<p + (dv)q>~}dz |
|
= \d[yy]dz |
(4.1.21) |
= 0. |
|
Этот факт будет использован при построении вершинных операторов, а также действия вторично квантованной теории.
Теперь подробно изучим, как тензор энергии-импульса действует на основные поля теории.
Если действие выражено через переменную X(z, z), т.е. |
|
S ^ — j d 2 zdX^dX |
(4.1.22) |
2 к |
|
то тензор энергии-импульса (1.9.17), связанный с этим действием, есть
Тв=-\дХ*дХ^. |
(4.1.23) |
Преобразование полей под действием конформных преобразований порождается проинтегрированным тензором энергии-импульса, параметризованным малой функцией г:
Ге = -^ f Jz£(z)T(z). |
(4.1.24) |
с о |
|
Здесь мы берем интеграл по контуру, окружающему начало координат в комплексной плоскости переменной z. Важность тензора энергии-им- пульса Т связана с тем, что он служит генератором изучаемых нами конформных преобразований. Чтобы в этом убедиться, запишем
5<p(z2) = [Т„ ф (z2)]
=j<fee(z)T(z),cp(z2)]
со
= mi с |
J |
-с |
dz Pz(z) T(z)<p(z2) |
(4.1.25) |
|
0,2 |
|
0 |
|
=f/>e(z)r(z)<p(z2) /яг Г 2
=— fie(z)T(z)9(z 2 ) . Z7U г 2
^метим, что контур С0,2 окружает и начало координат, и точку z2, тогда контур С2 окружает только точку z2, поскольку
С2 = СО, 2 - С 0 |
(4.1.26) |
рис. 4.1). Заметим также, что мы приняли радиальное упорядочение
168 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры КацаМуди
Рис. 4.1. Контуры интегрирования в конформной теории поля. На верхнем рисунке точка z2 расположена между двумя концентрическими окружностями. На нижнем рисунке направление обхода внутреннего контура было обращено, и он слит с внешним контуром, в результате чего получен замкнутый контур. Точка z2 лежит внутри этого контура, но начало координат-снаружи от него.
Р операторов в комплексной плоскости, при котором операторы упорядочены в соответствии с их расстоянием от начала координат:
I z K l z J . |
(4.1.27) |
На последнем шаге мы опустили радиальное упорядочение, поскольку радиально упорядоченные произведения аналитичны.
Из |
предыдущего нам также известно, что |
|
5ф |
= [гд + /*(д£)]ф. |
(4.1.28) |
Сравнивая два выражения для 5ф, (4.1.25) и (4.1.28), мы можем теперь увидеть поведение поля ф на коротких расстояниях:
T(z)q>(w, w) ~ |
h |
-т ф(н>, w) + |
1 |
dwq> + ... . |
(4.1.29) |
|
(z — w) |
z — w |
|
|
|||
Поскольку сам тензор энергии-импульса имеет конформный вес 2, мы можем также подставить его в уравнение для поведения поля на коротких расстояниях. Тем самым мы вывели поведение на коротких
§ 4.1. Конформная теория поля |
169 |
расстояниях самих генераторов:
= |
+ ( Г ^ r ( w ) + ( г Ь ) ^ + - • |
<*L30> |
Второй член правой части этого уравнения показывает, что сами генераторы преобразуются как конформные поля с весом 2.
Теперь введем нормальные моды и установим связь с формализмом гармонических осцилляторов. Всегда возможно разложить произвольное поле \|/ с весом А следующим образом:
00
¥ (Z)« |
£ |
z |
— |
( |
4 |
. |
1 |
. |
3 |
1 |
) |
|
Я = — 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это позволяет разложить тензор энергии-импульса по нормальным модам. Запишем
(4-1.32)
Г(г) = |
I |
z--2L„. |
|
п = — 00 |
|
Будет поучительно действительно вывести шаг за шагом алгебру Вирасоро из этих абстрактных выражений, чтобы увидеть эквивалентность коммутаторов и разложений в операторные произведения. Используя (4.1.30) и (4.1.32), находим
2т |
2 Ki |
\с
|
|
(и+ |
l)wn2T(w) + w"+ld„T |
|
+ 3 у ^ " 2 ( и |
+ |
1 ) и ( | » - 1 ) |
= |
+ 2)w" + m+iT(w) — (т + п + 2 )wn+m+1T(w) |
||
|
+ |
1)(" - 1)и^ + " _ 1 | . |
|
0 в к о н ц е концов сводится к обычной алгебре Вирасоро:
LJ = (щ - „) Lm + „ + ^ (m3 - m) 8«. |
. |
(4.1.33) |