Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf280 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Здесь, как обычно, мы опускаем в континуальном интеграле нормиро, вочный множитель. Мы обращаемся с \f(x) как с элементом вектора столбца, помеченным дискретным индексом х. Дискретизируя выра^е. ние, находим
~ f ПZ dy* V? Уу е х Р ~ {ZZV? У*} • (6.2.16) Это в точности совпадает с (1.7.11). Таким образом, мы показали, что
можно |
перейти от первично квантованных базисных элементов \х) |
к эквивалентным вторично квантованным базисным элементам |
|
таким |
что \у(х) = (х\ у) . |
Давайте теперь перейдем к выводу функции Грина для уравнения Шрёдингера полностью на языке вторично квантованных полевых функционалов, не прибегая к уравнениям движения и принципу Гюйгенса. Подставим следующее тождество в каждую промежуточную точку вдоль пути:
1 = |v|/1 >jD2 v|/i^2 v|/2exp{-v|/f(v|/2 - vj/J - |
<у2 1- |
(6-2.17) |
(Это тождество можно доказать, выполняя функциональное интегрирование по \|/f, и тогда оно сведется к условию полноты, записанному через поле v|/2.)
Мы вставляем данное выражение между двумя инфинитезимально близкими собственными векторами оператора координаты в формуле
(6.2.12): |
|
|
|
|
А12 = |
(xl\e~iHbt\x2) |
|
|
|
= |
(xl\x2)-i(xl\Hbt\x2) |
+ |
... |
|
= J"02V|/12<*1 |
|v|/1><v|/2|x2>exp[-v|/f(v|/2 - vj/j) - vj/fvi/J |
|||
- |
|/1234 |
| \|/i> <vj/2 | Hbt | v|/3> <vj/41 x2> |
||
X |
exp[-v|/f(v|/2 -\i/1 )-\|/fv|/1 - v|/?(v|/4-vj/3)- vJ\|/3] + .... |
|||
(6.2.18)
Здесь индекс 12 или 1234 просто обозначает произведение двух или четырех таких функциональных дифференциалов. Теперь возьмем предел малых временных интервалов:
N |
tN |
|
X V|/?(V|/I+1 -V|/,) - > $v*ydt. |
(6.2.19) |
|
i= 1 |
t j |
|
После перехода к пределу находим |
|
|
Д1АГ |
= j D2\\f\\f (xx)\\f* (xN)cxp i$dt\\r* (idt - //)i|/. |
(б-2-20^ |
Отсюда наш новый лагранжиан есть |
|
|
L = |
|
(6-2.21) |
Он служит лагранжианом для шрёдингеровского волнового yPaBlieHl ^ Итак, имея постулаты квантовой механики и классический первй
281 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
кантованный формализм для точечной частицы, мы вывели уравнение щрёдингера, не используя уравнения движения и принцип Гюйгенса.
Основная причина, по которой мы проделали этот анализ для т0яечной частицы, заключается в том, что мы сейчас собираемся повторить те же самые шаги для полевой теории BRST и полевой теории в калибровке светового конуса. Как ни странно, мы обнаружили, что весь этот функциональный аппарат переносится непосредственно в полевую теорию струн для действий в формализме BRST и в калибровке светового конуса. И только когда мы наконец достигнем геометрической полевой теории в гл. 8, мы начнем с фундаментальных аксиом и постулируем совершенно новую калибровочную группу.
§ 6.3. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ В КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА
Теперь, как и в случае точечной частицы, мы хотим осуществить переход от первично квантованного ко вторично квантованному струнному формализму, используя (1.8.21):
(Х\Ф} = Ф(Х). |
(6.3.1) |
Мы должны здесь напомнить, что полевой функционал не является локальной функцией от значения АТ(ст) в фиксированной точке от на струне. Напротив, это-мулътилокальный функционал, определенный для всех точек струны. Если мы дискретизируем струну рядом точек
а1? ст2, a 3 , . . . , a N , |
(6.3.2) |
то полевой функционал примет вид |
|
Ф(*) = Ф№(<*,), Х,(о2), Xt(a3),...,Xt(pNn, |
(6.3.3) |
и мы переходим к пределу N оо . Таким образом, струнный функционал
есть одновременно функция каждой точки струны [1].
Начнем с определения гильбертова пространства струнных возбуждений. Удобно разложить поле по гармоническим осцилляторам. В этом случае имеем
IФ> = ф (*) 10> + AtaL110> + Ау aL х aL, | 0> + .... |
(6.3.4) |
Сразу видна разница между первично и вторично квантованными Формализмами даже для свободного поля. В первом случае основным объектом является Xц, что представляет только одну возможную конфигурацию струны. Во втором мы имеем дело с полевым функциона-
Лом который одновременно представляет суперпозицию всех возмож- НЫх струнных конфигураций.
Чтобы сделать обсуждение более конкретным, введем специальное представление собственных векторов | X} на языке гармонических осцил- ^оров. Мы хотим, чтобы результат действия струнной переменной
аа собственный вектор | X) воспроизводил (2.2.9):
К \ Х ) = 1 - { а ^ п - а ^ п ) \ Х ) . |
(6.3.5) |
282 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Предположим на минуту, что собственный вектор | X ) можно предсТа<> вить в виде
| AT) = Q | 0 >
= /сПехр(яХ?„ + ЬХипа\я + са\па\п)\Ъ), |
(6.3.6) |
i,n |
|
где а, Ь, с и к -произвольные константы.
Определим эти константы а, Ъ и с, действуя на вектор состояния
оператором X: |
|
= Q С- i(bXt,n + 2 cal - al)) 10 >. |
(6.3.7) |
Следовательно, получаем |
|
Ъ = - 2 / , |
|
с = \. |
(6.3.8) |
Далее, мы хотим, чтобы оператор дх имел правильные коммутационные соотношения с X. Применяя дх к вектору состояния, находим
\Х) = {2 а XUn + Ъа\Л) | X >, |
|
(6.3.9) |
о Х{п |
|
|
так как |
|
|
- J - \ X ) = - i ( a i , n + al)\X), |
|
(6.3.10) |
О Ai,„ |
|
|
то это фиксирует коэффициент |
а = — 1. Итак, наш |
окончательный |
результат для вектора состояния есть |
|
|
> = fcn«P(-*?„ - 2iX '.n<>L + l- a l a l ) | 0 > , |
(6.3.U) |
|
i,n |
^ |
|
где к-нормировочная константа. Это выражение в свою очередь позволяет представить полевую функцию в виде ряда по полиномам Эрмита. В качестве примера, можно вычислить
( 01 |
\Х У |
к ( — 2 iXiyn) Y\e~x*m. |
(6.3Л2) |
Последние |
j,m |
тй |
|
выражения дают возможность переписать п е р в о н а ч а л ь н ы » |
|||
полевой функционал с помощью полиномов Эрмита, используя (6.3.1 U* |
|||
|
< ЛГ | Ф > = ф i(,n0 П я о №.«) + Ах (х) Нх Х1Л)i.nП "о (*,•„) + .... |
(*-ЗЛЗ) |
|
|
|
пФ 1 |
|
284 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Можно также показать, что |
|
|
5М.М = J Я>Г-> V , e x p ( - £ |
1 ф !«112)1)2 ф' |
(6.3.21) |
м |
|
|
где мера интегрирования для такого пространства дается формулой
D2q> = Yldq>{n)dq>*n). |
(6.3.22) |
{ " } |
|
Используя эти тождества, можно показать, что число |
1 представимо |
в форме, аналогичной (6.2.13): |
|
1 = | | Ф > Я 2 Ф < Ф | е х р ( - < Ф | Ф » . |
(6.3.23) |
Для доказательства этой формулы разложим полевые функционалы по ортогональному базису и выполним точное интегрирование по коэффициентам. Имеем
1 |
= |
[ 1 1 Ф М 1 { * } > ] П ' 2 Ф { И ) tLvtP]<{p}\1e - < ф | ф> |
|
|
= |
I |
Ф{«} I М Х М I ф?р]№2 ФХ е - 1 ^ 1 |
(6.3.24) |
|
= |
I |
1{*}><{*}|8Ж/>>' |
|
|
|
Шр) |
|
|
|
что и оправдывает такое представление 1 в виде (6.3.23). |
||||
Матричный |
элемент между двумя струнными |
состояниями \Х) |
||
и | У) также можно выразить через |Ф ): |
|
|||
<ЛГ| У > = |
П П 6(Х,(ст)-У,(ст)) |
|
||
|
|
i=1О^ст^я |
|
|
|
|
= < Л Г | Ф > | О 2 Ф < Ф | у > Е Х Р ( - < Ф | г > | о г < г | Ф > ) |
||
|
|
= $D2<b<b*(X)<b(Y)e-SDZ<S>*iZmZ). |
(6.3.25) |
|
Наконец, перед выводом уравнения Шрёдингера для струн необходимо обобщить (6.2.17):
1 = J | Ф1 > D2 Ф1 D2 Ф2 е~(Ф>1 *2"':>"<Ф',Ф' > < Ф 2 | .
Как и выше, наиболее легко это тождество доказывается ным интегрированием по Ф?.
Теперь, имея в своем распоряжении все нужные тождества, рассмотрим матричный элемент между двумя инфинитезимальными состояниями:
( X x \ e - i H d x \ X 2 y .
Этот матричный элемент можно выразить в виде первично квантованной картины, в которой мы пользуемся полным набором собствен^ ных состояний оператора импульса, либо на языке вторичного квантова ния, подставляя в него полный набор полевых функционалов.
285 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
Таким образом, |
|
|
|
|
|
[ |
первичное квантование: |
1 = \P}$DP(P\, |
|
|
|
\ |
вторичное квантование: 1 |
= | Ф ) | 0 2 |
- |
1 |
(6.3.28) |
Ф е ~<Ф|Ф>/^чф ф <Ф|. |
|
||||
Повторяя проделанное в разд. 1.3, мы подставили в матричный элемент полный набор собственных состояний оператора импульса и затем вывели инфинитезимальную функцию Грина для первично квантованного формализма:
= j])pe-''^ndxeiSifaP(Xl-X2) |
(6.3.29) |
|
= J DPe |
е -MlX'Vdx |
|
Здесь был использован тот факт, что <(Р|АТ) ~ e'$d<yP»x .
Подставив затем бесконечное число этих первично квантованных струнных состояний между любыми двумя интервалами, разделяющими начальную и конечную точки, нашли, что
|
|
X» |
|
xN |
|
7-iHx V |
\ - |
f |
i ПУПР^ edxda(PX-H) |
|
|
( X ^ e - ^ I X , ) ^ |
DXDPe'S* |
|
|||
|
|
Хг |
|
|
|
|
|
Xч |
|
X, |
|
|
= |
j DXDPe1 |
"dxdaL |
(6.3.30) |
|
|
$dxd(yL, |
||||
|
|
xt |
|
t t |
|
где L = PX — H.
Итак, в первично квантованной струнной теории мы могли свободно переходить от гамильтонова к лагранжевому формализму и обратно.
Повторим все наши рассуждения, подставляя в действие полный набор вторично квантованных полевых функционалов. Инфинитезимальная амплитуда перехода есть
= {Xi\X2y-i(Xi\HdT\X2} + ...
=1^2 Ф12<^1 |Ф1 ><Ф2 1 ^ 2 > е х р { - < Ф 1 | Ф 2 - Ф 1 > - < Ф 2 | Ф 1 > }
-^^ 2 Ф1234 < ^ 1 | Ф 1 > < Ф 2 1 ^ | Ф З > < Ф 4 | Х 2 >
х е х р { - X <Ф1 .|Ф1 + 1 -Ф1 .)-<Ф1 + 1 |Ф1 .)} + .... |
(6.3.31) |
i = 1,3
Теперь, как и прежде, переходим к пределу:
1<Ф||Ф|+ 1 - Ф , ) - > | А < Ф | Ф > .
Далее вставляем полный набор промежуточных полевых состояний еисду всеми инфинитезимальными интервалами, соединяющими на- и конечную струнные конфигурации. Тогда матричный элемент
^Рвнимает вид
Д1* = JФ* (X1) Ф (XN) D2 Ф exp if dx « Ф | idx - H| Ф », |
(6.3.32) |
288 Гл. 6. Полевая теория в калибровке светового конуса
точечных частиц:
(6.3.46)
где Г-временной интервал. Заметим, что вывод амплитуды перехода полностью выполнен на языке вторично квантованных полевых функционалов.
Итак, мы вывели действие полевой теории струн в калибровке светового конуса прямой подстановкой полного набора промежуточных струнных состояний в каждую струнную конфигурацию между ее начальным и конечным положениями.
§ 6.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Теперь мы обратимся к вопросу о взаимодействиях. Оказывается, что выделение вершинной функции во вторично квантованной полевой теории можно проделать, обобщая вывод свободного действия из первично квантованного формализма. Для этого мы вновь подставим важное тождество
1 =|Ф)|0 2 Фе - < ф | ф ><Ф| |
(6.4.1) |
в континуальный интеграл.
Исторически вопрос о нелокальных полевых теориях рассматривался еще первооткрывателями квантовой физики Гейзенбергом и Юкавой. Они обнаружили, что такие теории нарушают причинность, т. е. взаимодействия могут распространяться быстрее скорости света. Нелокальные взаимодейстия, затрагивающие две отдаленные точки xt и х2, могут передавать информацию быстрее скорости света, что запрещается.
Полевая теория струн чудесным образом решает эту проблемуРешение просто и элегантно: полевая теория струн не нарушает причин-
ность, поскольку она на самом |
деле |
не нелокальная, а |
мультилокальная |
теория. Взаимодействия струн, |
в которых струны могут |
р а с п а д а т ь с я |
|
и образовываться, таковы, что |
эти |
процессы происходят |
м г н о в е н н о , |
а затем колебания распространяются по струне со скоростью, равно или меньшей скорости света. Таким образом, нарушения принДО*03 причинности не происходит.
Удаление всех симметрий в калибровке светового конуса привод»* к отсутствию какого-либо общего руководящего принципа для постр°е ния теории. Поэтому мы просто постулируем следующее:
В действии допускаются только такие конфигурации взаимодейсгп У ющих струн, которые мгновенно изменяют локальную топологию сгпрУ
§ 6.4. Взаимодействия |
289 |
J
О - С
pgc. 6.2. Пять взаимодействий полевой теории в калибровке светового конуса. Открытые и замкнутые струны могут разрываться, расщепляться и делиться. Отметим, что взаимодействия каждого типа происходят на струне локально. В этом-решение проблемы причинности, которая нарушается во всех нелокаль- ных теориях точечных частиц. Таким образом, струнная полевая теория является единственной известной полевой теорией, основанной на протяженных объектах,
которая сохраняет причинность.
Хотя этот принцип определен только в калибровке светового конуса, мы найдем, что его вполне достаточно для нахождения всех возможных взаимодействий полевой теории. Имеется только пять таких локальных взаимодействий (см. рис. 6.2), согласующихся с этим новым определением локальности, а также с законом сохранения импульса. (Выберем параметризационную длину струны в калибровке светового конуса пропорциональной р+, т.е. а = 2/?+, и тогда сохранение импульса означает, что сохраняется сумма длин всех струн). Итак, мы постули-
руем
= »=1E L f , |
(6.4.2) |
каждый член соответствует специальным взаимодействиям поля 0тЧ>ытой струны Ф и поля замкнутой струны ц/. Образно говоря, эти JS*Th взаимодействий можно представить в виде
U = Ф3 + ф4 + + Ф2 ¥ + Ф¥. |
(6.4.3) |
выпишем в явном виде некоторые из этих взаимодействий, согла- ^ОЩихся с условием локальности. После того как специальные предвления для этих пяти взаимодействий будут выписаны, мы должны Р°Верить, что они воспроизводят известные результаты для первично
р в а н н о й теории, ц^ 4Р°стейшее взаимодействие представляет собой распад струны на
Меньшие части. В соответствии с условием локальности ее разрыв "-787