Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf260 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
структурой:
0 |" а j (z | Q) = £ e i n ( n + a ) ' Q (n + a) + 2*/( . + a) (z + b) |
|
neZ0 |
|
= eina Q a + 2*/a(z + b) ©(z 4 Па 4- b|Q). |
(5.11.l2) |
Оказывается, что эта функция периодична с точностью до фазы пп сдвиге по решетке:
® Са](z 4- Q• п 4- т | Q ) = e2ni* |
n~2*'n (z + b ) 0[a](z|Q) . (5.11,13) |
При замене z -> — z тэта-функция преобразуется по формуле |
|
6>[a]( - 2|fi) = ( - 1 ) 4 а b 0 [ a ] ( z | f i ) . |
(5.11.14) |
Поэтому, как мы это сделали для однопетлевой функции в (5.9.7), спиновые структуры можно разбить на четные и нечетные в зависимости от их поведения при замене z-> — z. Оказывается, что на римановой поверхности рода g имеется 29'1 (29 — 1) нечетных и 29~1 (29 4 1) четных спиновых структур.
Теперь можно непосредственно вычислить, как эти обобщенные тэта-функции преобразуются отображением (5.11.9) из группы классов отображений. Под действием Sp(2g, Z), как нетрудно убедиться,
© [a] (z'| Q') = £б>,Лфdet (СП 4 D)1/2 © [ a ] (z | Q), |
(5.11.15) |
|
где |
|
|
т! = (CQ 4 D)-1' z, |
(5.11.16) |
|
а фазовый множитель дается формулой |
|
|
Ф |
= а £ г Я а 4 ЪСТ АЪ - 2аВт СЪ - (aDr - b CT){ABT)d. |
|
Здесь |
Т обозначает транспонирование, а d- взятие |
диагонального эле- |
мента. Символ s обозначает корень восьмой степени из единицы (с одним ограничением, которое здесь несущественно).
После того как мы определили на римановой поверхности тэтафункции с требуемыми свойствами периодичности, следующая состоит в том, чтобы действительно найти меру для м н о г о п е т л е в о » амплитуды. В этом нам очень поможет замечательный результат Бел* вина и Книжника [34], состоящий в том, что мерой многопетлев амплитуды служит просто квадрат некоторой голоморфной функций точностью до нулевых мод):
Голоморфная факторизация: z = Г — — — р г . |
(5.1 |
F (det lm П) |
|
Здесь F- фундаментальная область римановой поверхности, |
Л" |
§ 5.11. Пространства модулей и грассманианы |
261 |
3)-форма
3 9 - 3 |
|
П dy,F{y). |
(5.11.19) |
1=1 |
|
а последнем выражении у{ представляет некоторую параметризацию 1оаметров Тейхмюллера, a F(у)-голоморфная функция, не имеющая JjeS и имеющая полюсы второго порядка в точках границы, в которых доерхность вырождается. Легко проверить, например, что однопетуроя функция (5.5.4) обладает этими свойствами (с точностью до членов, отвечающих нулевым модам).
На однопетлевом уровне утверждение о голоморфной факторизации фггуитивно очевидно. Оно просто означает, что замкнутая петля является произведением мод струны, движущихся налево и направо, если пренебречь нулевыми модами. Однако доказательство этого мощного результата довольно сложно, хотя его можно вкратце изложить следующим образом. Использование методов, выведенных в предыдущих разделах, показывает, как формально записать меру многопетлевой амплитуды через параметры Тейхмюллера и сложные детерминанты. Затем можно показать, что
dSlog W= (D — 26)... , |
(5.11.20) |
где W-мера с точностью до множителя, возведенная в 13-ю степень. Заметим, что правая часть-это конформная аномалия, которая обращается в нуль в 26-мерии. Поэтому в 26-мерном пространстве дд log W= = 0, а в этом случае мера может быть записана как абсолютное значение некоторой голоморфной функции \F\2 . При любой другой размерности существует препятствие для голоморфной факторизации. Тогда мы будем говорить, что имеется аналитическая аномалия.
Замечателен тот факт, что условия, налагаемые на F, по-видимому, Достаточно сильны, чтобы однозначно фиксировать меру для всех многопетлевых амплитуд [41-61]. Этот результат необычайно мощный, и он может позволить нам выписать меру многопетлевой амплитуды ^посредственным рассмотрением соответствующих выражений.
Например, рассмотрим двухпетлевую функцию. Выберем в качестве ^раметров Тейхмюллера саму матрицу периодов, поскольку она также ^Фсделяется тремя независимыми комплексными переменными. Тогда °ДУлярной инвариантностью обладает следующая комбинация:
dQ
< 5 - » - 2 1 >
^^вужно найти выражение для |F|2 (det lm Q)- 1 0 . Используя резуль- *оз 83 т е о Р и и римановых поверхностей, находим, что единственно
°ясный ответ дается выражением
^Ухпетлевая функция: F = { П ® [</] (01 П)[ . |
(5.11.22) |
|
^ a, b |
> |
|
262 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
Произведение берется по 10 четным характеристикам, таким что 4а к
= 0 mod 2. |
58 |
Подобным образом, используя аналогичные рассуждения о голо, морфных функциях, можно представить функцию F для трехпетлево*
амплитуды в виде |
|
|
f |
) " 1 / 2 |
(5.11.23) |
Трехпетлевая функция: F = j f] © [а] (01 Q)| |
. |
Здесь снова в качестве параметров Тейхмюллера dy{ взяты элементы матрицы периодов dQu.
Эта простая процедура, однако, внезапно обрывается на уровне четырех петель. В общем случае симметричная матрица, определенная
в верхней полуплоскости Зигеля, содержит -g (д + 1) элементов, тогда
как число параметров Тейхмюллера равно Ъд — 3. Поэтому они содержат одинаковое число элементов лишь при д = 2, 3, что делает задание матрицы периодов для большего числа петель все более трудной задачей. Отсюда и возникает проблема Шоттки-из того факта, что набор элементов верхней полуплоскости Зигеля согласуется с набором элементов матрицы периодов лишь при д — 2, 3. Вопрос теперь ставится так: какие условия нужно наложить на наши функции, определенные на верхней полуплоскости Зигеля, чтобы они были функциями матрицы периодов?
К счастью, математикам недавно удалось решить проблему Шоттки, что сделало возможным просто задавать матрицы периодов для произвольного д и, следовательно, описывать голоморфные функции, определенные на римановых многообразиях произвольного рода. Фактически это позволяет нам представить себе бесконечномерное пространство, называемое грассманианом, в котором римановы поверхности произвольного рода представляются точками.
То, что мы хотим получить, - это некое обобщение операторного
формализма конформной теории поля, которое было бы определено 0
римановом многообразии произвольного рода. Нам нужно построить
операторы, действующие на порождающую функцию [35-37], которы* позволили бы нам вывести все корреляционные функции, определенна на поверхностях рода д. Начнем с определения фермионных оператор**
y(z) = I v . z —1 / 2 |
(5.И-Я |
п |
|
с обычными антикоммутационными соотношениями |
|
{ ¥ . . ¥ 2 } = 8,.. |
(5.П-Я |
и билокального тока |
|
J (z, w) = :i|/(z)i|/*(u>):. |
(5.11-2® |
§ 5.11. Пространства модулей и грассманианы |
263 |
Оператор тока-это диагональный элемент
J(z,z)= £ |
J , * — 1. |
(5.11.27) |
|
neZ |
|
|
|
Теперь определим порождающую функцию |
|
||
ф) = <О|е я м 0|О>, |
(5.11.28) |
||
X» |
|
|
|
Я(х)= |
|
|
(5-11.29) |
л = О |
|
|
|
а g есть элемент группы Клиффорда, задаваемый формулой |
|
||
g = ехр { |
§ |
dz $ dwf(z,w)J(z,w)}, |
(5.11.30) |
Z = ОО |
W = 00 |
|
|
где интеграл берется по окружности бесконечного радиуса. Важно знать, что функция g зависит и от матрицы периодов Q, и от спиновой структуры, определенной на поверхности и параметризованной характеристиками а и Ь. Таким образом, вся информация, связанная с приро-
дой римановой поверхности, содержится в функции д.
Из теории обычных континуальных интегралов для точечных частиц известно, что действие оператора 5/5 J на генератор функции Грина порождает вставку некого поля в функциональный интеграл. Аналогом этого служит вершинный оператор
= |
o^yog^o + X^ - 'z - "^ |
(5.11.31) |
где хп и дт |
обладают теми же коммутационными соотношениями, что |
|
и обычные гармонические осцилляторы. По построению мы имеем
тождество
<OMz)V*(w)0|O> = 1
(x)v(z)v*(w)*(x)\x = 0' (5.11.32)
Таким образом, действие вершинного оператора состоит в порождении
корреляционной функции для конформной теории поля, подобно дейст- вию оператора 5/5J на порождающую функцию в обычной теории поля.
Теперь наложим условия, называемые уравнениями Хироты:
$ dzv(z)x(x)v*(z)z(y) = 0. |
(5.11.33) |
JJo*1* показать, что уравнения Хироты тесно связаны с уравнениями ^Р&рхии Кадомцева-Петвиашвили (КП).
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы выписать явное выражение
^^(.с) [35-37]:
| ^ „ x j f i ) , |
(5.11.34) |
§ 5.11. Пространства модулей и грассманианы |
265 |
Существует способ проверки согласованности этих уравнений. Известно, 20 есть два способа вычисления ЛГ-точечной функции: или через фер- ^онные осцилляторы, или посредством бозонизации через бозонные
осдйлляторы вида е,ф. Например, применяя виковское разложение ^ ^-точечной функции, можно записать ее через двухточечную в виде
<01 П |
П |
1°> = dety Pa(zit wj). |
(5.11.41) |
i=l |
j = |
l |
|
выражение (5.11.40) можно получить с помощью бозонного представления, тогда как (5.11.41)-с помощью фермионного. К счастью, эквивалентность этих двух разных выражений была доказана Фэем [39]; это называется теоремой трисекции для сложения тэта-функций. Математическая эквивалентность указанных выражений служит еще одной проверкой нашей процедуры бозонизации.
Итак, нами развит операторный формализм для конформной теории поля, определенной на произвольной римановой поверхности. Кетвектор g 10) представляет конкретную риманову поверхность, а применение к нему разных полевых операторов соответствует взятию матричных элементов по этой поверхности. Важно заметить, что каждый элемент т (л:), если он удовлетворяет условию Хироты для иерархии КП, теперь корректно характеризует некую риманову поверхность рода д. Тем самым каждый т (х) определяет некоторую точку нашего грассманова многообразия, чего мы и стремились добиться.
Заметим, что мы все еще очень далеки от нашей конечной цели, т. е. от суммирования ряда теории возмущений и извлечения из него непертурбативной информации. Однако мы сделали существенный шаг в этом направлении, так как теперь мы можем описать любую риманову поверхность произвольного рода, включая ее спиновую структуру, как некую точку грассманова многообразия. Посредством этого операторного формализма мы можем по желанию порождать точки этого грассманова многообразия. Будущее покажет, насколько полезным окажется грассманово многообразие.
Необходимо, однако, отметить некоторые трудности, связанные с этим формализмом. Хотя проблема Шоттки теперь формально решена» на практике уравнения Хироты довольно сильно нелинейны, так что бается конкретно разобраться, насколько полезным будет это решение Я®* явного построения многопетлевых амплитуд с помощью тэта-функ-
Кроме того, следует отметить, что в литературе имеется некоторая ИУТаница в вопросе об определении пространства супермодулей для
***Илитуд суперструн. Хотя суперсимметричное обобщение теоремы *®№ана-Роха отвечает на вопрос о количестве имеющихся супермодуно по-прежнему остается нерешенной трудная проблема явного 1®стРоения этих супермодулей посредством корректно определенной Р°Цедуры. Введение в теорию супермодулей и связанные с ними
ИРосы можно найти в [62].
й Нескольких следующих главах будет обсуждаться другой подход ^РИИ возмущений, отличный от использования грассманова много-
266 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
образия и не требующий какой-либо информации о роде поверхности Фактически в этом подходе единственно возможной аппроксимаций является весь ряд теории возмущений на римановых поверхностях. ЭХот подход есть полевая теория струн.
Прежде чем завершить эту главу, мы должны упомянуть, что из всех
до сих пор обсуждавшихся многопетлевых формализмов только фор* мализм светового конуса может быть естественным образом выведен из полевой теории струн. Поэтому мы интуитивно предполагаем, цто построение фейнмановских диаграмм в конусных координатах посредством объединения вершинных функций в S-матрицу должно дать неко-
торую «триангуляцию» пространства модулей. Этот результат, который был доказан в [63-64], никогда ранее не рассматривался математиками. (Вкратце, доказательство основано на построении некоторых интегралов на римановой поверхности рода g и вычислении их периодов при обходе вдоль каждой петли или ручки. Тогда можно показать, что соответствующие периоды являются чисто мнимыми, что дает модулярно инвариантное описание этой поверхности.)
Для примера на рис. 5.15 показано, как параметризовать многопетлевую поверхность посредством конусных координат, причем х{ представляют различные времена взаимодействия при расщеплении или слиянии струны, а 0,-«твисты» каждой струны на один полный оборот. Чтобы дополнить число параметров до требуемой для поверхности рода g величины 6g — 6, нужно также проинтегрировать по экваториальной окружности каждого цилиндра. Итак, все 6д — 6 параметров пространства модулей имеют естественную интерпретацию на языке физических
a a
л
1
Рис. 5.15. На этом последнем рисунке показаны углы, длины и < < в Р е м е ^ параметризующие поверхность в калибровке светового конуса. Эти параметр образуют пространство Тейхмюллера, и для параметризации каждой внутрен1* петли требуется шесть таких параметров. (Эти параметры автоматически Да покрытие фундаментальной модулярной области.)
§ 5.11. Пространства модулей и грассманианы |
267 |
параметров фейнмановской диаграммы. У формализма светового кону- ^есть несколько преимуществ перед описанными ранее формализмами, цо-первых, нет необходимости обрезать область интегрирования, что бцдо обязательным для модулярной инвариантности в случае метода
ШоТТКи и метода постоянной кривизны. Во-вторых, он легко обоблрется на случай произвольного числа петель (чего нельзя сказать про
цетоД тэта-функций). В-третьих, он унитарен и основан на физических дсременных. И в-четвертых, он естественно выводится из полевой •^ории. Вместо того чтобы обсуждать его здесь, мы рассмотрим метод Яхтового конуса в контексте полевой теории струн. Этой важной теме будет посвящен ряд последующих глав.
§ 5.12. РЕЗЮМЕ
Итак, мы показали, что приведение струны к унитарному виду может быть реализовано посредством уравнения унитарности, в котором JV-точечная амплитуда фигурирует в качестве борновского члена:
ЬпТ„= - Ь ; < / т / » > < и | Г * | Д |
(5.12.1) |
|
|
^ п |
|
Континуальный интеграл при этом принимает вид |
|
|
|
N |
|
A = $DXd[ieiSY\eikiXi. |
(5.12.2) |
|
s |
;= 1 |
|
Зйесь проводится суммирование по всем конформно неэквивалентным поверхностям S, являющимся дисками или сферами с N отверстиями. В частности, диаграммы для открытых струн бывают трех типов:
плоские, неплоские и неориентируемые (вроде листа Мёбиуса). Диаграммы для замкнутых струн бывают только двух типов - плоские и неориентируемые (вроде бутылки Клейна).
К счастью, математики уже вычислили функции Неймана для этих поверхностей. Это частные случаи автоморфных функций.
Для однопетлевой диаграммы функция Неймана выражается через
LN\|/(X, |
W) = |
IN |
(1 - |
J C ) - ^21 I I J C + |
1п X |
|
21n w |
||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
+ |
Z |
[ln(l - W"jc) |
+ ln(l - w 7 * ) - 2 1 n ( l - w")]. (5.12.3) |
|
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
^°бирая все вместе, получаем однопетлевую плоскую амплитуду |
||||||
|
1 N- 1 |
0 (v,- +i —V,) d\i |
|
|||
- я " 1 j |
П |
|
||||
|
О i = 1 |
|
|
|
||
|
\dq(-2n2^N |
|
|
|
||
* |
M |
h |
|
|
/ ( ? 2 Г 2 4 |
(5.12.4) |
|
о Я |
V In q J |
|
i<} |
||
268 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера
Мы нашли, что у струнных диаграмм никогда не бывает ультра-
фиолетовых расходимостей. Бесконечное суммирование по промежуточным реджевским траекториям делает диаграммы финитными в ульт-
рафиолетовой области. Однако в теории фейнмановских диаграмм расходимость некой диаграммы выражается локальным изменением топологии этой поверхности. Однопетлевая диаграмма открытой стру. ны расходится, когда внутреннее отверстие стягивается в точку. Согласно конформной инвариантности, это соответствует удалению замкнутой петли с нулевым импульсом. Тем самым расходимостям соответствует испускание в вакуум тахиона или дилатона.
Структура расходимостей этих диаграмм следующая.
(1)Открытая струна НамбуГото расходится как q~3 и q~l. Последняя из этих расходимостей связана с дилатоном и, вероятно, может быть устранена перенормировкой угла наклона реджевской траектории во всех порядках. Тахионная расходимость вызывает большие трудности. При анализе непланарных графов в комплексной плоскости переменных s и / на этих диаграммах на самом деле появляются разрезы, которые сводятся к полюсам в 26-мерии. Эти полюсы соответствуют замкнутым струнам. Поэтому теория открытых струн сама по себе неполна. Замкнутые струны возникают в ней как «связанные состояния» на однопетлевом уровне.
(2)Амплитуды замкнутых струн расходятся из-за вставок «головастиков», или энергии самодействия, на внешних линиях, лежащих на массовой поверхности.
(3) Суперструна типа I имеет лишь полюсы порядка |
и поэтому мы |
можем устранить эту расходимость посредством |
перенормировки |
угла наклона. Расходимость порядка q~3 никогда не возникает, поскольку бозонные и фермионные внутренние линии взаимно уничтожаются.
(4)Суперструна типа II на самом деле конечна. Здесь отсутствуют двух- и трехточечные однопетлевые диаграммы, поэтому вставки головастиков или энергий самодействия на внешних линиях попросту запрещены.
Эти результаты легко обобщаются на N-петлевые амплитуды с использованием теории автоморфных функций. При этом можно применять несколько разных параметризаций. Первая из них дается методом группы Шоттки. Она обладает тем преимуществом, что выбор переменных осуществляется в явном виде и выводится явно факторизуемым образом посредством сшивания мультиреджевских вершин. Однако модулярная инвариантность при этом не столь очевидна. Другой спосо параметризации дается методом тэта-функции. В нем модулярная инвариантность встроена с самого начала. Он также легко обобщается н спиновые структуры. Недостатком этого метода является неочевидно01 выбора переменных. К тому же факторизация, а значит, и у н и т а р н о е * тоже неочевидны. Эти амплитуды просто постулируются ную с целью удовлетворить граничные условия, а не строятся сш*1