Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

340 Г л. 7. Полевая теория BRST

близко следует когомологической формулировке калибровочной теории

Сила метода BRST состоит в том, что он позволяет написать пять аксиом и определений форм кривизны, из которых легко показать калибровочную инвариантность действия. Эти элегантные аксиомы объединяют огромное количество информации, выражая струнную модель в пяти утверждениях.

Однако непонятность происхождения этих пяти аксиом составляет недостаток формализма BRST. В принципе эти пять аксиом можно с равным успехом применить к любой системе когомологий, но это ничего не говорит нам, откуда они происходят. Например, как мы видели, общую теорию относительности можно вывести из двух принципов. Эти принципы в свою очередь допускают возможность переформулировки в пять аксиом когомологии. Следовательно, пять аксиом не являются фундаментальными, а представляют собой только удобный и компактный метод для выражения тензорного исчисления. Поэтому мы ищем фундаментальные геометрические идеи, которые позволят нам вывести эти пять аксиом из основных принципов физики. Эти пять аксиом (т.е. тензорное исчисление) возникают естественным образом как результат введения новой бесконечномерной группы.

§ 7.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Хотя это не очевидно, но BRST-вершина | К123 ) в том случае, когда внешние частицы располагаются на «массовой поверхности», эквивалентна любой другой вершинной функции, которая может быть получена с помощью конформного преобразования, г е н е р и р у е м о г о Определим, к примеру, другую вершинную функцию | V123 >, которую можно выразить как комформное преобразование первоначально вершины:

Действуя на это уравнение физическим состоянием | физ), которое удовлетворяет условию <физ|Ь_„ = 0, получаем

Следовательно, две вершинные функции имеют на массовой поверхности одинаковые матричные элементы. Таким образом, было показано, qxo представленная здесь вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности ковариантному осцилляторному варианту вершины Ко- Йеши-Швиммера- Венециано (CSV), найденной на заре дуальных моделей. (Фактически эта вершинная функция была получена рассмотрением До-точечных деревьев и последующей трехкратной факторизацией амплитуды, необходимой для выделения трехреджеонной вершинной функции.) Приведенные выше рассуждения показывают, что какую бы вершину мы ни использовали, мы должны получать одни и те же S-матричные элементы. Это доказывает, что трехструнная вершина, найденная в формализме BRST, дает на массовой поверхности точно такие же матричные элементы, как и старая вершина CSV [29, 30], несмотря на их совершенно различную геометрию. По сути этот факт можно использовать для доказательства того, что все три вершины (старая вершина в калибровке светового конуса, старая ковариантная вершина и новая вершина BRST) дают одинаковые элементы S-матрицы.

Доказательство того, что наша вершинная функция порождает правильную вершинную функцию на массовой поверхности для модели Венециано, довольно просто. Мы возьмем матричные элементы обеих вершинных функций с когерентными состояниями, которые являются функциями переменной z, и затем покажем, что полученные выражения связываются друг с другом конформным преобразованием. Далее мы убедимся, что это конформное преобразование может быть выражено в виде (7.6.1).

Старая CSV-вершина описывается формулой

(Для проверки мы всегда можем замкнуть один из хвостов реджеона на ^КУУМ, превратить трехосцилляторное гильбертово пространство в ^Ноосцилляторное и воспроизвести обычную вершинную функцию для Таким образом, < Oi | J^sv ) равняется обычной вершинной

ФУНКЦИИ Венециано.)

Покажем, что эта вершинная функция с точностью до преобразовапорожденного L_„, равна симметричной вершине. Для этого ЛеДуем сначала действие комформного преобразования на когерент-

ное состояние (которое было введено в (2.6.18)):

Прямым вычислением можно показать, что оператор Вирасоро, ствуя на это состояние, дает

Это преобразование когерентного состояния, когда применяется один оператор Ln. Теперь мы хотим применить к когерентному состоянию любое число операторов Ln:

Итак, конформное преобразование общего вида порождает следующее

Формулу (7.6.9) следует сравнить с формулой (4.1.8), которая дает преобразованию поля с весом h под действием конформной группы.

Теперь, вооружившись этими результатами, можно показать эквивалентность двух вершинных функций, взятых на массовой поверхности. Мы начинаем со спаривания трехреджеонной вершинной функции с тремя произвольными когерентными состояниями [32]:

Такое выражение может быть получено в явном виде из матрицы С в (7.6.4).

Следующий шаг заключается в спаривании симметричной вершину BRST (7.4.11) с тремя произвольными когерентными состояниями сравнении результата с выражением, приведенным выше. Нам поЯ* добятся следующие формулы:

Эти тождества позволяют сконструировать явную форму для матричного элемента между когерентным состоянием П?=1 z, | и симметричной вершинной функцией BRST. Сравнивая получаемое выражение с (7.6.12), мы находим связь между старой вершиной CSV и новой вершиной BRST:

Это то выражение, которое мы хотели получить. Оно показывает, что матричный элемент вершины CSV и матричный элемент симметричной вершины BRST связываются множителем, возведенным в степень к2.

Сравнивая с (7.6.9), видим, что этот множитель можно выразить через операторы L„. Итак, мы имеем точное решение для (7.6.1), по крайней мере на когерентных состояниях, демонстрирующее, что вершина CSV и вершина BRST связаны конформным преобразованием и, значит, имеют на массовой поверхности одинаковые матричные элементы.

Существует еще один способ показать эквивалентность вершины CSV и симметричной вершины, который основывается на степенном разложе- нии (7.4.17), а не на использовании конформных свойств комплексных Функций. Нам известно, что Ln действуют на комплексные функции как

dz. Определим

= 1 + 2- z + 16 z2 + ,

BeerДа возможно отыскать ряд коэффициентов ап, таких что

Практике нахождение этих коэффициентов может оказаться трудным, в ^принципе они известны с любой степенью точности. Например, 15:5 /2» а2 = 5/i6Далее можно показать, что симметричная вершина и

вершина CSV связываются следующим конформным преобразованием-

Хотя связь между симметричной вершиной Виттена и вершиной BRST установлена, мы все еще сталкиваемся с проблемой существовав ния фактически двух струнных полевых теорий BRST, которые кажутся вовсе не связанными друг с другом. Другая BRST-формулировка теории взаимодействий основывается на старой вершине в конусном формализме, в котором струны просто расщепляются или соединяются во внутренней точке. Мы можем также предположить, что трехструнная вершинная функция состоит из ковариантной дельта-функции Дирака

[18-24]:

Важно осознать, что эта новая вершинная функция есть в точности то же самое, что и старая вершинная функция в формализме светового конуса (6.4.5), кроме того, что гармонические осцилляторы теперь полностью ковариантны, а не просто поперечны, а также того, что мы должны умножить новую вершинную функцию на духовую вершину. Выполняя это умножение, мы получаем «ковариантную вершину в формализме

Можно также доказать, что эта ковариантная версия конусной вершины эквивалентна трехреджеонной вершинной функции CSV, взятой на массовой поверхности. Однако мы будем использовать другое доказательство, а не приведенное выше. На этот раз мы покажем, что условия непрерывности или перекрытия, которым удовлетворяет вершинная функция CSV, после конформного преобразования могут быть записаны как условие непрерывности для вершинной функции в формализме светового конуса. Так как условия непрерывности или перекрытия определяют вершину, то отсюда должно следовать, что две вершины связываются конформным преобразованием.

Запишем вершинную функцию CSV в виде

Начнем с предположения, что на эту вершинную функцию наложить следующее условие непрерывности для некоторых неизв

А сейчас наступает решающий шаг. Известно, что под действием конформной группы оператор Р преобразуется следующим образом (см (4.1.17), где мы взяли экспоненциальное преобразование обычньц переменных):

(7.6.27)

Следовательно, уравнение непрерывности можно представить как

(7.6.28)

Используя трансформационные свойства Р относительно конформной группы, получаем

(7.6.29)

Но 5r = eir}" Это и есть нужное нам выражение. С помощью конформного преобразования мы создали новую вершину, которая удовлетворяет другому условию непрерывности по г|г, т. е. по координате от трех струн. Эта новая вершинная функция в точности удовлетворяет первоначальным условиям непрерывности для вершинной функции в калибровке светового конуса между струнами 1 и 3. Аналогично, образуя различные комбинации, можно показать выполнение условий непрерывности также между струнами 2 и 3. Итак, мы убедились, что посредством конформного преобразования оказывается возможным выразить уравнение непрерывности для ковариантной вершины Венециано через уравнение непрерывности для ковариантной конфигурации в формализме светового конуса.

Но поскольку конформное преобразование генерируется операторами L„, то это означает, что на массовой поверхности ковариантная функция в формализме светового конуса (7.6.15) неотличима от кова-

риантной вершины Венециано (7.6.17).

Здесь мы должны объяснить, почему существуют два варианта

формализма BRST: один-основанный на полностью с и м м е т р и ч н о й вершине, а другой-на вершине в калибровке светового конуса, причем

оба имеют на массовой поверхности одинаковые свойства. Эти формализмы кажутся непохожими друг на друга в основных чертах. Определенный ковариантным образом формализм светового конуса, на-

пример, имеет дополнительный член четырехструнного в з а и м о д е й с т в и я . Он необходим, поскольку калибровочная группа для этого формализма полностью не замыкается. Пытаясь применить (7.5.3) для струнно^ конфигурации в формализме светового конуса, мы с т а л к и в а е м с я проблемами. Группа не замыкается без дополнительного четырехстрУ® ного взаимодействия, но даже с ним она становится замкнутой толь

на массовой поверхности.

Таким образом, эти две теории имеют фундаментальные различия. Хотя не все детали ясны, решение этой головоломки можно отыскать

в незавершенности вторично квантованной полевой теории, опирающейся на определенный ковариантным образом формализм светового конуса. Дело в том, что необходимо проинтегрировать по всем возможgjjM «длинам» струны аг. В старой теории светового конуса это интегрирование допускалось, так как оно на самом деле совпадало с интегрированием по импульсу струны. Однако в ковариантной теории ^-лишний параметр, не имеющий физического смысла. Следовательно, интегрирование по аг создает бесконечное количество копий одной и той яе вещи. Так, например, в пределе нулевого наклона эта теория производит бесконечное число действий Янга-Миллса:

о

«гто очевидный абсурд. Такое интегрирование по фиктивному параметру а приводит к возникновению в полевой теории ненужной бесконечности. Поэтому со вторым методом BRST связана фундаментальная проблема.

Решение этой проблемы заключается в геометрической формулировке следующей главы. Там мы показываем, что а можно выразить как настоящий калибровочный параметр и, следовательно, зафиксировать. Однако в рамках представленного формализма BRST превратить а в настоящий калибровочный параметр невозможно. Чтобы зафиксировать «длину» струны, мы должны намного расширить число полей, а это осуществимо только в геометрическом формализме (см. также [37, 38]).

§7.7. ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ И СУПЕРСТРУНЫ

Ксожалению, теория замкнутых струн и суперструн менее развита, чем теория открытых бозонных струн. Например, формализм BRST испытывает серьезное замешательство по поводу того, как правильно Построить теорию. Для замкнутых струн и суперструн весь «счет духов» становится неверным. Фактически наивное действие BRST тождественно вращается в нуль, поскольку имеет неправильное духовое число, неизбежно влекущее за собой «последовательное транкирование» либо 6>либо гильбертова пространства «духовых мод». Как мы увидим, при переходе к более сложным моделям ситуация быстро ухудшается и Усложняется, пока, наконец, формализм BRST не терпит полный крах Дл* фермионной полевой теории замкнутых струн. В некотором смысле Jot факт, что открытую струну оказалось столь легко выразить на языке

был счастливой случайностью. Горькая реальность состоит в том, 0 Формализм BRST упускает нечто важное.

^Для замкнутых струн [11, 39, 40] мы имеем две копии генераторов r~acopo Ln и Ln. В формализме BRST духовое число вакуума ^вается по сравнению с предыдущим, потому что — 1/2 — х/2 = — 1:

348 Г л. 7. Полевая теория BRST

При этом духовое число Q остается равным 1. Это означает, что наивнодействие на самом деле должно обращаться в нуль,

так как результат подсчета духового числа выходит неверным, а именно

— 1 + 1 — 1 ф 0. Такая ситуация явно нежелательна. Были предложены различные пути решения этой проблемы вычисления правильного духового числа, но ни один из них не является полностью удовлетвори, тельным. Например, мы можем искусственно обрезать в Q нулевые моды, сохраняя его нильпотентность, т. е. произвольно отбросить нулевые моды

Здесь были выброшены старые нулевые моды и подставлен меньший набор (который походит на набор, использованный для открытой струны).

Чтобы иметь теорию, не зависящую от начала координаты а, наложим на замкнутую струну связь:

В силу того что мы имеем дело с меньшим числом нулевых мод, можно использовать вакуумы, найденные выше для случая открытой струны,

| - > И | + > :

Хотя BRST-теория открытых струн проста, мы начинаем видеть слабости подхода BRST в случае замкнутых струн:

(а)связь (к — к) \ Ф ) = 0 должна быть наложена извне, без к а к о г о - л и б о

фундаментального обоснования. Связи обычно появляются к результат симметрии действия; здесь мы просто налагаем их,

зная, откуда они берутся;

(б) произвольное обрезание духовых состояний, сохраняющее ннл^ потентность Q, кажется слишком надуманным; ^ ^

(в)это обрезание, вероятно, не выживает в теории взаимодейств Опускание нулевых мод означает потерю струнной интерпрета

и ^(оОПолностью теряется локальность по от, которая была абсолютно необходима для построения вершинной функции. Таким образом, отказ от локальности по от, по-видимому, разрушает

любую возможность теории взаимодействий.

Обратимся теперь к суперсимметричному случаю, где ситуация Арного хуже. Для бозонов Невё-Шварца мы на самом деле не сгаЛкивались с трудностями при учете нулевых мод духов, так как коммутирующие духи у и Р имеют полуцелые моды и, следовательно, не

изменяют природу вакуума. Вакуум BRST по-прежнему имеет духовое число — 7г> и поэтому действие, как и прежде, имеет вид

Однако для фермионов Рамона [11, 41-53] возникают трудные проблемы, связанные с целочисленными компонентами коммутирующих духов ФаддееваПопова. Пусть у0 будет нулевой модой духового фермионного осциллятора. Тогда существует бесконечное число всевозможных вакуумов, поскольку этот дух является по своей природе не фермионным, а бозонным. Каждый из этого бесконечного набора вакуумов метится выражением

Это приводит к тому, что полевой функционал должен быть разложен в ряд по бесконечному набору вакуумов:

Какой вакуум мы используем? Такой подход является чрезвычайно неудобным, что показывает ограниченность формализма BRST. (Подобная ситуация имеет место в конформной полевой теории с оператором смены картины. Однако конформная полевая теория является формализмом на массовой поверхности, так что все картины эквивалентны одной. Здесь полевая теория струн-это по определению теория вне массовой поверхности, и поэтому в нее должны входить все такие ва*УУмы.)

Для транкирования теории в подходе BRST имеется несколько предложений. Мы можем либо транкировать Q, оставляя его ниль- ЙОтентным, либо транкировать поле |Ф> так, чтобы отпала необходимость в суммировании по бесконечному числу духовых вакуумов. а*Шем обсуждение с введения единых обозначений, с помощью Jj^Pbix мы сможем описывать духовые поля для моделей Невё- ЩВаРЦа и Рамона одновременно. Определим следующие объекты [11]:

обозначает как обычную бозонную струну, так и анти- лОМмутируЮщее поле ц т о ч к а напоминает, что поля могут иметь

' и полуцелые моды, a BN и CN представляют духовые поля теории.